湍流的数学模型

1、湍流的数学模型第六讲流体仿真与应用湍流模型雷诺应力模型（雷诺应力模型（RSM） 雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方程模型雷诺应力方程模型。Reynolds Stress equation ModelRSM若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，则称为则称为代数应力方程模型代数应力方程模型。 这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。 湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方

2、程 第一步，建立第一步，建立 的输运方程。首先，将的输运方程。首先，将 乘以乘以 的的N-S方程与方程与 乘以乘以 的的N-S方程相加，得到的方程相加，得到的 方程，再对此方程，再对此方程作方程作Reynolds时均、分解，即得到的输运方程时均、分解，即得到的输运方程 。第二步，建立第二步，建立 的输运方程。的输运方程。 乘以乘以 的的Reynolds时均方时均方程与程与 乘以乘以 的的Reynolds时均方程相加，即得到的时均方程相加，即得到的 输运输运方程。方程。 jijijiuuuuuujiuujuiuiujujiuujiuujuiuiujiuuju湍流模型Reynolds应力输运方程应

3、力输运方程 ijijijijijijLijTijFjkmmiikmmjkkkjiijjiGijjiPkikjkjkiDjikkDikjkjikjikCkjikjieuueuuxxuuxuxupugugxuxuxxupupuuuxxuuutuu22,湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 湍动扩散项湍动扩散项 的计算的计算推荐用下式：推荐用下式： ijTD,Daly和和Harlow所给出的广义梯度扩散模型来计算：所给出的广义梯度扩散模型来计算：ljilksijTxuuuuxCD,ljitijTxuuxD,2kCt82. 0湍流模型Rey

4、nolds应力输运方程应力输运方程 浮力产生项浮力产生项 的计算的计算 热膨胀系数热膨胀系数 ijGijxTgxTgGjittijPr85. 0Pr tT1理想气体理想气体 ijxgxgGjittijPr不可压缩流体不可压缩流体 0ijG湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 压力应变项压力应变项 的计算的计算ij压力应变项压力应变项 的存在是雷诺应力方程与的存在是雷诺应力方程与 方程的最大区方程的最大区别之处。因此，别之处。因此， 仅在湍流各分量项存在，当仅在湍流各分量项存在，当 时，它表时，它表示减小剪应力，使湍流趋向各向同性；当示减小剪应力，使湍流趋向各向同性；当 时，它表示使

5、时，它表示使湍动能在各应力分量间重新分配，对总量无影响，可见，此湍动能在各应力分量间重新分配，对总量无影响，可见，此项并不产生脉动能量，仅起到再分配的作用。因此，在的的项并不产生脉动能量，仅起到再分配的作用。因此，在的的文献中称此项为文献中称此项为再分配项再分配项。ijijji ji wijijijij,2,1 ,慢的压力应变项慢的压力应变项 快的压力应变项快的压力应变项 壁面反射项壁面反射项 湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 压力应变项压力应变项 的计算的计算ijijiiijuuC3211 ,8 . 11CijijijPPC3222,6 . 02C2kkPP dCnnnnCd

6、CnnuunnuunnuuClkiikijmkkmlkikjkjkjijmkmkwij2/32,2,22/31,2323235 . 01C3 . 02CkCCl4/309. 0C4187. 0k湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 粘性耗散项粘性耗散项 的计算的计算 ij耗散项表示分子粘性对雷诺应力产生的耗散。在耗散项表示分子粘性对雷诺应力产生的耗散。在建立耗散项的计算公式时，认为大尺度旋涡承担建立耗散项的计算公式时，认为大尺度旋涡承担动能输运，小尺度旋涡承担粘性耗散，因此小尺动能输运，小尺度旋涡承担粘性耗散，因此小尺度涡团可看成是各向同性的。即认为局部是各向度涡团可看成是各向同性

7、的。即认为局部是各向同性的。同性的。ijij32湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 kikjkjkiljiljitkkjikjixuuuxuuuxuuxuuxxuuutuuijxTgxTgjittPrijijijiiPPCuuC323221dCnnuunnuunnuuClkikjkjkjijmkmk2/312323dCnnnnClkiikijmkkm2/32,2,223jkmmiikmmjkijeuueuu232FLUENT等大多数等大多数CFD软件软件所使用的所使用的广义的广义的Reynolds应力输运应力输运方程方程 湍流模型Reynolds应力输运方程应力输运方程 若不考虑

8、浮力的作用（即若不考虑浮力的作用（即 ）及旋转的影响（）及旋转的影响（ ），），同时压力应变项不考虑壁面反射（同时压力应变项不考虑壁面反射（ =0） 0ijG0ijFwij,kikjkjkiljiljitkkjikjixuuuxuuuxuuxuuxxuuutuuijijijijiiPPCuuC32323221湍流模型RSM的控制方程的控制方程 时均连续性方程、雷诺方程、时均连续性方程、雷诺方程、雷诺雷诺应力方程、应力方程、 方程和方程和 方方程等，共程等，共12个方程构成了封闭的三维湍流流动问题的基本控个方程构成了封闭的三维湍流流动问题的基本控制方程组制方程组 。ijijjktjiiGPxxx

9、ut21223121CGCPCxxxutijijjtjii23kCt湍流模型RSM的控制方程的说明的控制方程的说明 如果需要对能量或组分等进行计算，需要建立针对标题型如果需要对能量或组分等进行计算，需要建立针对标题型变量（如温度、组分浓度）的脉动量的控制方程。变量（如温度、组分浓度）的脉动量的控制方程。 由于从由于从Reynolds应力输运方程的应力输运方程的3个正应力项可以得出脉个正应力项可以得出脉动动能，即动动能，即 。因此，曾有文献不把。因此，曾有文献不把 作为独立变量，作为独立变量，也不引入也不引入 方程，但大多数文献把方程，但大多数文献把 方程列入控制方程之方程列入控制方程之一，就本

10、书所采用的方式一样。一，就本书所采用的方式一样。 2ii湍流模型RSM适用性适用性 RSM是针对湍流发展非常充分的湍流运动来建立的。即是是针对湍流发展非常充分的湍流运动来建立的。即是针对高针对高Re湍流模型，而当湍流模型，而当Re较低时，上述方程不再适用。较低时，上述方程不再适用。常用解决壁面流动方法有：一种是壁面函数法；另一种是采常用解决壁面流动方法有：一种是壁面函数法；另一种是采用低用低Re的的RSM模型。模型。低低Re的的RSM模型基本思想是修正高模型基本思想是修正高Re的的RSM模型耗散函模型耗散函数（扩散项）及压力应变重新分配项的表达式，以使数（扩散项）及压力应变重新分配项的表达式，以使RSM模模型方程可以直接应用到壁面区域。型方程可以直接应用到壁面区域。计算实践表明，计算实践表明，RSM虽然能考虑一些各向异性效应，但并虽然能考虑一些各向异性效应，但并不一定比其它模型效果好，在计算不一定比其它模型效果好，在计算突扩流动分离区突扩流动分离区和和计算湍计算湍流输运各向异性流输运各向异性较强的流动时，较强的