第1章应用数理统计

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计是研究和揭示随机是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。现象的统计规律性的一门数学学科。 概率论研究随机现象及统计规律性的数量概率论研究随机现象及统计规律性的数量关系，而关系，而数理统计是以概率论为基础，研究如数理统计是以概率论为基础，研究如何有效地收集、整理和分析随机数据，并做出何有效地收集、整理和分析随机数据，并做出统计推断、预测或者决策。统计推断、预测或者决策。 研究的内容研究的内容 数理统计所要解决的问题是如何根据样本来数理统计所要解决的问题是如何根据样本来推断总体，第一个问题就是推断总体，第一个问题就是采集样本采集样本，然后才能，然后才能作作

2、统计推断统计推断。主要内容及学时分配主要内容及学时分配数理统计的基本概念数理统计的基本概念 4h参数估计参数估计 6h假设检验假设检验 8h方差分析与正交试验设计方差分析与正交试验设计 10h回归分析回归分析 8h统计决策与贝叶斯推断统计决策与贝叶斯推断 4h第第1章章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念一、总体和样本一、总体和样本总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X . X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.1.1 总体、样本与统计量总体、样本与统计量样本样本 从总体中抽取的部分个体.称

3、 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.),(21nxxx),(21nXXX用 表示, 样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合. 个体个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 表示.iXn为样本容量若总体 X 的样本 满足:),(21nXXX一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是nXXX,21(1) 与X 有相同的分布nXXX,21(2) 相互独立),(21nXXX则称 为简单随机样本简单随机样本.简单随机样本简单随机样本N / n 10.总体中个体总数总体中个体

4、总数样本容量样本容量设总体 X 的分布函数为F (x),则样本121( ,)( )nniiF x xxF x若总体X 的密度函数为 f( x),则样本121( ,)( )nniifx xxf x的联合密度函数为),(21nXXX的联合分布函数为定义定义 设X1,X2,.,Xn是来自总体X的一个样本, g(X1,X2,.,Xn)是X1,X2,.,Xn的函数, 若g中不含未知参数, 则称g(X1,X2,.,Xn) 是一统统计量计量 因为X1,X2,.,Xn都是随机变量, 而统计量g(X1,X2,.,Xn)是随机变量的函数, 因此统计量是一个随机变量统计量是一个随机变量. 二、统计量二、统计量 设x

5、1,x2,.,xn是相应于样本的样本值, 则称g(x1,x2,.,xn)是g(X1,X2,.,Xn)的观察值。例例 是未知参数, 22, ),(NX若 , 已知,则为统计量是一样本,),(21nXXX2*21111,1nniiiiXXSXXnn是统计量, 其中),(2NXi则但niiX1221不是统计量.常用的统计量常用的统计量niiXnX11) 1 (为样本均值样本均值 niiXXnS122*11)2(为修正样本方差修正样本方差 niiXXnS12*11为修正样本标准差修正样本标准差 ),(21nXXX设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量nikikXnA11) 3 (为样本的k

6、阶原点矩原点矩 nikikXXnB11) 4(为样本的k 阶中心矩中心矩 例如2122*2111SXXnSnnBXAnii注注 修正样本方差修正样本方差 与样本方差与样本方差 的不同的不同2S2*SniniiniiXXXX12112222122XnXnXnii212XnXnii)(22XAn故2222*1)(1SnnXAnnS222XABniiiniiXXXXXX12212)2()(推导推导:关系式关系式22*1SnnS1）222XAB推导推导: 设2)(,)(XDXE则niiXnEXE11 21nXD2）221)(nnSE22*)(SE 222)(XEEASE XEXDXnEnii21212

7、2221n21nn22*1)(SnnESE221ESnn例例1 1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件, 测得其重量为(单位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199求这组样本值的均值、修正方差、二阶原点矩与二阶中心矩.解解),(1021xxx令)199,200,235,196,228,215,240,185,243,210(43.433)(9110122*iixxs101225 .47522101iixA0 .390)(10110910122*2iixxsB19.217)19920023519622821524018524

8、3230(101x则则(5) 顺序统计量顺序统计量 设),(21nXXX为样本,),(21nxxx为样本值,且*2*1nxxx当),(21nXXX取值为),(21nxxx时,定义 r.v.nkxXkk, 2 , 1,*)(则称统计量)()2()1(,nXXX为顺序统计量顺序统计量. 其中,max,min1)(1)1(knknknkXXXX（6 6）顺序统计量的概率分布）顺序统计量的概率分布 设总体的 的分布函数为 ，概率密度为 ， 为总体 的一个样本，该样本的顺序统计量为 ，则有（a） 的概率密度 ， 为 )(XF)(kXX)(xfnXXX,21X)() 2() 1 (,nXXX)1 (),(

9、)(nkxfk)()(1)()!()!1(!)(1)(xfxFxFknknxfknkk特别 ， 的概率密度分别为（b） 与 的联合概率密度 (1)( ),nXX)()()()()(1 )(1)(1)1(xfxFnxfxfxFnxfnnn)(kX)( jX),()(yxfjk)1 (njk11( )( )! ( ) ( )( )( ) ( )(1)!(1)!( , )0,kjkk jnF xF yF xf x f yx ykjkfx y ，其 他特别， 的联合概率密度分别为顺序统计量 的联合概率密度为(1)( ),nXX2(1)( )(1) ( )( )( ) ( ),( , )0,nnnnF

10、yF xf x f y x yfx y其 他11(1) ( )1! ( )( ),( ,)0,nnnnn f xf xxxfxx其 他)()2()1(,nXXX（7 7）样本中位数与样本极差）样本中位数与样本极差 （6）样本中位数是反映样本值位置特征的样本中位数是反映样本值位置特征的一个量，可用于推断总体分布的中位数及总一个量，可用于推断总体分布的中位数及总体的对称中心。体的对称中心。设 为总体 的一个样本，其顺序统计量 ,称统计量 为样本中位数（Median）,其观察值记为nXXX,21)()2() 1 (,nXXXX为偶数为奇数nXXnnXMenn,21),21()12()2(为偶数为奇数

11、nxxnnxMenn,21),21()12()2( 样本极差是反映样本值分散程度的量，样本极差是反映样本值分散程度的量，在某些场合，可用于推断总体的标准差。在某些场合，可用于推断总体的标准差。(7)样本极差：称统计量为样本极差（Range）.其观察值记为) 1 ()(XXRn) 1 ()(xxrn三、三、 经验分布函数经验分布函数 设设X1,X2,.,Xn是总体是总体X X的一个样本，的一个样本， 用用S(x)表示表示X1,X2,.,Xn中不大于中不大于x x的随的随机变量的个数机变量的个数, , - x , ,定义经验定义经验分布函数分布函数Fn(x)为为.),(1)( xxSnxFn 一般

12、一般, 设设x1,x2,.,xn是总体是总体X的一个的一个容量为容量为n的样本值的样本值. 先将先将x1,x2,.,xn按自按自小到大的次序排列小到大的次序排列, 并重新编号并重新编号, 设为设为x(1) x(2) . x(n),则则经验分布函数经验分布函数Fn(x)的观察值为的观察值为 .,1,0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF若若若若若若例如(a) 设总体X具有一个样本值1,2,3, 则经验分布函数F3(x)的观察值为.3, 1, 32,32,21,31, 1,0)(3xxxxxF若若若若 (b) 设总体F具有一个样本值1,1,2, 则经验分布函数F3(x)的观察值为

13、 .2,1,21,32,1,0)(3xxxxF若若若若若若 对于经验分布函数Fn(x), 格里汶科(Glivenko)在1933年证明了以下的结果: 对于任对于任一实数一实数x, 当当n时时Fn(x)以概率以概率1一致收敛于分一致收敛于分布函数布函数F(x), 即即.10| )()(|suplim xFxFPnxn 因此因此, , 对于任一实数对于任一实数x x当当n n充分大时充分大时, , 经验分经验分布函数的任一个观察值布函数的任一个观察值F Fn n( (x x) )与总体分布函数与总体分布函数F F( (x x) )只有微小的差别只有微小的差别, , 从而在实际上可以当从而在实际上可

14、以当作作F F( (x x) )来使用来使用. .1.2 抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布 统计量的概率分布 一、几个重要分布一、几个重要分布1. 1. 分布分布定义1.2.1 若随机变量 具有概率密度则称 服从参数为 的 分布，记为 其中 为参数。X) 1 . 2 . 1 (0,0, 0)(),(1xxexxfxX、),(X0,0（1.2.1）式中的 称为 函数，关于 函数成立如下公式 其中 称为 函数。1011)1 (),(dxxxqpBqp01)(dxexx)2 . 2 . 1 (),()()()()21(1) 1 () !) 1()() 1(qpBqpqpnn因而 分布具有下列性质分布

15、具有下列性质性质性质1 1 若 则 。 ),(X,/)(XE2/)(XD性质性质2 2（可加性）若 ，且 相互独立，则niXii, 1),(nXX,1),(11nnXX在 分布中取 ，即得指数分布 亦即 由此可得性质2的一个推论。推论推论 若 为 且 ，则1)(Exp0, 00,);(xxexfx), 1 ()(ExpXnXX ,1i.i.d.)(Exp1XniinX1),(若 ，令 ，则由概率论可知，具有概率密度 此时，称 服从倒 分布或逆 分布，记为 ，其中 为参数。),(XXY10,00,)(),;()1(yyeyyfyYY),(IY0, 02 2 分布分布定义1.2.2 若随机变量具有

16、概率密度 则称 服从参数为 的 分布，记为 ，其中 为参数，而 即为前面所提到的 函数。）（其他3 . 2 . 1, 010,),()1 (),;(11xbaBxxbaxfbaXba、),(baX0, 0ba),(baB 分布具有下列性质性质1 若 ，则性质2 若 ，且 相互独立，则在 分布中取 。即得均匀分布的概率密度亦即 。),(baX) 1()()(,)(2babaabXDbaaXE( ,1),( ,1)XaYbYX,),(baYXXZ1, 1ba其他,010, 1)(xxf) 1 , 0 () 1 , 1 (UX)(0, 00,)2/(2);(3 . 2 . 12222122nXnXx

17、xnexnxXnxn分布，记为的服从自由度为则称随机变量具有概率密度若随机变量定义)21,2()(2nn性质1： 若X 2(n)，则E(X)= n，D(X)=2n性质2： 若 且 相互独立，则, 1),(2kinXii kXX,1)(121kknnXX 性质3：若 则对任意实数 ，有此性质表明，当 充分大时， 近似服从标准正态分布),(2nXxdtexnnXPxtn22212limnnnX2) 1 , 0(N定理定理1.2.11.2.1 设随机变量 相互独立，且都服从标准正态分布 ，则随机变量 服从自由度为 的 分布，即nXX ,1) 1 , 0(NniiX122n2).(22n分位点分位点

18、设X 2(n)，若对于 ：0 1， 存在0)(2n满足满足,)(2nXP则称则称)(2n为为)(2n分布的上分布的上 分位点。分位点。)(2n4. t4. t分布分布定义定义1.2.4 1.2.4 若随机变量若随机变量T T具有概率密度具有概率密度 tntnnnntfn,)1()2()21();(212 则称则称T T 服从自由度为服从自由度为n n的的t t分布，记为分布，记为 )(ntT基本性质基本性质: (1) f(t;n)(1) f(t;n)关于t=0t=0(纵轴)对称。 (2) f(t;n)(2) f(t;n)的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即 tetntftn,21)()

19、;(lim22 定理定理1.2.2 若XN(0, 1), Y 2(n), 且且X与Y独立，则)(/ntnYXT (3) ( ),( )0,( )(2)(2)nttt nE tD tn nn具有自由度为 的 分布其数学期望与方差为：分位点分位点设T Tt(n)t(n)，若对 :0:0 1,0(n)0， 满足PTPT t t (n)=(n)= ，则称t t (n)(n)为t(n)t(n)的上侧分位点)(nt zntn)(45的的值值，可可用用正正态态近近似似时时，对对于于常常用用的的当当定义定义1.2.5 1.2.5 若随机变量若随机变量F F具有概率密度具有概率密度 5. F分布分布 0, 00

20、,)1)(2()2()/)(2(),;(2/ )(2121122/2121212111xxxnnnnxnnnnnnxfnnnn则称则称F F 服从自由度为服从自由度为(n(n1 1,n,n2 2) )的的F F分布，记为分布，记为 ),(21nnFF定理定理1.2.31.2.3 若X 2(n1)， Y 2(n2)，X， Y独立，则).,(/2121nnFnYnXF ),(21nnFF推论推论：若：若 ，则，则 ),(112nnFFF分布的数学期望为分布的数学期望为:2)(22 nnFE若若n22即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.F F分布的分位点分布的分

21、位点对于对于 ：00 10)0，满足满足PFPF F F (n(n1 1, , n n2 2)=)= ， 则则称称F F (n(n1 1, , n n2 2) )为为F(nF(n1 1, , n n2 2) )的上侧的上侧 分位点；分位点；),(21nnF正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理)1, 0(Nn/XU),(NX,X. 12iidn1 则若;) 1 (),(,. 22*21相互独立与则若SXNXXiidn);1() 1()2(222*2nSn).1(/)3(*ntnSXT.2) 1() 1().2(/1/1)(,)2(212*222*1122121212221称为混合样本方差

22、其中就有假定进一步nnSnSnSnntnnSYXTww1222111122*221112*22223.,(,),(,),./(1)(1,1);/iidiidnnXXNYYNSFF nnS 若且两样本独立 则四、例题四、例题例例122(12,),25,12.5.(1)225.57.XNXS设总体服从正态分布抽取容量为的样本 求样本均值大于的概率 如果已知；（ ）未知，但已知样本方差解解1212.5 12(1)12.5225225XP XP1063. 0)25. 1(125. 14 . 012 XP1212.5 12(2)12.51.0592525XP XPP tSS0.1524,(24) 1.0

23、59,1.0590.15.12.50.15.ttP tP X查自由度为 的分布表即故有的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例例2 2设(72 ,100)XN ,为使样本均值大于70解解 设样本容量为 n , 则)100,72(nNX故)70(1)70(XPXPn1072701n2 . 0令9 . 02 . 0n得29. 12 . 0n即6025.41n所以取42n例例3 3 设r.v. X 与Y 相互独立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与Y1, Y2 , Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求统计量1292221216XXXZYYY所服

24、从的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16, 2 , 1,)1 , 0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)16( t2162221921YYYXXX从而五、五、课堂练习课堂练习 .10),min(;15),max(211.,5)4 ,12(1543215432151 XXXXXPXXXXXPXXN）求概率）求概率（的概率；的概率；值之差的绝对值大于值之差的绝对值大于）求样本均值与总体均）求样本均值与总体均（的样本的样本中随机抽一容量为中随机抽一容量为、在总体、在总体2 2、 从正态总体),(2NX中，抽取

25、了 n = 20的样本1220(,)X XX(1) 求22012276.120137.0iiXXP(2) 求22012276.120137.0iiXP解解1 2628. 052225252152152125211112),54,12()1( XPXPBX有有由由 2923. 0)5 . 1(1)5 . 1(121215212115115,15,15,15,15115),max(115),max()2(5515151543215432154321 iiiiiXPXPXXXXXPXXXXXPXXXXXP 5785. 0)1(1)1(11212102121110110,10,10,10,10110)

26、,min(110),min()3(5515151543215432154321 iiiiiXPXPXXXXXPXXXXXPXXXXXP2 2 解：解：总体服从),(2NX (1)19(11922012222iiXXS即) 1() 1(222nSn22012276. 120137. 0iiXXP故2 .3514 . 720122iiXXP2 .3514 . 712012220122iiiiXXPXXP98. 001. 099. 0查表(2) (2) )20(22012iiX22012276. 120137. 0iiXP故2 .354 . 72012iiXP2 .354 . 720122012iiiiXPXP97. 0025. 0995. 0六、小结六、小结 在这一节中我们学习了统计量的概念在这一节中我们学习了统计量的概念 , 几个重要的统计量及其分几个重要的统计量及其分布布 ,即抽样分布即抽样分布. 要求大家熟练地掌握