（整理版）第四十四讲空间几何体的表面积与体积

1、第四十四讲 空间几何体的外表积与体积班级_ 考号_ 日期_ 得分_一选择题:(本大题共6小题,每题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( )a.1:2 b.1:3c.1:4 d.1:5解析:设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a,b,c,那么棱锥的体积v1=×abc=abc.长方体的体积v=abc,剩下的几何体的体积为v2=abc-abc,所以v1:v2=1:5,应选d.答案:d2.如图,在多面体abcdef中,四边形abcd是边长为1的正方形,且adebcf均为正三角形,ef

2、ab,ef=2,那么该多面体的体积为( )解析:如图,将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形abfe中,易知bn=,sbcn=bc·hn=×1×故该几何体体积为×1+2×选a.答案:a3.几何体的三视图如下图,它的外表积是( )解析:该几何体为直三棱柱,其外表积为2××1×1+2×12+×1=3+,选c.答案:c4.如图,在等腰梯形abcd中,ab=2dc=2,dab=60°,e为ab的中点,将ade与bec分别沿edec向上折起,使ab重合于点p,那么三棱锥pdce的外接球

3、的体积为( )解析:由条件知,平面图形中ae=eb=bc=cd=da=de=ec=1.折叠后得到一个正四面体.作pf平面dec,垂足为f,f即为dec的中点.取ec中点g,连接dgpg,过球心o作oh平面pec.那么垂足h为pec的中心.pg=op=外接球体积为×op3=××.答案:c5.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,假设将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a(a+b=h),那么酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为( )a.1+且a+b>hb.1+且a+b<hc.1+且a+b>hd.1+且a+b<h解析:设酒瓶下底面面积为s,那么酒的体积为sa,酒

4、瓶的体积为sa+sb,故体积之比为1+显然有a<a,又a+b=h,故a+b<h.选b.答案:b6.(原创题)设计一个杯子,其三视图如下图,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度h随时间t变化的图象是( )解析:由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下大小相同,所以当向杯中匀速注水时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,选项b符合题意.应选b.答案:b二填空题:(本大题共4小题,每题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(:cm),可得这个几何体的体积是_cm3.解析:该几何体由半个圆柱和一个正方

5、体构成的组合体.其体积为23+××2=(8+) cm3.答案:8+8.(精选考题·烟台检测)三棱柱abca1b1c1的体积为v,e是棱cc1上一点,三棱锥eabc的体积是v1,那么三棱锥ea1b1c1的体积是_.解析:如图,过e作acbc的平行线efeg,分别与aa1bb1交于fg,连接fg.三棱锥eabc的体积是v1,三棱柱efgcab的体积是3v1,三棱柱efgc1a1b1的体积是v-3v1,vea1b1c1=vefgc1a1b1,vea1b1c1= (v-3v1)= -v1.答案: -v19.(精选考题·广州模拟)如图为一几何体的展开图,其中abc

6、d是边长为6的正方形,sd=pd=6,cr=sc,aq=ap,点s,d,a,q及点p,d,c,r共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使p,q,r,s四点重合,那么需要_个这样的几何体,可以拼成一个棱长为6的正方体.解析:由题意知,将该展开图沿虚线折叠起来以后,得到一个四棱锥pabcd(如图),其中pd平面abcd,因此该四棱锥的体积v=×6×6×6=72,而棱长为6的正方体的体积v=6×6×6=216,故需要个这样的几何体,才能拼成一个棱长为6的正方体.答案:3评析:几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容,通过折叠与展开问题,可以很好地考

7、查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时,关键是弄清楚折叠与展开前后,位置关系和数量关系变化的情况,画出准确的图形解决问题.10.一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如下图,那么该凸多面体的体积v=_.解析:该几何体形状如下图,是一个正方体与正四棱锥的组合体,正方体的体积是1,正四棱锥的体积是故该凸多面体的体积为.答案:三解答题:(本大题共3小题,1112题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.一个正三棱柱的三视图如下图,求这个三棱柱的外表积和体积.分析:由几何体的三视图,画出原几何体的直观图,然后求解即可.解:由三视图易知,该正三棱柱的形状如下图

8、.可知aa=bb=cc=4 cm,正三角形abc和正三角形abc的高为cm,正三角形abc的边长为|ab|=4(cm),该三棱柱的外表积为s=3×4×4+2××42sin60°=(48+8)(cm2),体积为v=s底|aa|=×42sin60°×4=16 (cm3).故这个三棱柱的外表积为(48+8)cm2,体积为16 cm3.评析:(1)注意:侧(左)视图中的数据cm为底面正三角形的高,不要误认为是正三角形的边长.(2)通过三视图间接给出几何体的形状,打破以往直接给出几何体,并给出相关数据进行相关运算的传统模式,

9、使三视图与传统意义上的几何有机结合,这也表达了新课标的思想,应是高考的新动向,希望引起大家注意.12.如图,在三角形abc中,假设ac=3,bc=4,ab=5,以ab所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的外表积和体积.解:如下图,所得旋转体是两个底面重合的圆锥,高的和为ab=5.底面半径等于co=,所以所得旋转体的外表积s=·oc·(ac+bc)=··(3+4)=;其体积v=··oc2·ao+··oc2·bo=··oc2·ab=.评析:求一些组合体的外表积

10、和体积时,首先要弄清楚它由哪些根本几何体构成,再通过轴截面分析和解决问题.13.在右图所示的几何体中,平面pac平面abc,pmbc,pa=pc,ac=1,bc=2pm=2,ab=假设该几何体的侧视图(左视图)的面积为(1)求证:pabc;(2)画出该几何体的正视图,并求其面积s;(3)求出多面体abmpc的体积v.解:(1)证明:ac=1,bc=2,ab=,ac2+bc2=ab2.acbc.又平面pac平面abc,平面pac平面abc=ac,bc平面pac.又pa平面pac,pabc.(2)设几何体的正视图如下图:pa=pc,取ac的中点d,连接pd,那么pdac.又平面pac平面abc,pd平面abc.几何体侧视图的面积=ac·pd=×1×pd=.pd=.易知pac是边长为1的正三角形.正视图的面积是上下底边长分别为1和2,pd的长为高的直角梯形的面