高数定积分及其应用第129-163,共35张勇

1、第五章定积分及其应用 5.1 学习的要求1, 理解定积分的概念及几何意义，了解可积的条件.2, 掌握定积分的基本性质.3, 理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法.4, 熟练掌握牛顿莱布尼茨公式.5, 掌握定积分的换元积分法和分部积分法6, 理解无穷区间的广义积分，掌握其计算方法.7, 熟练掌握定积分求平面图形面积和掌握平面图形绕坐标轴旋转所成的旋转体体积8, 会用定积分求变力直线做功和不均匀细棒的质量. 5.2 5.2内容提要一、定积分的概念(一)定积分的概念定义 设函数y f(x)在区间a,b上有定义，用任一组分点：a x0 x1.xiKxnb,把区间a,b分成n个小区

2、间Xi i,x/(i 1,2,3,n)在每个小区Xi 1, Xi 上任意取一点i (xi 1 ixi )用函数值f ( i )与该区间的长度nxixix相乘，作和式 f( i) xi如果不论对区间a,b采取何种分法及i如何i 1选取，当| xi0(| x| max x (1 i n)时，和式的极限存在，则称函数f(x)在ba,b上可积，此极限称为函数在区间a,b上的定积分(简称积分),记为 f (x)dx ,即aba f(x)dxnf ( i) x，其中变量x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f (x)dx 0i 1称为被积表达式a, b分别称为积分下限和积分上限，a,b称为积分区间，bf(

3、x)dx是一个常量(a,b为常数)，其值只与被积函数和积分上下限有关，与积分变量用什么字母无关，(二),几何意义b1, 若f(x)>0,定积分f(x)dx表示曲线y f (x)，直线x = a和x = b以及x轴所a围成的曲边梯形的面积，b2, 若f(x)w。,定积分f (x)dx表示相应曲边梯形面积的负值.a(三)定积分存在定理定理 如果函数f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上的定积分必定存在、定积分的性质bb性质 1 若 x a,b,恒有 f(x)=l,则有 1 dx dx b a . aaba性质 2 a f(x)dx=- b f(x)dx.bb性质 3 kf (x)d

4、x k f (x)dx (k 是常数) aabbb性质 4 f1 (x) f2(x)dx f1(x)dxa f2(x)dxfn(x)dxa,b ),bbb推 论 1 a fi (x) Lfn(x)dxa fi(x)dxa(2(x)dx Lbcb性质 5 c a,b,则f(x)dx=f (x)dx+ f (x)dxaacbcb推论 2 a,b,c为任意的常数 f (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx. aac性质6(积分中值定理)若函数f (x)在a,b上连续，则至少存在一点(bf (x)dx= f ( )(b a) a三、牛顿莱布尼茨公式(一) 积分上限函数1 .定义 设f(x)在a

5、,b上连续，x a,b,则f(t)在a,x上可积，即xxf(t)dt存在，因此 f (t)dt是上限x的函数，记为(x) f(t)dt,称(x)为积分上限 aa函数(或变上PM积分).2 .积分上限函数的导数设f(x)在a,b上连续，(x)在a,b上可导，则d x'(x) f(t)dt f (x), x a,b. dx a(x)就是f (x)在a,b上的一个原函数.(二)牛顿一莱布尼茨公式定理如果函数F (x)是连续函数f (x)在区间a, b上的任一原函数，b则f(x)dx F(b) F(a),a这个公式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分学基本定理.公式表明：一个连续函数在区间a,

6、b上的定积分等于它的任一原函数在区间a,b上的增量.四.定积分的换元法和分部积分法(一)定积分的换元法设函数f (x)在区间a,b上连续，令x (t),如果(1)(t)在,上连续，当t ,时，(t)的值不超出a,b,且有连续导函数'(t);(2)( ) a, ( ) b,b则f(x)dx= f( (t)'dx.a用x(t)进行变换时，积分限也要随之换成新变量t的积分限，不必像不定积分那样将变量还原.(二)定积分的分部积分法设函数u(x), v(x)在a,b上具有连续的一阶导数u'(x),v'(x),则buv'dx uvabvdua(三)偶，奇函数在对称区

7、间a,a上的积分(1)当“*)是a, a上连续的偶函数时,(2)当“*)是a, a上连续的奇函数时,五.广义积分(反常积分)(一)无穷区间上的积分(无穷积分)aa f(x)dxaa f(x)dxa0 f(x)dx ；定义设f(x)在区间a,)上连续，取blimbbf (x)dx ,则称此极限 a值为 f(x)在a,)上的广义积分，记作f (x)dx =bimba f(x)dx ;类似地，可以定义如下反常积分bf (x)dx=Jmba f (x) dx ；(2)cf (x)dx=f (x)dx+cf (x) dx Jimca f (x)dx+limbf (x)dx ,(3)c其中c为任何实数；当

8、(1)(2)(3)式右端极限存在时，反常积分收敛，否则是发散的.(二)无界函数的积分 b定义 设f (x)在(a,b上连续，且lim f (x) ，取 0若极限lim f (x)dx x a0 a ' '存在，则称此极限为无界函数f(x)在a,b上的广义积分，记作bbf (x)dx= lim f (x)dx.a0 a类似地，可定义在x b附近无界函数 f(x)的反常积分bba f(x)dx = limf(x)dx,以及在(a,b)内一点x c附近无界函数f(x)的反常积分bcbcba f (x)dx = f (x)dx + c f (x)dx = lim 且 f (x)dx +

9、 lim f (x)dx -六定积分的应用(二)定积分的元素法.(1)任取a,b上的代表性的小区间x,x dx,作出欲求量Q在此小区间上增量Q的近似值即微元：dQ f (x)dx .b(2)求积分，Q= f (x)dx. a注：关键是找出微元，例如求面积要找出“面积微元”，求体积要找出“体积微元”等.(三)定积分的几何应用1)平面图形的面积(1)直角坐标系下的面积公式由曲线y f(x),y g(x)(f(x) g(x)与x a,x b(a b)所围成的图形面积bS=a f(x) g(x)dx；a由曲线 x (y),x(y)( (y)(y)与y c, y d(c d)所围成的图形面积ds (y)

10、(y)dy.c(2)极坐标系下的面积，求立体的体积由曲线r r(),与两条射线 ，所围成的曲边扇形的面积1 2/ x .s -r ( )d .22)已知平行截面的面积，求立体的体积设某立体由一曲面和垂直于x轴的两个平面x a,x b围成，用垂直于x轴的平面去截这个立体，若截面面积 A(x)(a x b)是已知的连续函数，则该立体体积V3)旋转体的体积连续曲线y f (x)(a x周所得的旋转体体积连续曲线x (y)(c y周所得的旋转体体积bA( x)dx .ab)与x a,x b及x轴所围成的图形绕b 2Vxa f (x)dxd)与y c, y d及y轴所围成的图形绕d 2Vyc (y)dy

11、.cx轴旋转y轴旋转(三)定积分在物理上的应用1 .变力沿直线作功变力f (x)作用于物体，使物体由点xa移动到x b, f(x)在a, b上连续，由微元法，任取a,b上的小区间x,xdx,其上的变力 f (x)近似看 着常数，得功 元素dw f (x)dx ,b以a到b求定积分，得所求的功w = f (x)dx .a2 .非均匀直线细棒的质量.直线细棒的线密度为(x),x a,b,在a,b上由微元法，任取a,b上的小区间x,x dx,其上的密度近似看着常数，得质量元素dm (x)dx,b从a到b求定积分，得到所求的直线细棒的质量m= a (x)dx.3 .非均匀细棒的转动惯量细棒AB的方程为

12、y kx b,密度 (x),x a,b,任取a,b上的小区间 x,x dx,视该小区间上密度与x, x dx对应的细棒段 CD到转轴x轴的距离y为常数， 得转动惯量微元 dIxy21 k2(x)dx dk2(kxb)2 (x)dxb t 22转动忸重为I x . 1k (kx b)(x)dxa§5.3基本例题及分析例1.比较下列积分的大小关系2 x2 x o1 x1(1) dx与()2dx;(2)dx与 ln(1 x)dx .1 sin x 1 sin x01 x 0分析在积分上下限都相同的情况下，积分大小由被积函数的大小决定.比较两个函xsin x数的大小可以根据函数本身的图形关系

13、、利用单调函数的定义等方法来判断解(1)当 x 0时 sinx x,当 1<x<2 时，有一x1 ,即有(一x)2sin xsin x2 x2 x c则dx()2dx.1 sinx 1 sin x x(2)令 F(x) ln(1 x), F(0) 0, 1 xF'(x)xr,(1 x)21 x (1 x)20,F(x)F(0)当x 0时，F'(x) 0时,F(x)单调下降，xln(1 x),1 x1 11贝 U dx ln(1 x)dx.01 x 01_例2.估计积分12 xearcsnxdx的值.41 1 .斛当x ，一时，y x单增，yarcsin Jx单增，y

14、 e是单增，所以. 1.J，因此 f(1) f(x) f(1),4 2f (x)xearcsin、x 在1,1也是单增的4 2f(14) ”,"12)-e6161 :1e4 得一e2 412f (x)dx41 ;6 f (x) e4,同时积分得21 4-e .8x例3.设f (x)在x a处连续，求极限lim x af(t)dt分析x a时，分子趋向f(t)dt (=0),所以是0型极限，一般对变上限积分很0x常用“(f(t)dt) f(x)”这种运算方式，所以很自然想到用洛必达法则求解 a解这是9型未定式，用洛必达法则求解0原式=limx(tf dt)a(x a).xf(x) li

15、maf (a).x a 1例4.x设f (x)在a, b上连续，且f (x) >0,证明：方程 f (t)dtax 1 dt 0b f(t)在区间(a,b)内恰有一个根.分析证明根的存在可以考虑零点定理：连续函数的端点函数值符号相反则函数至少有一个零点(即函数值为 0的点)，如果函数是单调函数，则只能有一次穿过x轴.本例中出现变上限积分，一般要用到它的导数，注意变上限积分函数的自变量由变上限确定.x证设 F (x) = a f (t)dt 以F(x)在a,b上也连续.x 11出，由于f (x)连续，f (x) >0,则连续,所b f(t)f(x)a 1b 1b又因为 F(a) dt

16、dt 0, F(b) f(t)dt 0,b f (t)a f(t)a又 F'(x) f (x)一个根，由上述证明可知：例5.计算下列积分1 0.则F(x)在a,b上单增, f (x)F(x)在(a,b)内恰好有一个根.F(x)0在a,b上最多有9 sin x4 、x(2)2 cos5 xsin2xdx ；0a 222 .3 3) x a x dx ( a>0)； 0(4)1 dx2 xlx21e 1(5) 0 ln(1 x)dx；(6)2 (sin3 x cosx)dx.2由零点定理可知，F(x) =0在(a,b)内至少有一个根.分析(1)题出现了复合函数和其中间变量的导数，比较

17、明显是用凑微分法；另外也 出现了 Jx项，可以尝试第二换元法 .(2)题先用倍角公式化简后明显是用凑微分法的情形.(3)题含4a2 x2且没有 2xdx的组成，所以用第二换元法的三角代换法.(4)题同(3)题，另外注意到和(arcsinx)1/J1 x2很接近,可以考虑变形后用凑微分法.(5)题是募函数乘对数函数的积分，显然用分部积分.(6)题的上下限是对称区间，根据奇偶函数在对称区间的积分来做 .1斛:(1)法一: dx2d Vx,x49 詈dx 2 49s1n 如或2cos 网94 2(cos2 cos3).法二:(用第二换元法).令 tJx, x t2,dx 2tdt,当 x=4 时，t

18、=2;当 x=9 时 t=3,9 sin . x 1 一dx4,x32 sintdt22cost3 2(cos2cos3).(2)原式=2 02 CoSxsin xdx26,2 2 cos xd cosx 027-cos x 7令 x asin t,(0 t ),dx acostdt ,2当 x=0 时，t=0;当 x = a 时，t=，则a 2 -22 .0x a xdx204 a42 , . 2 ,a (sin t)(acost)(acost)dt02sin22tdt(4)法一：用第二换元积分法2当 x 2 时，t 2 fx31 dxjs.tcoJtdta4 21 cos4t ,2dt4

19、02,令 x sect, dx sect tantdt ,1时,t=，则2 x v x21法二：运用恒等变形和凑微分法sect tan t , dt2甘 sect( tant)2, 1, 有 42x ,而一百2=X、x 14a8(tsin 4t4 a16L( 1)dt32(1 x)21(1x)2(-),x令u 1 ,则x(5)1 dx1/21 du-1 u2arcsin u11/2e 10 ln(1x)dxe 10 ln(1x)d(x 1) (x1)ln(1x)e 10 (x1)d ln(1 x)(6)e 1e (x01)x-dx e1积分区间关于点对称，sin33是奇函数，cos x是偶函数

20、.、/23/2原式= sin xdx cosxdx 0 2 /2/202 cosxdx 2.例 6.求证 °xf(sinx)dx 分析等式两边被积函数均含有o f (sinx)dx -f (sin x),注意至ij sin( t) sint ,如果 x其上下限互换了，并注意到定积分与积分变量用什么符号无关dt,当 x 0时，t =o xf (sin x)dxt)f (sin( t)(;当x 二 时, 0 dt) (t=0.t) f (sin t)dto(t) f (sin t)dt0 f (sin t)dt0 tf (sin t)dt,而定积分与积分变量无关，得0 tf (sin t

21、)dt 0 xf (sin x)dx ,整理得 ° xf (sin x)dx Qf (sin x) dx .例 7.计算 e x sin xdx . 0分析被积函数的指数函数乘正弦函数，两次同型的分部积分就可以解出原函数题是广义积分，其实就是先求定积分，然后取上限或下限的极限解：由不定积分e xsinxdxx xsin x e cosxdxx 一一sin xxe cosxxe ( sin x)dx ,x sin dx1e x(sin 2x cosx)c,sin xdx lim bbe x sin xdx0bim( ex/2)(sin xcosx) 0bim(sinb cosb2eb1

22、/2) 1/2x sin xdx收敛,其值为1/2.例8.求曲线2 , x与直线x=4, x 轴,y轴在区间0,4上围成图形的面积S.解4S =02 .x dx例9.求由曲线2(40 2 r2、,x )dx2 cos2(x2 4)dx所围成图形在(4x x3. 3)： (x3,. 3 4x)r =1内的面积.42 16.分析 本题没有明确指出极坐标下的变化范围，那么肯定要根据已知条件找出来,注意r1 2>0.题意是求两个图形围成的图形面积，而定要相交，所以首先要求出交点，从而确定积分的限r =1是个半径为1的圆，它和曲线一解由r22 cos20 ,则 cos2 0,2人 r 2cos2r

23、 1,交点(1,-).由于对称性,先计算第一象限内的部分/6时,r =1 ,阴影部分面积A106 r2d6 , 1d012.2一时，r2 cos 24,阴影部分的面积为A2 24 244r d6A 4(AA2) -23.例10.求由曲线y 2 x2与直线y x(x 0), x 0 .围成的平面图形绕 x轴旋转 而成的旋转体体积.分析 两曲线围成图形的旋转体体积可以看成大的旋转体去掉小的旋转体，曲线绕 x轴 旋转，任意点x处的截面半径是r y f(x)，旋转体体积微元是y2dxf2(x)dx.解解方程组:二且x 0,得x=1.则所求旋转体的体积为Vx1001 o0(2 X2)2dx0x2dx10

24、(424、5x x )dx例11.自地面垂直向上发射火箭，火箭质量为m,试计算将火箭发射到距离地面高度为h处所做的功.解：设地球质量 M ,半径为R ,坐标原点在地心，地球对于r点处火箭的引力大小为f G- (r是地心到火箭的距离).r火箭从r处到r dr处.引力近似看成不变，为f(r) GM；, r则功元素为dW f (r)dr ,)R hR hR h Mm1 R h1W dW f (r)dr G-dr GMm( -) R GMm(一RRR r2rR§ 5.4 教材习题选解习题5-11、判断题b(1)定积分 f(x)由被积函数f(x)与积分区间a,b确定.(，) ab(2)定积分

25、f(x)dx是x的函数.(x) ab(3)若 f(x)dx 0,则 f(x) 0. (x) ab(4)定积分f (x)dx在几何上表示相应曲边梯形面积的代数和.(，)a2、选择题(根据右图(见教材P122图)写出答案)：b(1) 0 f (x)dx(B)；(A)A1A2;(B)A1A2;(C)A2A1;(D)AA3A2d f f(x)dx (C)； c(A)A2A3；(B)A2A3；(C)A3A2；(D)A3AiA2 .d(3) 0 f (x)dx (C).(A)AiA2A3 ；(B)AiA2A3 ；(C)AiA2A3 ；(D)A3AiA2.习题5-2i、判断题2(i) f(x)dxf(x)d

26、x； (x)(2)当 f (x) c时,(3)bakf (x)dxbi0 f(x)dxbif (x)dx ； (V)f（x）dx只对非零常数k成立；（x） aki fi(x)k2 f 2(x)dxkifi (x)dx k2ba fz(x)dx; (V)-9 ”sin xdx9.sin xdx9.sin xdx .2、已知ix3dxdxixdx0cosxdx i ,02sinxdx1，求定积分:解（i）i0(4xi0(x(4x3i20(x 2) dx(3)i0(3xi0(x2sin2 dx02(6)i382x3i) dx ;2x(x2i)dx;i)dx4xi )dx3i)3dx(5)4)dxix

27、dx0i(x0ii cos x ,2dx02i0(x3dx3x202(asinx b cosx) dx2)2dx2 xsin -dx ;ix2dx0idx03x2dx0(3)i0(3x2ixdx0(6)iidx2i4 xdx0i)dxi3i x0i92 (asin x0idx03dx2 cos xdx002sinxdx b 02 cosxdxb cosx) dx .3;ii;2dxxdx04(idx02)；3、设f(x)和g(x)在a, b上连续，且0 f(x) g(x)试用定积分的几何意义说明bbf(x)dx g(x)dx . aa解令 h(x) g(x)ba h(x) dxbQ a f(x

28、)dxf(x),则在a,b上,b0,即(g(x) f(x)dx aba g(x)dx .h(x)b0,ag(x)dxbf(x)dx 0, a4、用第3题的结论比较定积分的大小:2.ln xdx与(ln x) dx ； (3)3、2 xdx 与 2sinxdx； 0022 2 .(1) 1 xdx与x dx ； (2)1 .,1.2.(4) ° sin xdx 与 °sin xdx .解(1)在1 , 2上,x2 (2)在3,4上，lnx2 2 2x , xdx x dx.111 ,知 ln x (ln x)22 , (ln x) dx .4ln xdx3在0,上，f (x)

29、 x sinx, f 2'(x) 1 cosx 0 ,即 f (x)在0 一是增 ，2f (x)取到最小值.2 sin x函数，显然在0,上，当x 0时，2f (x) x sin x 0,有 sin x x,则2 xdx2 sin xdx 00(4)在0,1上，0 sinx 1, sin x1sin xdx01sin2xdx .0习题5-3(1)当(x)1、判断题xf(t)dt 时,'(x) a(2)对任意函数bf ( x)有 a f ( x) dxF(b) F(a);(x)1(3)0(_1_, 1 x22(4)sin kxdx02、计算定积分a 12(2) 1(3x1、-)d

30、x(a 0)； x(3)221i(X尸库(4)Vx(1 Vx)dx ;3 dx12 ；飞1 x(6)4 dx(8)27T12dx2J x21dx20-.42， x(10)(11)2 sin3 xdx ；0(12)| sin x| dx ;(13)f(x)(15)(4)(6)(8)(9)2x4 tan2 xdx ；0(16) 1123x2，求02x.x(a21(xf(x)dx ；(14)(17)(3x21)33a dx0 PV(a 0)，1 3x1(2sin xx0(e3x 1dx;13cosx)dx ；2 x.,cos -)dx.21x -)dxx(a 1)21、，4)dx x(x3ln|x|

31、)ln(a 1)2a ln(a 1).J 3(3x1 3、3x )(3 27(18 81)3 dx1 L 2飞1 xdx2 a4 dx2 x2 1x)dx122 81) (31 dx0 7x216(8) 103arctan xarcsin x1212arctan-3(32)63 212481 x 121n1u1. x arcsin 212211616)3a11n3 2 51ln12 3ln311n5. 2.1 arcsin- 2arcsin0 一 6(10)13x1"x1_ 22_2_1 3x (x 1) 3(x1) 3x 41dx1d(x2 1)1 dx1-1 x3xdx3, ,

32、2 一ln( x121)4 arctan x2 6 0 44 ( 4) 2(11)02sin3xdx02 (cos21)d (cos x)13 万O 1-cos x 2 cosx 2 - (0 1) (0 1)300 32(12)0 |sinx|dx 0sinxdx2sin xdx2cosx cosx0(13)(1 1) (12f(x)dx1) 4.1 2 .x dx0(2x3 11)dx *3 0221(x2 x) - (2 0)1323-(14)(2sin x 3cosx)dx20sinxdx30 cosxdx2cosx 3sin x00(15)4 tan2 xdx02(1 1) 3(0

33、0) 44 (sec2 x 1)dx (tan x x) 4 1)、，、，0(16)_ 2-23x 2x1，xdx241 (3t42t21)2dt3 52 3 避2(3t 3t t)1一 sinx20(e11) (2 0) -(0 0) e2(- 4 . 2 2 2 - 2 . 2) 2( 1) 535 3也想68.1515(17) (ex cos2 -) dxexdx sin kxdx 0 ；-cosxdx0 20023、设k为正整数，证明:(2) coskxdx 0.证明：（1）sinkxdxsinkxd(kx)coskx k-(cosk cos( k ) 0； k,1 1 .(2) co

34、skxdx coskxd(kx) sin kk1 (sink sin( k ) 0. k4、设某公司拟在市场推出一种新产品，据市场预测，产品最终可占有全国市场的4%即每年可销售480万元，产品刚上市时大家陌生，故开始时达不到预测数，若收益函数变1,化率R'(t) 4801代成I解第二年的收益为：221 R'(t)dt 480 1 1(万元/年)，问第二年的收益为多少？第三年呢?48qt1(t 1)13dt(t 1)248021 1八2 .446(万)，2 43第三年的收益为:32R'(t)dt 480 21(t 1)3dt1480t - 2习题 5-41、判断题：(1)

35、定积分换元时要交换上、(2)11 x(3)(5)(t 1)2下限；(X)48Q3161“11 4681 (万),2 (x2 1)(cos3 x 2)dx 0;(，)2 x 2sin u4 x dxe 1° ln(1 x)dx(.1 x2)dx2、计算定积分2 dt0 4 te3dxx、1 In(5)0 sin2(10)t )dt;V1 x2dx ；(8)(11)222 4cos udu0- dx ； (x) x1 x301 x421(3)1 =cos-12(6)2sin3 xcosxdx ；02 cosxcos2xdx；2- dx2dx(a 0).022a x(9)xdx2 2 ，(

36、1 x )dt7t 2tanu -d(2tanu)4sec2 u01 x4dx1d(1 x4)0 1x4加1du 一 84)41n22dt1 t10(1dx1 x 1 ln x, t 1u2 1-)du 2ut2 euu2 1d(u21)1u2 1 1du12arctanu0t2 12d(et 1)11tet2t222t ett2 1 e1-dt2dt12t4-cos1dt t2 t02sin3xcosxdx一 2/0 sin ()dt11cos-d (-)t t1 sintsinsin 一202sin3 xd(sin x)1 cos2( to cos2(1rsin2(2 cosxcos2xd

37、x216( 1 1)2(11)xdx22(1 x )20(1sinu1一 sin4)dt)d(2( t )(cos3x2x2) 2d(11；(10)1sin(2cosx)dxx2)1 . sin621 x2)sin 2 3x1- sin x2-(2 51)cosud(sinu)2 22 cos0uducos2u , du2121 7 c -c 、1 ,2u 2 cos2ud(2u) sin2u 1. 9693232 04 04404a dx x asinu 6d(asinu) du _0 a2 x20 acosu 063、计算定积分:解(2)(4)(6)(8)(9)(10)(11)1 x .(

38、1)0xe dx;(2)0 tsintdt ；(3)12arcsinxdx;01(4) xarctanxdx002e2xcosxdx;(6)2 -x sin xdx .解1xe xdx01°xdx(e x)xxexdx(2)tsintdt00 td(cost)tcostcostdt0sint12arcsinxdx0xarcsinx12 xd (arcsinx)(4)(6)12102(112) 2d(1x2)1222112xdxx21xarctanxdx0arctanx1(1 -012e02xcosxdx2 2x2e sin xdx0112,、02x d(arctanx)x2dx01a

39、rctanx)d (sin x) e2x sin x4 02 e2x cosx2 sin0xd (e2x)dx,2x1 xe cosxdx - (e 52 sin xdx4、求定积分(1)1 dx(5)2；eo x2d(cosx)2xd (cosx)2x cosxc 2x2e cosxxcosxdx-22x、2 2 cosxd(e ) 02o xd(sin x) 2xsin xsin xdx2 2cosx211 5x；(2)e 1 ln x , dx;1 x1I 二 1(x31)dx.x4sin3 xdx ； (6)2 cos x解(1)1 dx 1 1d(11 5x) 11n |11 5x

40、1(ln6 ln1) -ln6 .211 5x 5 2 11 5x 52 55(2)(4)(6)t2 . 1 12dtt sinu -22 sin u cosu002sin22udu sin 4u|16 3214 In x , dx1 4 ° x2ln2e 1 In x , dx1 x43.x sin xdx11 3 32(x cos x1 -21 cos4u , 2du1612*t2)2ln2 1 .d(sin u)02(sinu cosu)2ducos4udu2In tdt1t ln te(1 In x)d(1 In x)10 （奇函数）.1(1ln x)2231)2 1 211

41、,32、，1)dx 1 (x cos x)dx5、证明在区间a, a上，若f（x）为偶函数,证明f(x)dxf (x)d(x)分与变1dx11dx0f (x)dx2 （奇函数）.a0 f (x)dx.0a f (x)dx0a° f (x) dx ,对f(x)d(x)af (x) dx 2 ° f (x)dx .6、设k为自然数，试证:2 coskxdx证明(1)(2)f( u)d(0u) a f(u)d(au)f (u)d(u)a0 f(u)d(u)cos2 kxdx14ksin2 kxdxa0 f(u)d(u)2sin kxdxcos2kx, dxcos2kxd(2kx)

42、工 sin2kx 4ka° f(x)d(x),从而cos2kxdx1源 (0 0)1 cos2kx .dx21一 cos2kxdx21cos2kxd(2kx)4k-sin 2 4k1源(0 0)7、证明:x1dx2 x1证明dx.2x1 x t1 x _t1Xdx1 x1 2d(；)(x 0) 1 dt1 1 t21t2dx2 x1dt1-t2 xL1dt.（积分与变量形式无关,只与积分上下限和函数有关）习题5-51、某河床的横断面如下图所示（图形见教材 它的横断面的面积，试根据图示的测量数据（单位:P134),为了计算最大排洪量，需要计算mD用梯形法计算其横断面面积.36解

43、76; f (x)dx 4(0 1.1 1.1 2.5 2.5 5.9 5.9 7 7 77 6.626.6 4.124.1 2.224(1.1 2.525.9 7222.2 026.6 4.1 2.2)2145.6 ( m ).2、用矩形法，梯形法与抛物线法近似计算定积分10,2 dxdx ,以求In 2的近似值（取1 x被积函数值取四位小数）解取 n 10,分点为：x0 1 , x1 1.1, x21.2 ,x9 1.9 , x102 且1102 dx矩形法：用外接矩形 1 x或者用内接矩形ixiyi01.01.000011.10.909121.20.833331.30.769241.40

44、.714351.50.666761.60.625071.70.588281.80.555691.90.52631020.5000求和1.50003.45952.7282梯形法：1抛物线法:2 dxx2 dxi7习题1、计算反常积分(5)解(2)(4)(6)1 1 (1.500010 2*xxdxdx4 x3.4595+2.7282) 0.6938 ,axdxln x dxx1(1.50006*52 2.72824 3.4595)0.6931 .5-6ax /dx ( a0)；(3)ln x ,dx (a x0)；(4)(6)dxx2 2x 2lim arctan(aa1 xdx0.21 xe dxdx1 X y 1 (ln