中考数学知识九年级

1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。初中数学知识概要一、实数(一)实数：1有理数：任意一个有理数都可以写成分数的形式，其中p与q是整数且最大公约数是1，这是有理数的重要特征，例：是无理数而不是分数2无理数：无限不循环小数。(1)两层意思：一是无限小数；二是不循环二者缺一不可(2)形式：开不尽方根，如 特殊常数，如圆周率 特定结构的无限小数，如01010010001(每两个1之间依次多一个0)(二)实数中的几个概念1相反数：(1)实数的相反数是 (2)和互为相反数2倒数：(1)实数(0)的倒数是(2)和互为倒数。(3)注意0没有倒数3绝对值：(1)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实

2、数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即：(2)从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离(3)非负数的和等于零则每个非负数都等于零。 例如：若，则，4n次平方根（1）平方根，算术平方根：设被开方数，称叫的算术平方根，叫的平方根正数有两个平方根，它们互为相反数0的平方根是0负数没有平方根（2）立方根：叫实数的立方根一个正数有一个正的立方根 0的立方根是0一个负数有一个负的立方根（3）算术平方根与绝对值的联系：（4）算术平方根的估算方法：两端逼近法例如：估算(精确到01)又，又6更靠近576，（三）近似数与科学记数法1.科学记数法：把一个数N写成的形式（其中，n是整数)，这

3、种记数法叫做科学计数法。（1）确定：是只有一位整数数位的数（2）确定n：当原数1时，等于原数的整数位数减1；当原数<1时，是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）。2.近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。3.有效数字：一个近似数，从左起第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字二、代数式（一）代数式1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫代数式单独的一个数或一个字母也是代数式2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值3.代数式

4、的分类：(二)整式的有关概念及运算1概念(1)单项式：单项式是数与字母的积其含义有：不含有加、减运算符号字母不出现在分母里单独的一个数或者字母也是单项式(2)多项式：多项式是几个单项式的和其含义有：必须由单项式组成体现和的运算(3)同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项2运算(1)整式的加减合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变去括号法则：括号前面是“+"号，把括号和它前面的“+"去掉，括号里各项都不变号：括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一"号去掉，括号里各项都变号添括号法则：括号前面是“+"号，括到

5、括号里的各项都不变；括号前面是“一"号，括到括号里各项都变号整式的加减运算，其实质是合并同类项，方法是在运算时，如果遇到括号，就依据去括号的法则或乘法分配律，先去括号，再合并同类项(2)整式的乘除幂的运算性质： （） （） （）单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则

6、连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式：用这个多项式的每一项去除以这个单项式，再把所得的商相加乘法公式：平方差公式：完全平方公式： 立方差公式：(三)分解因式1分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式2常用分解因式的方法(1)提公因式法，即：其分解步骤为：确定公因式，公因式=各系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积 将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式(2)运用公式法平方差公式： 完全平方公式：运用时，应注意： 如果多项式中各项含有公因式，应该首先提取公因式，然后再考虑运用公式 公式中的字母，既可以表示一个数，也可以表示一个单项式

7、或者一个多项式(3)十字相乘法：新教材中已不作要求，但此方法在解题中非常适用(4)分组分解法:：各项适当分组，以达到最后能用提公因式或运用公式分解因式的目的3分解因式的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止(四)分式1分式定义：式子叫做分式，其中A，B表示两个整式，且B中含有字母(1)分式无意义：当B=0时，分式无意义；当BO时，分式有意义(2)分式的值为0：当A=0且B0时，分式的值为0(3)分式约分：把一个分式的

8、分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分其步骤是：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式(4)最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分*(6)最简公分母：各分母所有系数的最小公倍数与因式的最高次幂的积叫最简公分母2分式的基本性质(1),（其中）(2)分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变3分式的运算(1)加、减： (2)乘、除： (3)乘方：*(4)繁分式：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法

9、法则进行化简（五）二次根式*1.二次根式的概念：式子叫做二次根式。（1）最简二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式*（2）同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。*（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫分母有理化*（4）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式如：与互为理化因式2.二次根式的性质（1） （2）（3） （4） 注：*3.二次根式的运算（1）加减运算的实质是合并同类二次根式，其步骤是先化简，后找“同类”合并三方程与方程组（一）方程1

10、.方程：含有未知数的等式叫做方程，它包含两层意思：一是含有未知数，二是等式，二者缺一不可。从定义可说明方程是等式，但等式不一定是方程。2.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根3.解方程：求方程的解的过程，叫做解方程*4.同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程*5.方程的同解原理（1）方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程(2)方程两边都乘以(或除以)同一不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程6方程的增根与遗根(1)在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根(2)在方程变形时

11、，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根7方程的分：(二)一元方程1一元方程(1)一元一次方程的标准形式：(2)一元一次方程的解法(3)一元一次方程有唯一的一个解说明：对于以为未知数的最简方程，若没有给出字母a和b的取值范围，其解有下面三种情况：时一元一次方程，有唯一解，时，方程无解 ，时，方程有无数个解2一元二次方程(1)一元二次方程的一般形式：(2)一元二次方程的解法特殊解法：直接开平方法：配方法：公式法： 因式分解法：*(3)一元二次方程根的判别式：方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实数根方程有两个实数根。反之：一元二次方程有两个不等实根

12、一元二次方程有两个相等实根一元二次方程无实根 一元二次方程有两个实根结论：（1）若二次三项式是完全平方式，则方程的判别式=0。（2）方程有实数根，包括两种情况：有两个实数根，只有一个实数根。说明：根的判别式最常见的用法有：不解方程判别一元二次方程根的情况。由方程根的情况确定某些字母的值或范围*（4）、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：如果的两个根是，则， ， （5）、一元二次方程的应用题（1）商品利润问题：每件商品利润=售价进价涨价时：商品总利润=每件商品利润×商品件数=(原来利润+涨价)×（原来件数减少件数）降价时：商品总利润=每件商品利润×商品件数=(

13、原来利润降价)×（原来件数+增加件数）（2）增长率问题：（其中是原来数量，是增长次数，是次增长后到达数）（3）矩形内修路问题的常用思路是用平移集中法。3分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程(1)分式方程的解法一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母特殊解法：换元法(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法(三)多元方程组1二元一次方程组(1)一般形式：（不全为

14、0）(2)解法：二元一次方程组一元一次方程组2三元一次方程组(1)一般形式：(2)解法：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组3二元二次方程组(1)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(2)由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组基本解法是：消元，转化为解一元二次方程；降次，转化为解二元一次方程组(四)列方程(组)解应用题列方程(组)解应用题，千万不要死记硬背例题的类型及其解法，要具体问题具体分析，一般来讲，应按下面的步骤进行：1审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出能够表示应用问题的全部含义的等量关系2设未知数：选择一个或几个适当的未知量，用字

15、母表示，并根据题目的数量关系，用含未知数的代数式表示相关的未知量3列方程(组)：根据等量关系列出方程(组)4解方程(组)：其过程可以省略，但要注意技巧和方法。5检验：首先检查所列方程(组)是否正确，然后检验所得方程的解是否符合题意6写答：不要忘记单位名称四、不等式与不等式组(一)一元一次不等式的解法即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为(或)()的形式，再把系数化为1得出不等式的解集说明：在去分母和化系数为l时，需特别注意不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下：当时，(或) 当时，(或)当时，若，不等式无解(或不等式的解集为一切实数)当时，若，不等

16、式的解为一切实数(或不等式无解)(二)一元一次不等式组的解法即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中)口诀不等式组解集在数轴上表示同小取小同大取大大小取中两背为空无解五、函数及其图象(一)平面直角坐标系在平面内画两条有公共原点且互相垂直的数轴，就建立了平面直角坐标系，该平面就叫坐标平面1坐标平面的结构：由四个象限和两条坐标轴构成注意：两条坐标轴不属于任何象限2点的坐标：设点P是坐标平面内的任一点，由点P向轴作垂线，垂足对应着轴上的一个实数；由点P向轴作垂线，垂足对应着轴上一

17、个实数，则点P的坐标就是()，其中叫点P的横坐标，叫做点P的纵坐标说明：点的坐标的定义实际上给出了求点的坐标的一种非常重要的方法，要注意横坐标与纵坐标的顺序不能颠倒3不同位置点的坐标的特征(1)坐标轴上点的坐标的特征轴上点的纵坐标为0，一般记为P(x，0)·y轴上点的横坐标为0，一般记为Q(0，y)(2)各象限内点的坐标的特征如：点P(x，y)在第一象限x>0，y>0点P(x，y)在第二象限x<0，y>0点P(x，y)在第三象限x<0，y<0点P(x，y)在第四象限x>0，y<04点坐标的几何意义(1)点到x轴的距离是 (2)点到y轴的

18、距离是(3)点到原点的距离是5关于坐标轴、原点对称的两点坐标的特征：(1)点关于x轴的对称点是 (2)点关于y轴的对称点是(3)点关于原点的对称点是6(1)若PQx轴，则 (2)若PQy轴，则7若，当是线段AB的中点时*8.若，则9坐标平面内的点和有序实数对(x，y)之间建立了一一对应关系(二)函数的概念1常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量2函数：在某一变化过程中的两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就叫做x的函数，其中x做自变量，y是因变量(1)自变量取值范围的确定整式函数自

19、变量的取值范围是全体实数分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义(2)函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值3函数常用的表示方法：解析法、列表法、图象法由函数的解析式作函数的图象，一般步骤是：列表、描点、连线(三)几类特殊函数1一次函数(见下表)函数解析式自变量范围图象增减性正比例函数全体实数当k>0时，y随x增大而增大；当k><0时，y随x增大而减小。一次函数全体实数说明：直线位置与常数的关系(1)决定直线的倾斜角(直线向上的方向与x轴的

20、正方向所形成的夹角的大小)倾斜角为锐角直线过点(0，b)且平行于x轴的直线倾斜角为钝角(2)b决定直线与y轴交点的位置b>0直线与y轴交点在x轴的上方 b=0直线过原点b<0直线与y轴交点在x轴的下方；图1(3)如图l， (4)如图2，图2(5)设直线上有两点，则2二次函数开口方向对称轴直线直线直线顶点坐标()增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；最值当，当，求用代入法注意：抛物线位置由决定(1)决定抛物线的开口方向开口向上开口向下(2)决定抛物线与y轴交点的

21、位置图象与y轴交点在x轴上方图象过原点图象与y轴交点在x轴下方(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)同号对称轴在y轴左侧对称轴是y轴异号对称轴在y轴右侧(4)顶点坐标(5)决定抛物线与x轴的交点情况、>0抛物线与x轴有两个不同交点=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)<0抛物线与x轴无公共点(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值（7） 的符号的判定： 表达式，请代值，对应y值定正负；对称轴，用处多，三种式子相约；轴两侧判，左同右异中为0；1的两侧判，左同右异中为0；-1两侧判，左异右同

22、中为0.（8）函数图象的平移：左右平移变x，左+右；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找。（9）对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）。（10）结论：二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上=0；二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称；二次函数(经过原点，则。（11）二次函数的解析式：一般式：(，用于已知三点。顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴。（3）交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上

23、的截距，也可用此式。3反比例函数（1）反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数，称为反比例函数。(0。与成反比例2、 反比例函数的图象和性质k的符号k0k0图像的大致位置经过象限第 象限第 象限性质在每一象限，y随x的增大而在每一象限，y随x的增大而（1）反比例函数的图象是两支双曲线。（2）图象过一、三象限在每一象限内，的值随值的增大而减小；图象过二、四象限在每一象限内，的值随值的增大而增大。顺口溜：反比性质很特殊，一三k正二四负；一增一减k为正，同增同减k是负。（3）反比例函数是既是轴对称图形，又是中心对称图形。对称中心是原点。（4）的几何意义：设是反比例函数图象上任一点，过点P作轴

24、、轴的垂线，垂足为A，则（1）OPA的面积（2）矩形OAPB的面积。这就是系数的几何意义并且无论P怎样移动，OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。矩形PCEF面积=，平行四边形PDEA面积=说明：k决定双曲线的位置(1)k>0图象在一、三象限内(2)k<0图象在二、四象限内第二部分统计与概率主要内容是学习现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生的可能性的刻画，来帮助人们做出合理的推断和预测，以下分别从各个知识点加以整理概述一、统计初步(一)总体和样本1总体和个体：在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象

25、叫做个体2样本和样本容量：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量样本容量没有单位。3数据收集与处理的有关概念(1)普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查；(2)从总体中抽取一部分个体进行调查称为抽样调查。(3)利用抽样收集数据时应注意考虑以下三点：被调查的对象不得太少被调查的对象应有随机性被调查的数据应是真实的(二)反映数据集中趋势的特征数1平均数(1)，的平均数：(2)加权平均数：如果n个数据中，出现次，出现次，出现次(这里)，则(3)平均数的简化计算：当一组数据，中各数据的数值较大，并且都与常数接近时，设，的平均数为，则2中位数：将一组数据

26、按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数3众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据的众数可能不止一个4极差：最大值减去最小值的差(三)反映数据波动大小的特征数1方差(1)，的方差：（2）说明：当，为较小的整数时，用该公式计算方差较简便(3)，方差为，设、为常数，则，的方差为；，的方差为（，各数据较大且与常数较接近时，用该法。2标准差：方差()的算术平方根叫做标准差(s)(四)频率分布1有关概念(1)分组：将一组数按照统一的标准分成若干组，称为分组，当数据在100个以内时，通常分成5

27、12组(2)频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数，各个小组的频数之和等于数据总数n(3)频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l(4)频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表(5)频率分布直方图：将频率分布直方表中的结果，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。每个小长方形的面积等于该组的频率。所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1样本的频率分布反映样本中各数据的个数分另IJ占样本容量n的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分

28、别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布2研究频率分布的方法：得到一组数据的频率分布的方法，通常是先整理数据，后画频率分布直方图其步骤是：计算最大值与最小值的差 决定组距与组数决定分点 列频率分布表 绘频率分布直方图(五)各种统计图的特点1条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目2折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况3扇形统计图：能清楚表示出各部分在总体中所占的百分比二、概率1必然事件：对于一个事件，如果每一次都能发生或者百分之百发生的事件称为必然事件不可能事件：对于一个事件，一定不能发生的事件称为不可能事件2等可能事件：一个事件只有两种结果，即一正一反，并且

29、他们的可能性相同则称为等可能事件等可能事件必须具备条件均等及随机性3概率 简记作4几种概率(1)必然事件概率为1，记作P(必然事件)=1(2)不可能事件概率为0，记作P(不可能事件)=0(3)如果A为不确定事件，那么0<P(A)<15几何型概率=6余事件概率：一个事件A的余事件的概率=7实验频率与理论的关系当实验次数很大时，实验频率稳定在相应的附近但这并不意味着实验次数越大，就越为靠近8游戏规则公平性的标准是各方获胜的概率相同9计算概率的常用方法：一是画树状图；二是列表10求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率即正难则反易第三部分生活中的图形一、空间图形

30、1图形是由点、线、面构成的点动成线，线动成面，面动成体面与面相交得线，线与线相交得点2常见的几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球3棱柱的有关概念和特征(1)在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱(2)棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形4截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面5几何体的三视图：把从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图二、图形的平移与旋转(一)平移1概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移2平移的特征(1)平移不改变图形的形状和

31、大小(2)经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等(二)旋转1概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角2旋转的特征(1)旋转不改变图形的大小和形状(2)经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿同方向转动了相同的角度任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等(三)位似变换1位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。2位似图形的性质：位似图形上任意一对对应

32、点到位似中心的距离之比等于位似比(四)空间的垂直关系1棱与平面的垂直：在长方体中，一条棱垂直于一个面内两条相交的棱，这条棱与这个面就互相垂直2面与面垂直：一个面经过另一个面的一条垂直的棱，这两个面就互相垂直第四部分 平面图形与三角函数主要内容涉及到现实世界中的物体，几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具以下分别从各个知识点加以整理收集一、线段、角与三角形(一)命题、定理、逆定理1基本作图(1)作一条线段等于已知线段(2)作一个角等于已知角(3)平分已知角(4)经过一点作已知直线的垂线(5)作线段的垂直平分线2等腰三角形的性质定理：(

33、1)等腰三角形的两个底角相等简写成：等边对等角推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合简写成：等腰三角形底边上三线合一推论2：等边三角形的各角都相等，且每一个角都等于60°(2)等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成：等角对等边推论1：三边都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么官所对的直角边等于斜边的一半3线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距

34、离相等逆定理：和一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上4勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方即：逆定理：如果三角形边长a，b，c有关系：，那么这个三角形为直角三角形(二)线段与角1直线、射线、线段、角的有关概念2两点间的距离：连接两点的线段的长度3直线公理和线段公理(1)直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线简写成：过两点有且只有一条直线(2)线段公理：两点之间，线段最短4余(补)角性质：同角或等角的余角(补角)相等(三)相交线与平行线1同一平面内两条直线的位置关系(1)平行线：在同一平面内，没有公共点的直线叫做平行线(2)相交线：在同一平面内，只有

35、一个公共点的两条直线叫做相交线2点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度3对顶角性质：对顶角相等4垂线性质(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短简写成：垂线段最短5平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行6平行线的判定公理和定理(1)判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简写成：同位角相等，两直线平行(2)判定定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简写成：内错角相等，两直线平行两条直线被第三

36、条直线所截，如果同旁内角角互补，那么这两条直线平行简写成：同旁内角互补，两直线平行7.平行线的性质公理和定理(1)性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简写成：两直线平行，同位角相等。(2)性质定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简写成：两直线平行，内错角相等两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简写成：两直线平行，同旁内角互补(四)三角形1(1)三角形的知识结构(2)三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论l：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内

37、角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角2全等三角形(1)定义：能够完全重合的两个三角形(2)性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等(3)判定边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS公理)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA定理)推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS推论)边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等(SSS定理)斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL定理)4角的平分线(1)定理l：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等(2)定理2：到一个角的两边的距离相等

38、的点，在这个角的平分线上二、四边形(一)四边形1定理：四边形的内角和等于360°，外角和等于360°2多边形内角和定理：多边形的内角和等于（二）平行四边形1.平行四边形的性质和判定性质 对边平行 对边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分判定 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边分别平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分的四边形2.特殊平行四边形的性质和判定名称矩形菱形正方形性质对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等直角三角线斜边上的中线等于斜边一半 对边平行 四条边都相等 对角相等 对角线互相垂直平分，且平分一组对

39、角 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等判定有三个角为直角的四边形有一个角为直角的平行四边形对角线相等的平行四边形四条边都相等的四边形一组邻边相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形。有一个角为直角的菱形有一组邻边相等的矩形3中点四边形顺次连接四边形四边中点构成的四边形叫中点四边形。任意四边形的中点四边形是平行四边形，矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形(三)轴对称和中心对称定义轴对称中心对称性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做

40、对称轴把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心判定关于某条直线对称的两个图形全等对应点连线被对称轴垂直平分如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上关于中心对称的两个图形全等对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称如果两个图形的对应点连线都经过某一点且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称轴对称图形中心对称图形(四)梯形1概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形2等腰梯形(1)性质定理：等腰梯形在同一底上

41、的两个底角等，等腰梯形的两条对角线相等(2)判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形为等腰梯形3平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(1)推论l：经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰(2)推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边4中位线(1)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段(2)性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半三、相似形(一)比例线段1线段的比和比例线段(1)比例的基本性质： 推论：(2)合比陛质：(3)等比性质：其中。2平行线分线段成比例(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的

42、对应线段成比例(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例(3)逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(二)相似三角形1概念：对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形2相似三角形的判定(1)定理l：平行于三角形_边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(2)定理2：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简单说成：两角对应相等，两三角

43、形相似(3)定理3：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(4)定理4：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简单说成：三边对应成比例，两三角形相似(5)定理5：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似(6)定理6：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（7）射影定理3相似三角形的性质(1)定理l：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(2)定理2：

44、相似三角形周长的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方四、解直角三角形(一)锐角三角函数1三角函数定义1在RtABC中，若C=90° 2、同角三角函数的关系（1）平方关系：（2）商数关系：（3）倒数关系：3、互为余角的三角函数关系，或者：若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB4、特殊角的三角函数值(自画表格)sincostancot0°010不存在15°30°45°1160°75°90°10不存在05、锐角三角函数的增减性(0°90&#

45、176;)（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。6、锐角三角函数的取值范围0sin1，0cos1，tan0，cot0.（二）解直角三角形1、直角三角形中边角关系在RtABC中，如果C=90°，A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为A+B=90°（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）2、其他有关公式（1）=（2）Rt面积公式：