（整理版）第三节函数方程及其应用

1、第三节 函数、方程及其应用第一局部 三年高考荟萃高考题一、选择题1.上海文是方程式 的解，那么属于区间 a0，1. b1，1.25. c1.25，1.75 d1.75，2答案 d【解析】 知属于区间1.75，22.湖南文3. 某商品销售量y件与销售价格x元/件负相关，那么其回归方程可能是a. b. c. d. 答案 a3.陕西文大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yxx表示不大于x的最大整数可以表示为aybycydy答案 b解析：法一：特殊取值法，假设x=56，y=5,排除c、d，假设x=57，y=6，排除a，所以选b法二：设，所以选b3.浙江

2、文9x是函数f(x)=2x+ 1，+，那么af()0，f()0 bf()0，f()0cf()0，f()0 df()0，f()0解析：选b，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题4.山东文11函数的图像大致是答案 a5.山东文8某生产厂家的年利润：万元与年产量：万件的函数关系式为，那么使该生产厂家获得最大年利润的年产量为a13万件 (b)11万件 (c) 9万件 (d)7万件答案 c6.山东文5设为定义在上的奇函数，当时，为常数，那么a-3 b-1 c1 (d)3答案 a7.四川理4函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是a b c d解析：函数f(x)x

3、2mx1的对称轴为x 于是1 Þ m2答案 a8.四川理2以下四个图像所表示的函数，在点处连续的是a b c d解析：由图象及函数连续的性质知，d正确.答案 d9.天津文10设函数，那么的值域是a b cd【答案】d【解析】此题主要考查函数分类函数值域的根本求法，属于难题。依题意知，10.天津文4函数fx= (a)-2,-1 (b) -1,0 (c) 0,1 (d) 1,2【答案】c【解析】此题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。因为f0=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间0，1上，选c【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用

4、代入排除的方法求解。来源:高&考%资(源#网11.天津理8假设函数f(x)=,假设f(a)>f(-a),那么实数a的取值范围是a-1，00，1 b-，-11,+ c-1，01,+ d-，-10,1【答案】c【解析】此题主要考查函数的对数的单调性、对数的根本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。来源:高&考%资(源#网【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在0，1上时，不等号的方向不要写错。12.天津理2函数f(x)=的零点所在的一个区间是 (a)-2，-1(b)-1,

5、0(c)0,1(d)1,2【答案】b【解析】此题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。由及零点定理知f(x)的零点在区间-1，0上。【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。13.福建文7函数的零点个数为 ( )a3 b2 c1 d0【答案】b【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以函数有两个零点，选c。14.湖北文，那么a.4b. c.-4d-【答案】b【解析】根据分段函数可得，那么，所以b正确.二、填空题1.上海文、，围成的三角形面积记为，那么 。【答案】【解析】b 所以boac，=所以2.湖南文100g到200g之间，假设用0.618法

6、安排试验，那么第一次试点的参加量可以是 g【解析】根据0.618法，第一次试点参加量为110210110或2102101103.陕西文fx假设ff04a，那么实数a .答案 2【解析】f0=2，ff0=f(2)=4+2a=4a，所以a=24.重庆理15函数满足：，那么=_.解析：取x=1 y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= f(n-1) 所以t=6 故=f(0)= 5.天津文16设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，那么实数m的取值范围是_【答案】m<-1【解析

7、】此题主要考查了恒成立问题的根本解法及分类讨论思想，属于难题。fx为增函数且m0假设m>0，由复合函数的单调性可知fmx和mfx均为增函数，此时不符合题意。m<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1.【温馨提示】此题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用别离变量转化为最值的方法求解。6.浙江文16 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，假设一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，那么，x 的最小

8、值 。答案 207.天津理数16设函数，对任意，恒成立，那么实数的取值范围是 .【解析】此题主要考查函数恒成立问题的根本解法，属于难题。依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。当时函数取得最小值，所以，即，解得或【温馨提示】此题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用别离变量转化为最值的方法求解8.广东文数9.江苏卷11、函数,那么满足不等式的x的范围是_。【解析】 考查分段函数的单调性。三、解答题1.福建文21(本小题总分值12分)某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航

9、行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。()假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？()为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？假设存在，试确定的取值范围；假设不存在，请说明理由。来源:高&考%资(源#网2.湖北文19.本小题总分值12分某地今年年初拥有居民住房的总面积为a：m2，其中有局部旧住房需要撤除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也撤除面积为b

10、：m2的旧住房。分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：5=1.6高考题1.福建卷文假设函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 那么可以是a. b. c. d. 答案 a解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，应选a。2.(山东卷文)假设函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，那么实数a的取值范围是 . 答案 解析 设函数且和函数,那么函数f(x)=a-x-a(a>0且a1

11、)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线. 3.(山东卷理)本小题总分值12分两县城a和b相距20km，现方案在两县城外以ab为直径的半圆弧上选择一点c建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城a和城b的总影响度为城a与城b的影响度之和，记c点到城a的距离为x km，建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y,统计调查说明：垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比，比例系数为4；对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的

12、中点时，对城a和城b的总影响度为0.065.1将y表示成x的函数；11讨论1中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小？假设存在，求出该点到城a的距离;假设不存在，说明理由。a b c x 解法一:1如图,由题意知acbc,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为2,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即时, 即当c点到城a的距离为时, 函数有最小值.解法二: 1同上.2设,那么,所以当且仅当即时取=.下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.设0<m1<m2&l

13、t;160,那么 ,因为0<m1<m2<160,所以4>4×240×2409 m1m2<9×160×160所以,所以即函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数,设160<m1<m2<400,那么因为1600<m1<m2<400,所以4<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160所以,所以即函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取=,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此

14、处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小.5. (湖南卷理)本小题总分值13分某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 试写出关于的函数关系式； 当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解 设需要新建个桥墩，所以 由知， 令，得，所以=64 当0<<64时<0， 在区间0，64内为减函数； 当时，>0. 在区间64，640内为增函数，所以在=64处取得最小值

15、，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。6.上海卷理有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数，表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。1证明 当时，掌握程度的增加量总是下降；2根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。证明 1当而当，函数单调递增，且>0.3分故单调递减 当，掌握程度的增长量总是下降.6分2由题意可知0.1+15ln.9分整理得解得.13分由此可知，该学科是乙学科.14分 7.上海卷文此题总分值16分此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值10分 .

16、有时可用函数 表示某学科知识的学习次数，表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.1证明：当x 7时，掌握程度的增长量fx+1- f(x)总是下降； 2根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为115，121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.证明 1当时，而当时，函数单调递增，且故函数单调递减 当时，掌握程度的增长量总是下降 (2)有题意可知整理得解得.13分由此可知，该学科是乙学科.14分高考题来源:高&考%资(源#网ks5u 1.全国一2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程

17、中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是 stoastostostobcd答案 a2.福建卷12)函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如以下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 答案 d3.江苏卷17某地有三家工厂，分别位于矩形abcd 的顶点a,b 及cd的中点p处，ab=20km,cb=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形abcd 的区域上含边界，且a,b与等距离的一点o 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道ao,bo,op，设排污管道的总长 为km按以下要求写出函数关系式：设bao=(rad)，将表示成的函数关系式；设op(km) ，将表示成的函数关系式请

18、你选用中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短解 本小题主要考查函数最值的应用设ab中点为q，由条件知pq 垂直平分ab，假设bao=(rad) ，那么, 故，又op，所以， 所求函数关系式为假设op=(km) ，那么oq10，所以oa=ob=所求函数关系式为选择函数模型，令得sin，因为，所以=.当时，是的减函数；当时，y是=时，(km)。这时点0位于线段ab 的中垂线上，且距离ab边km处。4表示时间，以月为，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量：亿立方米关于的近似函数关系式为表示第i月份,问一年内哪几个月份是枯水期？求一年内该水库的最大蓄水量取计算.解 1当

19、0t10时，v(t)=(-t2+14t-40)化简得t2-14t+40>0,解得t4，或t10，又0t10，故0t4.当10t12时，vt4t-103t-41+5050,化简得t-103t-410,解得10t，又10t12,故 10t12.综上得0<t<4,或10<t12,故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.(2)由(1)知：v(t)的最大值只能在4，10内到达.由vt=令v(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).当t变化时，v(t) 与v (t)的变化情况如下表：t(4,8)8来源:高&考%资(源#网ks5u (8,10)v(t)+0-

20、v(t)极大值由上表，知v(t)在t8时取得最大值v(8)8e2+50=108.32(亿立方米).第二局部 两年联考汇编联考题题组二(5月份更新)一、填空题1.安徽两地三校国庆联考函数的图象大致是 ( ) 答案 d2池州市七校元旦调研对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有以下结论中正确的选项是 ( )a假设，那么b假设，且，那么c假设，那么 d假设，且，那么答案 c【解析】对于，即有，令，有，不妨设，即有，因此有，因此有3安徽两地三校国庆联考函数的最大值为，最小值为，那么等于 a0 b1 c2 d4答案 c4.岳野两校联考假设是定义在上的函数，对任意的实数，都有 和且，那么的值是

21、 a b2009 c d 答案 c5安徽两地三校国庆联考设定义在上的函数的反函数为，且对于任意的，都有，那么等于 a0 b-2 c2 d答案 a6.昆明一中三次月考理函数的图象如右图示，函数的图象与的图象关于直线对称，那么函数的解析式为a. b. c. d.答案：b7.昆明一中三次月考理函数是偶函数，当时，有，且当，的值域是，那么的值是a b c d答案：c8. 昆明一中二次月考理如图表示函数其中的图象，那么 a b c d答案：b9. 昆明一中二次月考理偶函数满足=，且在时，那么关于的方程，在上解的个数是 a.1 b.2 c答案：d二、填空题1.安徽两地三校国庆联考函数f(x)=假设f(a)

22、=.那么a的值为 答案 1或 2.安庆市四校元旦联考关于的方程有一个负根，但没有正根，那么实数的取值范围是 答案 a13.安徽两地三校国庆联考给出定义：假设(其中为整数)，那么叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此根底上给出以下关于函数的定义域是r，值域是0，；的图像关于直线对称；函数是周期函数，最小正周期是1； 函数在上是增函数； _ 答案 4是定义在r上的不恒为零的函数，且对于任意实数、满足：，考察以下结论，；为偶函数；数列为等差数列；数列为等比数列，其中正确的选项是_填序号答案 5昆明一中二次月考理函数那么_答案：06师大附中理函数那么_。答案：07师大附中理假设，对于有，计算乘积：=_

23、。答案：3848.昆明一中二次月考理直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(kn*)个格点，那么称函数f(x)为k阶格点函数。以下函数：f(x)=sinx； f(x)=(x1)2+3； ，其中是一阶格点函数的有 . 答案：三、解答题1此题总分值14分函数求函数的周期；函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？解：1所以 函数的周期是 2将函数的图象向左平移个，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的 倍纵坐标不变式，得函数的图象2.本小题总分值12分安徽两地三校国庆联考机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，方案第一年维修、保养费

24、用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元1写出y与x之间的函数关系式；2从第几年开始，该机床开始盈利盈利额为正值；3使用假设干年后，对机床的处理方案有两种：当年平均盈利额到达最大值时，以30万元价格处理该机床；当盈利额到达最大值时，以12万元价格处理该机床请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由解 1依题得：xn* 2解不等式xn*,3x17，故从第3年开始盈利。 3当且仅当时，即x=7时等号成立到，年平均盈利额到达最大值，工厂共获利12×7+30114万元 y=-2x2+40x

25、-98=-(x-10)2+102，当x=10时，ymax=102故到，盈利额到达最大值，工厂获利102+12114万元 盈利额到达的最大值相同，而方案所用的时间较短，故方案比拟合理3本小题总分值12分安徽两地三校国庆联考a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.解：假设 , ,显然在上没有零点, 所以 . 令 , 解得 当 时, 恰有一个零点在上; 当，即时，在上也恰有一个零点. 当在上有两个零点时, 那么 或解得或综上所求实数的取值范围是 或 . 4.本小题总分值13分安徽两地三校国庆联考定义在r上的函数y=f(x)，f(0)0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的

26、a、br，有f(a+b)=f(a)f(b)，求证：f(0)=1；求证：对任意的xr，恒有f(x)>0；3证明：f(x)是r上的增函数；4假设f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。解 1令a=b=0，那么f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=12令a=x，b=-x那么 f(0)=f(x)f(-x) 由x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0又x=0时，f(0)=1>0对任意xr，f(x)>0(3)任取x2>x1，那么f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 f

27、(x2)>f(x1) f(x)在r上是增函数4f(x)·f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在r上递增由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 0<x<35. 三明市三校联考本小题总分值14分函数。 i求函数的单调区间； 假设恒成立，试确定实数k的取值范围；证明：上恒成立 解：i函数当时，那么上是增函数 当时，假设时有假设时有那么上是增函数，在上是减函数 4分由i知，时递增，而不成立，故 又由i知，要使恒成立，那么即可。由8分 由知，当时有恒成立，且上是减函数，恒成立，即上恒成立 。11分令，那么，即，

28、从而，成立14分6. 玉溪一中期中理本小题12分函数. 设.试证明在区间 内是增函数； 假设存在唯一实数使得成立，求正整数的值； 假设时，恒成立，求正整数的最大值.证明： 1 , 那么 在内单调递增 解：2 ，,由1可得在内单调递增, 即存在唯一根 解：(3) 由得且 恒成立,由2知存在唯一实数,使且当时， ， ，当时，,. 当时,取得最小值 , . 于是， , ,故正整数的最大值为3. 题组一(1月份更新)1.宣威六中第一次月考函数在区间上是减函数，那么 b a有最大值 b有最大值 c有最小值 d有最小值 答案 b2.枣庄一模如果函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有 a

29、bcd答案 b3.韶关一模函数，假设实数是方程的解，且，那么的值为 a恒为正值 b等于 c恒为负值 d不大于答案 a4.玉溪一中期中定义在上的函数的反函数为，且的反函数恰好为。假设，那么 答案 19915.上海十四校联考上的函数，且都有以下两式成立：的值为 答案 16.上海八校联考某同学在研究函数 时，分别给出下面几个结论：等式对恒成立；函数的值域为；假设，那么一定有； 函数在上有三个零点。其中正确结论的序号有_。请将你认为正确的结论的序号都填上答案 7.青岛一模函数且,求函数的极大值与极小值.解：由题设知令当时，随的变化，与的变化如下：0+0-0+极大极小，当时，随的变化，与的变化如下：来源

30、:ks5u -0+0-极小极大· ，· 总之，当时，；当时，8.宣威六中第一次月考设函数=01。1求函数的单调区间、极值。2假设当时，恒有，试确定的取值范围。解：1， 令得x=a或x=3a由表30+0递减递增b递减可知：当时，函数f ()为减函数，当时，函数f也为减函数：当时，函数f()为增函数。2由，得。01， +12，=在+1，+2上为减函数。max =(+1)=21, min=(+2)=44.于是，问题转化为求不等式组的解。解不等式组，得1。又01， 所求的取值范围是1。9.上海闸北区设，其中实常数求函数的定义域和值域；试研究函数的根本性质，并证明你的结论 解：函数的

31、定义域为，当时，因为，所以，从而，所以函数的值域为假设函数是奇函数，那么，对于任意的，有成立，即当时，函数是奇函数当，且时，函数是非奇非偶函数对于任意的，且，当时，函数是递减函数10.重点九校联考指数函数满足：g(2)=4，定义域为的函数是奇函数。1确定的解析式；2求m，n的值；3假设对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：1 2由1知：因为是奇函数，所以=0，即， 又由f1= -f-1知 3由2知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式11.日照一模函数。i假设函数在处有极值-6，求的单调递减区间；解：i 依题意有 即 解

32、得 由，得 的单调递减区间是 由 得 不等式组确定的平面区域如图阴影局部所示： 由 得 不等式组确定的平面区域如图阴影局部所示： 由 得 点的坐标为0，-1 设那么表示平面区域内的点与点 连线斜率。 由图可知或， 即12.玉溪一中期末函数有极值，且曲线处的切线斜率为3。求函数的解析式；求在4，1上的最大值和最小值。解：11分由题意，得4分所以，5分 2由1知，6分4-4，-221+00+来源:高&考%资(源#网极大值极小值函数值11134在4， 1上的最大值为13，最小值为11。12分13.枣庄一模设函数 1当的单调性； 2假设函数的取值范围； 3假设对于任意的上恒成立，求的取值范围。

33、解：1当令当的变化情况如下表：来源:高&考%资(源#网0来源:高&考%资(源#网2-0+0-0+单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以上是增函数，在区间上是减函数 2的根。处有极值。那么方程有两个相等的实根或无实根，解此不等式，得这时，是唯一极值。因此满足条件的 注：假设未考虑进而得到，扣2分。 3由2知，当恒成立。当上是减函数，因此函数 12分又上恒成立。于是上恒成立。因此满足条件的联考题一、选择题1.泉州市函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 a.b.c.d.(1,2)答案 c有解的区域是 a b cd答案 b3.莆田一中假设函数有3个不同的零点,那么实数的取值范围是 a. b. c. d.答案 a的零点所在的区间为 w.a1，0b0，1c1，2d1，e答案 b二、填空题5.(北京市石景山区4月高三一模理)函数和在的图象如下所示： 方程有且仅有6个根 方程有且仅有3个根 方程有且仅有5个根 方程有且仅有4个根 答案 6.龙岩一中我市某旅行社组团参加香山文化一日游，预