（整理版）正弦定理和余弦定理应用举例

1、正弦定理和余弦定理应用举例题组一距 离 问 题1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔p的南偏西75°、距塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处，那么这只船航行的速度为 ()a.海里/时 b34海里/时c.海里/时 d34海里/时解析：如图由题意知mpn=75°+45°=120°，pnm=45°.在pmn中，由正弦定理，得，mn=68×=34.又由m到n所用时间为14-10=4小时，船的航行速度v= (海里/时)答案：a2一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一灯塔m在北偏东60°方向，行驶4 h

2、后，船到达b处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为_km.解析：如图，依题意有ab15×460，mab30°，amb45°，在amb中，由正弦定理得，解得bm30 km.答案：303如下图，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这一岸定一基线cd，现已测出cda和acd60°，bcd30°，bdc105°，adc60°，试求ab的长解：在acd中，cda，acd60°，adc60°，所以aca. 在bcd中，由正弦定理可得bca. 在abc中，已经求得ac和bc，又因为acb30

3、°，所以利用余弦定理可以求得a、b两点之间的距离为aba.题组二高 度 问 题4.据新华社报道，强台风“珍珠在广东饶平登陆台风中心最大风力到达12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，那么折断点与树干底部的距离是 ()a.米 b10米 c.米 d20米解析：如图，设树干底部为o，树尖着地处为b，折断点为a，那么abo=45°，aob=75°，oab=60°.由正弦定理知，ao= (米)答案：a5在一个塔底的水

4、平面上某点测得该塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4，那么塔的高度为_解析：如图，依题意有pb=ba=30，pc=bc=.在三角形bpc中，由余弦定理可得cos2=，所以2=30°，4=60°，在三角形pcd中，可得pd=pc·sin4=10·=15(m)答案：15 m6某人在山顶观察地面上相距2 500 m的a、b两个目标，测得目标a在南偏西57°，俯角为30°，同时测得b在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设a、b与山底在同一平面上，计

5、算结果精确到0.1 m)解：画出示意图(如下图)设山高pq=h，那么apq、bpq均为直角三角形，在图(1)中，paq=30°，pbq=45°.aq=，bq=h.在图(2)中，aqb=57°+78°=135°，ab=2 500，所以由余弦定理得：ab2=aq2+bq2-2aq·bqcosaqb，即2 5002=(h)2+h2-2h·h·cos135°=(4+)h2，h=984.4(m)答：山高约984.4 m.题组三角 度 问 题abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，如果ca，b30°

6、，那么角c等于 ()a120° b105° c90° d75°解析：ca，sincsinasin(180°30°c)sin(30°c)(sinccosc)，即sinccosc.tanc.又c(0,180°)，c120°.答案：a8如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为 ()a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2a2b2，ab>c新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而

7、(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，那么为锐角，那么它为锐角三角形答案：a题组四正、余弦定理的综合应用9.有一山坡，坡角为30°，假设某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，那么此人行走的路程为 ()a300 m b400 m c200 m d200 m解析：如图，ad为山坡底线，ab为行走路线，bc垂直水平面那么bc=100，bdc=30°，bad=30°，bd=200，ab=2bd=400 米答案：b10线段ab外有一点c，abc60°

8、;，ab200 km，汽车以80 km/h的速度由a向b行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由b向c行驶，那么运动开始_h后，两车的距离最小解析：如下图：设t h后，汽车由a行驶到d，摩托车由b行驶到e，那么ad=80t，be=50t.因为ab=200，所以bd=200-80t，问题就是求de最小时t的值由余弦定理：de2=bd2+be2-2bd·becos60°=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t=12900t2-4t+40000.当t=时de最小答案：11如图，扇形aob，圆心角aob等于60°，半径为2，在弧ab上有一

9、动点p，过p引平行于ob的直线和oa交于点c，设aop，求poc面积的最大值及此时的值解：因为cpob，所以cpopob60°，ocp120°.在poc中，由正弦定理得，所以cpsin.又，ocsin(60°)因此poc的面积为s()cp·ocsin120°·sin·sin(60°)×sinsin(60°)sin(cossin)，(0°，60°)所以当30°时，s()取得最大值为.12(·宁波模拟)某建筑的金属支架如下图，根据要求ab至少长2.8 m，c为ab的中点，b到d的距离比cd的长小0.5 m，bcd60°，建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计ab，cd的长，可使建造这个