山西省四校2010届高三下学期第四次联考(数学理)

1、精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼2010 届高三年级第四次四校联考试题数学试题（理科）本试题分第I卷和第卷两部分，满分150 分，考试时间 120 分钟。第I卷为选择题，第n卷为非选择题。注意事项：1.考生答卷前务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、考号填写在试卷上， 并用 2B 铅笔在机读卡上规定位置涂黑自己的考号和考试科目。2.选择题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案。3.交卷时只交试卷和机读卡，不交试题，答案写在试题上的无效。第I卷（选择题，共60分）一、选择题。本大题共 12 小题

2、每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1.sin15 cos165 的值等于（）1111A.B._:c二D. _:44222.复数4：3i4 3i的实部是()1+2iA.-2B.2C . 3D.43.已知集合A=X| |X| 1 的解集为X( )A.-：:,-11B.L1,+ =o )c. L1, 0D.7 亠-1丨0,：5. 已知等差数列an的公差为 2,若31,33,34 成等比数列，则 a2=（）A. 4B. - 6 C . - 8 D . - 10精诚凝聚=人_人=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼6. 函数y -1的定义域为-

3、1, 2丨，则其值域为（）精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼c = f (In 3)，则第口卷（非选择题，共90分）4 个小题，每空 5 分，共 20 分。将正确答案填在答题卷中对应的横线上。13.随机变量服从正态分布N（50,二2），若P：:：40） = 0.3，则P（40： 010.实数x, y满足不等式组 x y 0|2x y 2 0,则t=口的取值范围是x+1A.-1,3B.1C.,：)2D.11定义在R上的函数f (x)满足(x 2) f (x) : 0，又a =f(log3),(扩),A.a : b cB .C. c b：D.c a b212.已知点

4、R、F2分别是双曲线笃a2V1的左、右焦点，过F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 B 两点，若 ABF 为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A .(1,+g)B.(1,.3)C .( 、2 1,1+, 2) D. (1,1+、2)二、填空题。共精诚凝聚=人_人=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼满足a+e = a-范，则向量a在e方向上的投影等于.15.已知点 P（2,1）在圆C：x2y2ax -2y b = 0上，点 P 关于直线x，y -1 = 0的对称点精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼也在圆 C 上，则圆 C 的半径为_1

5、6.设I、m、n表示不同的直线，：、- 表示不同的平面，给出下列四个命题：若m/l,且m| ,则I I *;若m/l,且m / /,则丨/；3若:：=I,： 二m,： 二n,则I / m/ n4若：.:=m,一： =丨，：= n,且nF：,则m/l其中正确命题的序号是 _ .三、解答题。共 6 个小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分 10 分）在锐角 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B C 所对的边，且_ 3a=2csinA（I）确定角 C 的大小；n）若 c= ,7 ,且厶 ABC 的面积为18.（本小题满分 12 分）如图，在多面体 AB

6、C-DEFG 中，平面ABC/平面DEFG,AD丄平面DEFG,AB _ AC,ED _ DG,EF/DG.AB 二 AD = DE 二 DG = 2,AC 二 EF(I)求证：BF/平面ACGD;n）求二面角D - CG - F的余弦值;精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼19.(本小题满分 12 分)“上海世博会”于 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日在上海举行。世博会“中国馆贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄、海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局将举办“中国2010 年上海世博会中国馆贵宾厅艺术品方

7、案征集”活动。某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作 参与应征，假设代表作中中国画、书法、油画入选“中国馆贵宾厅”11的概率均为丄，陶艺入选“中国馆贵宾厅”的概率为-.43(I)求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆贵宾厅”的概率；(H)设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆贵宾厅”的作品件数为随机变量E,求E数学期望20.(本小题满分 12 分)已知f(x)=ax-l nx,x(0, e，其中e是自然常数，a R.a，使f (x)的最小值是 3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由21.(本小题满分 12 分)2 2y x设A(x.|, y1),

8、 B(x2, y2)是椭圆一22=1(a b 0)上的两点，已知向量a bm = (, _Yi),门二(2,_y2),若m n = 0且椭圆的离心率b a b a(I)当a =1时,求f (x)的单调区间和极值;(n)是否存在实数en-f,短轴长为2,O为坐标原II精诚凝聚7=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼占八、-(I)求椭圆的方程；(n)试问： AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由22.(本小题满分 12 分)已知数列an的前n项和S满足：Sn二a (Sn-an 1)(a为常数，且a = 0,a = 1).(I)求a ?的通项公式；II精诚凝聚7

9、=成就梦想 鑼点亮心灯/（AvA）照亮人生 .鑼(n)设bn Sn& ,若数列bn为等比数列，求a的值；II精诚凝聚7=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼（川）在满足条件（H）的情形下，_ _设，数列Cn的前 n 项和为診毎+1勺+丄-11Tn.求证：Tn2 n2第四次四校联考数学参考答案、BBCCB CCBAD CD1、13.（文）80（理）0.414.-2、17.解（1）由；3a =2csin A及正弦定理得,15. 216./ sinA丰0, sinC=_322sin Asin Asin CII精诚凝聚7=成就梦想 鑼点亮心灯/（AvA）照亮人生 .鑼II精诚凝聚7=

10、成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼JT ABC 是锐角三角形，C =3（2）vc= 7,C=3 由面积公式得/bsin 匸子,即心 6由余弦定理得2222a b -2abcos7,即 a b -ab = 73由变形得（a+b）2=25,故 a b =5又 BF 二平面 ACGD故 BF/平面 ACGD(H)FG =(0,2,0) -(2,1,0) -2,1,0)，设平面 BCGF 的法向量为(x, y, z)， Tn1CG = y - 2z = 0m FG = -2x y =0令y =2，则X (1,2,1)，而平面 ADGC 的法向量nz可=（1,0,0）10 分18.（本小题满

11、分由已知，AD、12 分）解法DE、DG 两两垂直，建立如图向量法的坐标系,2），B（ 2, 0，2），C（ 0，1，2） ，E（2, 0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）(I)BF =(2,1,0) -(2,0,2) =(0,1,-2)TCG =(0,2,0) -(0,1,2) =(0,1,-2)T T BF二CG，所以 BF/ CG.AACBMG*II精诚凝聚7=成就梦想 鑼点亮心灯/（AvA）照亮人生 .鑼故二面角 D-CG-F 的余弦值为込612 分cos：mn2二卅|.12精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼解法二设 DG 的中点为 M,连接 AM

12、、FM ,则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形,所以 MF/DE，且 MF= DE又 AB/DE,且 AB= DE/ MF/AB，且 MF = AB四边形 ABMF 是平行四边形，即 BF/AM ,又 BF 二平面 ACGD故 BF/平面 ACGD. 6 分（利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）（n）由已知 AD 丄面 DEFG. DE 丄 AD , DE 丄 DG 即 DE 丄面ADGC ,/ MF/DE，且 MF= DE , MF 丄面 ADGC在平面 ADGC 中，过 M 作 MN 丄 GC,垂足为 N,连接 NF,贝 U显然/ MNF 是所求二面角的平面角.在四边形 AD

13、GC 中，AD 丄 AC, AD 丄 DG, AC=DM= MG =1CD =CG = 5, MN = =5在直角三角形 MNF 中，MF= 2, M2-55MF 2tan MNF=MN2/55故二面角D-CG-F 的余弦值为迈612 分19.(文)(1)27iC3(4)(4)2(1-3)心(4)33 64.6(理)(2)P2计町衆住（丸心）+93）晋.分.5,cos_MNFIDNGII精诚凝聚7=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼- bnn fq(2) (n)由(i)知Cn=anbn2(2n -1)_ 2(2n+1)3“，Cn 1二3*1,2(2n 1)2(2n -1)3n 1(

14、19)解，记“该地美术馆选送的中国洒*书法、油曲中恰有件作品人选中国馆-费宾厅为略件A1-(t=tQil12t3) uC代表作中陶艺人选中国馆贵宾厅 5 为事件乩1邃地美术馆选送的四件代表柞中恰有一件作品人选“中国馆-贵宾疔的概率为PiP(At) P(B) IFCAJ)P(B)*4分0. a3=5， a5=9，公差 d =-5= 2.5-3二an二a5(n _5)d =2n_1.3 分12又当 n=1 时，有 bi=Si=1 -b1rb-i.231b 1当n一2时,有bn二Sn- Sn 4(bn j- bn),(n一2).2bn_1321数列bn是等比数列，b = ,q=.33(II精诚凝聚7

15、=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼12 分1x _ 1(理)(1)a=1时，f(x)=x-l nx,f (x) = 1.1 分x x由 f/(x) : 0 得 o :：x : 1 , f(x)的单调递减区间(0,1)由f/(x)V 得1：x：e,f(x)单调递增区间(1, e)3 分f (x)的极小值为f(1) =14 分(2 )假设存在实数a,使f (x) = ax一ln x(x (0,e)有最小值 3 ,41当a一0时，f (x)在(0,e上单调递减，f (x)min= f (e) = ae-1 =3,a(舍去)，e所以，此时f(x)无最小值7 分2当0 1 e时，f (x)

16、在(0,丄)上单调递减，在(丄，e上单调递增aaa12f (x)min= f ( ) =1 ln a = 3,a = e，满足条件.9 分a143当e时，f (x)在(0,e上单调递减，f (x)min= f (e) = ae-1 =3,a(舍去)，ae所以，此时f(x)无最小值11 分2综上所述，存在实数a =e，使得当(0,e时f (x)有最小值 3。12 分21 .(文)(I)f(X)= x2-2(1 a)x 4a = (x - 2)(x -2a).2 分由a 1知，当x：2时，f (x) 0,故f (x)在区间(-：,2)是增函数；当2 x : 2a时，f (x)：0，故f (x)在区

17、间(2,2a)是减函数；当x 2a时，f (x) .0,故f (x)在区间(2a：)是增函数。f/(x) = aax -1II精诚凝聚7=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼综上，当a 1时，f (x)在区间(-：,2)和(2a：)是增函数，在区间(2,2a)是减函 数。.6 分(II )由(I )知，当x一0时，f (x)在x =2a或x= 0处取得最小值。1f(2a)二丄(2a)3-(1a)(2a)24a 2a 24a3=-a34a224a3. .8 分精诚凝聚=人_人=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼由假设知c2b =2.b =1,e a椭圆的方程为4当直线 AB

18、 斜率存在时：设 AB 的方程为 y=kx+bf(0)= 24a廿(2a)A0,a 1,4即4a(a 3)(a 6)0,解得1a0=0X1X2晋g严=0 代入整理得:2 22b -k =410 分1 |b|1S M+k2|AB|=西-2|b| :4k2Yb2+164b2(x1+X2)-4也=2|bf =122(k +4)综上三角形的面积为定值1.分 1222.(理)解：(i)S|= a(S|-a1 1) 印=a,分.1精诚凝聚=人_人=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼当n _2时，Sn= a(Snan 1)Sn 1=a(Sn二-an J1 )即an是等比数列 an=a a=a(n)由(I)知 az1bn= (an