浙教版数学八年级下册解码专训一：巧用一元二次方程定义及相关概念求字母

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点解码专训一：巧用一元二次方程定义及相关概念求字母或代数式的值名师点金：巧用一元二次方程定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求 字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等.利用一元二次方程的定义确定字母的值或取值范围1 .已知(m 3)x2+ jm 2x= 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围 是()A.3 B. m> 3C. m> 2 D. m> 2 且 m 32 .已知关于 x 的方程(m+1)xm2+ 1 + (m2)x 1 =0.(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程.(2)m取何

2、值时，它是一元一次方程？信达利用一元二次方程的项的概念求字母的值3 .若一元二次方程(2a4)x2+(3a+6)x+a 8 = 0没有一次项，则 a的值为 4 .已知关于x的一元二次方程(m1)x 2+ 5x+m21 = 0的常数项为0,求m 的值利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值5 .已知关于x的方程x2+bx+a = 0的一个根是一a(a w0),则ab的值为()A. -1 B. 0 C. 1 D. 26.已知关于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k4=0的一个根为0, 求k的化7 .已知实数a是一元二次方程x2 2 015x+1 = 0的根，求代数式a2 2 014

3、aa2+12 015的值.利用一元二次方程根的概念解决探究性问题8.已知m, n是方程x2 2x1=0的两个根，是否存在实数a使(7m214m + a)(3n2 6n7)的值等于8?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解码专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有开平方法、因式分解法、配方奋斗没有终点任何时候都是一个起点法和公式法等，在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法， 往往会 达到事半功倍的效果.形如(x + m)2 = n(n > 0)的一元次方程适合用开平方法求解1 .方程4x2-25= 0的解为()A. x = |B. x

4、 = |C. x=± 微D. x=± 叁52252.用开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为 ()A. x2-5=5 B. 3x2=0C. x2+ 4=0 D. (x + 1)2=03 .用开平方法解下列方程：(1)9x 2=121;(x +3)2 2 = 0.信达当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时，用配方法求解较方便4 .(中考兰州)一元二次方程x2 8x1 = 0配方后可变形为()-_22.A. (x +4) =17 B. (x +4) = 15C. (x4)2= 17 D. (x4)2=155 .解方程：x2+ 4x 2 = 0.6 .已知 x210x+y2

5、 16y+89= 0,求x的值.能化成形如(x + a)(x + b) = 0的元二次方程适合用因式分解法求解7 .(中考宁夏)一元二次方程x(x 2) =2x的根是()A. 1B. 0C. 1 和 2D. 1 和 28 .解下列一元二次方程：(1)x2 2x = 0; (2)16x29=0; (3)4x2= 4x1.如果一个一元二次方程易化为一般式，则可用公式法来求它的解9 .用公式法解一元二次方程x24 = 2x,方程的解应是()A. x =2 ±yj52 1+ .3D.(2)x 2 4x+ 1 = 0.10 .解下列方程:(1)x 2 6x= 5;如果在方程中出现一些相同的代数

6、式，把它们用某一个字母代替后能形成一个较简单的一元二次方程，这样的方程可用换元法来求解11 .若(a + b)(a+b + 2) 8 = 0,则 a+b 的值为()，、3A. 4或 2 B. 3或2C. 2 或 4 D. 3 或212.解方程：(x -2)2-3(x2)+2=0.解码专训三：特殊一元二次方程的解法技巧奋斗没有终点任何时候都是一个起点名师点金：一元二次方程的解法是本章的重点，也是解决其他问题的根本，只有熟悉各种解法的特点，才能准确地找出所给方程的最佳解法除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的解法构造法1 .解方程：6x2+19x+10 = 0.换元法

7、2 .解方程：(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)=48.3 .解方程：6x4 35x3+62x2 35x+6=0.配方法4 .若 m n, p 满足 m-n = 8, m计 p2+16=0,求 m+ n+p 的值.特殊解法5 .解方程：(x -2 013)(x -2 014) =2 015 X2 016.解码专训四：巧用根的判别式名师点金：对于一元二次方程ax2+bx+c = 0(a W0),式子b2 4ac的值决定了一元 次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1 .

8、(中考潍坊)已知关于x的方程kx2+ (1 k)x 1 = 0,下列说法正确的 是()A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=1时，方程有两个相等的实数解D.当kw0时，方程总有两个不相等的实数解2 .已知方程x2 2x m= 0没有实数根，其中m是常数，试判断方程x2+2mx + m(m 1) = 0有无实数根.利用根的判别式求字母的值或取值范围3 .(中考北京)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k4 = 0有两个不相 等的实数根(1) 求k 的取值范围；(2) 若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值利用根的判别式求代数式的值4 .已知关于x的一元二次

9、方程mX + nx2=0(mw0)有两个相等的实数根,信达奋斗没有终点任何时候都是一个起点2 mnm 4 2 n216的值.利用根的判别式确定三角形的形状5 .已知a, b, c是三角形的三边长，且关于 x的一元二次方程(bc)x2+ 2(a b)x +b a = 0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.解码专训五：根与系数的关系的应用名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方 程两根的特征.在实数范围内运用一元二次方程根与系数的关系时，必须注意 b2- 4ac>0这个前提，而应用判别式的前提是二次项系数 aw0.因此，解题时要 注意分析题目中有没有

10、隐含条件 b2 4ac>0和a*0.信达奋斗没有终点任何时候都是一个起点利用根与系数的关系求代数式的1 .设方程4x2 7x3=0的两根为xi, X2,不解方程求下列各式的值：X2Xi(1)(x 1 3)(X2 3); (2) x + i +x+ i ； (3)x 1 x2.利用根与系数的关系构造一元次方程2 .构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2 + 2x3= 0两根的负倒数利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3 .(中考梅州)已知关于x的方程x2 + 2x+a2 = 0.(1) 若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(2) 若该方程的一个根为1，求 a 的

11、值及该方程的另一根信达巧用根与系数的关系确定字母参数的存在性4.已知xi, X2是一元二次方程4kx2 4kx+k+1 = 0的两个实数根，是否存 3在头数k,使(2xi X2)(x 1 2x2) = 一万成立？右存在，求出 k的值；右不存在， 请说明理由.解码专训六：常见热点考题名师点金：本章主要考查一元二次方程的解法、 根的判别式、根与系数的关系、实际应 用问题等，考查形式多以选择题、填空题、解答题形式出现，一元二次方程是中 考的热点之一.解方程问题1 .用配方法解方程x22x1 = 0时，配方后所得的方程为()A. (x + 1)2= 0 B. (x 1)2 = 0C. (x + 1)2

12、= 2 D. (x 1)2 = 22. 一元二次方程x2 2x 3 = 0的解是()A. x1= 1, x2= 3 B. x=1, x2= 3C. x1= 1, x2= 3 D. x=1, x2= 33.(中考山西)解方程：(2x1)2= x(3x +2)-7.根的判别式的问题4下列关x 的一元二次方程有实数根的是()A. x2+1 = 0 B. x2 + x+1 = 0C. x2 x+1 = 0 D. x2 x1 = 05.已知关于x的一元二次方程(x + 1)2-mi= 0有两个实数根，则m的取值范 围是()A. nn>-1 B. nn>04C. nn> 1 D. mj&

13、gt; 2根与系数的关系6.已知方程x2 3，2x+1 = 0,构造个一元二次方程使它的根分别是原方程 两根的倒数，则这个一元二次方程是（）A, x2+ 3啦x+1=0 B. x2+3&x1=0C. x2-372x41=0 D. x23加x1=0奋斗没有终点任何时候都是一个起点实际应用问题7.(中考泉州)某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动， 小明设计了点做圆周运动的一个图形， 如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端 点A, B出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程 l( cm) 与时间t(s)满足关系：1=2产+ 2t(t >0),乙以4 cm/s的

14、速度匀速运动，半圆 的长度为21 cm(1)甲运动4 s后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？(第7题)8 .如图，某海关缉私艇在C处发现正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60 海里 /时的速度向正东方向航行缉私艇随即调整方向，以75海里 / 时的速度航行，这样可同时到达B 处进行拦截缉私艇从C 处到达 B 处航行了多少小时？（第 8题 ）新定义问题9 .（中考厦门）若xi, X2是关于x的方程x2+ bx+c = 0的两个实数根，且 |x i|+|X2| =2|k|（k是整数），则称方

15、程x2+bx+c = 0为“偶系二次方程”.如22.x +6x- 27= 0, x +4x + 4方程 x26x 27 = 0, X2 2x8=0, x2+3x27=0, =0都是“偶系二次方程”.判断方程x2 + x12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.信达奋斗没有终点任何时候都是一个起点解码专训七：常见题型荟萃名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单明了一元二次方程的概念1 .方程mX 3xx2+ 2=0是关于

16、x的一元二次方程的条件是（）A.1 B. m 1C.0 D. m为任意实数元二次方程的解法2选择适当的方法解下列方程：(x 1)2+ 2x(x1)=0; (2)x 2 6x 6=0;(3)6 000(1 x)2= 4 860; (4)(10 + x)(50 x) = 800.一元二次方程根的情况3 .在等腰三角形ABC,三边长分别为a, b, c.其中a=5,若关于x的方 程乂2+8+2伙+(6 坊=0有两个相等的实数根，求 ABC的周长.元二次方程根与系数的关系4 .设xi, X2是关于x的一元二次方程x2 + 2m奸n2+ 4m- 2 = 0的两个实数根, 当m为何值时，X12 + X22

17、有最小值？最小值是多少？一元二次方程的应用5 .当x取何值时，多项式x23x与多项式5x15的值相等？6 .在一块长16 m宽12 m的长方形荒地上，要建造一个花园，要求花园 面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案（第 6题 ）(1) 同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图，将花园部 分涂上阴影，并加以说明答案解码专训一_ 一mi-3*0,一一1 . D点拨：由题息，得解得e2且评3.m+ 2>0, t 吊+1 = 2, r

18、一 ，、叫 一日2 .解：(1)当时，它是一兀二次万程.解得 m= 1.出1 W0当rn 1时，原方程可化为2x2 x1=0.信达奋斗没有终点任何时候都是一个起点,nn- 2*02(2)当或当m 1 + (m 2) w0且m2+1=1时，它是一兀一次万程.m 1 = 0解彳3 1或0.故当m= 1或0时，它是一元一次方程.3. 2点拨：由题意得3a+6= 0,2a4w 0.解得a = - 2.信达24.解：由题意，得m1=0, 解得m= - 1.m- 1 w 0.5. A 点拨：,关于x的方程x2+ bx+a = 0的一个根是一a(a0),a2 ab+a = 0.a(a b+ 1) =0.-

19、a*0, - a b+1=0. - a b 1.6 .解：把 x = 0 代入(k+4)x2+3x+k2 + 3k4=0, 得 k2 + 3k 4= 0.解得 k1 = 1, kz= - 4. k + 4w0,kw 4,k=1.7 .解：:实数a是一元二次方程x22 015x + 1 = 0的根，.a2- 2 015a+1 = 0. .a2+ 1 = 2 015a, a2 2 015a = 1.2a2+122 015a22. a 2 014a 2 015 = a 2 014a 2 015 = a 2 014a a=a 2 015a =1.8.解：由题意可知， m2m- 1 = 0, n2 2n

20、1 = 0, . (7m214ma)(3n 6n7) =7(m2 2m)+ a3(n 2 2n) 7 = (7 + a)(3 7) = 4(7 + a),由一 4(7 +a) =8得 a= 9,故存在满足条件的实数a,且a的值等于-9.解码专训二一- 2 一 一(2)(x +3) 2 = 0.(x + 3)2= 2.1=-3+V2, x2= 3也.1. C 2.C3 .解：(1)9x2= 121.3x= ±11.1111、1="3，x2=-. x4 . C 2. 一5 .解：x+4x2 = 0.x2+ 4x=2.(x +2)2= 6.x+ 2= ± 61d.乂1=

21、-2+*y6, x2= 2 - "J6.6 .解：x2- 10x+y216y+89= 0.(x2 10x+ 25)+(y2-16y+ 64) = 0.(x 5)2+ (y 8)2=0. . x = 5, y = 8.,x 5.一=一y 87 . D8 .解：(1)x2 2x=0, x(x2)=0, xi = 0, x2= 2.233(2)16x -9 = 0, (4x + 3)(4x 3) =0, x1=4, x2=(3)4x2 = 4x1, 4x2 4x+1=0, (2x1)2= 0, xi = x2= 2.9 . B10 .解：(1)x 2-6x + 5 = 0, a=1, b=

22、 6, c = 5, . b2 4ac=( 6)24X1X5=16, .x =6±V162X1 x= 5, x2 = 1.(2)x 2 4x+ 1 = 0,a= 1, b= 4, c= 1, .b2 4ac= ( 4)24X 1X 1=12. 呼=亨=2±木. x1=2+V3, x2=2乖.11 . A12 .解：(x 2)23(x2) + 2=0.设x2=y,原方程化为y2- 3y+2=0, 解彳y y = 1, y2= 2.当 y=1 时，x 2=1, x = 3,当 y=2 时，x 2 = 2, x = 4.原方程的解为xi = 3, X2 = 4.解码专训三1 .解

23、：将原方程两边同乘以6,得(6x) 2+ 19 (6x) +60= 0.解彳36x= - 15或6x= - 4. Xi= 一x2 =3.2 .解：原方程即(x 1)(x 4)(x 2)(x -3) =48, 即(x2 5x+4)(x 2-5x+6) =48.设 y=x2 5x+5,则原方程变为(y1)(y +1)=48.解彳4 y1 = 7, y2= 7.当 x2 5x+5= 7 时,当 x2 5x+5= 7 时，b2 4ac=(5)2 4X1X12= 23<0,方程无实数 根.5+ 335- 33原方程的根为x1=2 , x2=2 .3 .解：经验证，x=0不是方程的根，原方程两边同除

24、以 x：得6x2 35x+ “356 八62 +2= 0, x x即 6 x2 + 4 -35 x + - +62=0. xx设 y=x+1,则 x2+ N=y2 2, xx原方程可变为6(y22) 35y+62=0.解彳3 y1 = 5, y= 10. 23,15-1当 x+=j时，解得 x = 2, x2 = 5； x 22,1 10 一. 一1当 x+-=-时，解得 X3= 3, X4=5 X 33经检验，均符合题意.1 一 1 原方程的解为 X1 = 2, X2 = 5，X3=3, X4= ".234 .解：因为 mi-n = 8,所以 nn= n + 8.将 n+8 代入

25、mn+ p2+16=0 中，得 n(n+8) + p2+16=0,所以 n2 + 8n+16+p2= 0,即(n+4)2 + p2= 0.又因为(n + 4)2>0, p2>0,所以n + 4 = 0, p = 0,解得n= - 4, p=0.所以 nn= n+8=4,所以 nn n+p= 4+ ( 4)+0=0.、x-2 013=2 016,一、5 .解：万程组的解一定是原万程的解，解彳#x = 4 029.x-2 014=2 015方程组x-2 013 = 2 015 , x-2 014 = 2 016的解也一定是原方程的解，解得x= - 2.V原方程最多有两个实数解，:原方程

26、的解为X1 = 4 029, X2= -2.点拨：解本题也可采用换无法:设 x-2 014=t,则x2 013= t +1,原方 程可化为t(t +1)=2 015 X2 016,先求出t,进而求出X.解码专训四1 . C点拨：当k=0时，方程为一元一次方程，解为 x=1；当kw0时, 因为 b24ac=(1 k)2 4k ( 1) = k2 + 2k+1 = (k + 1)2>0,所以当 k=1 时, b2-4ac=4,方程有两个不相等的实数解；当k=1时，b2-4ac=0,方程有两个相等的实数解；当kw0时，b2-4ac>0,方程总有两个实数解.故选 C2 .解：:x2 2x-

27、m= 0没有实数根，.(2)2 4 ( m)= 4+ 4m<0即 m<-1.,对于方程 x2 + 2m奸m(m 1)=0,b2 4ac=(2m)24 m(m 1) = 4m>4方程x2+ 2m奸m(m 1)=0有两个不相等的实数根.3 .解：(1)根据题意得 b24ac=4 4(2k 4) =20 8k>0,一 5解彳# k<2.由k为正整数，可得k = 1或k= 2.利用求根公式可求出方程的根为 x= 1 ±5-2k,.方程的根为整数，5 2k为完全平方数，一. k的值为2.4 .解：由题意可知，b2 4ac=n2+8m= 0,8m= n2,22222

28、mn mn mnmnmn(vm- 4) 2+ n216 n2+ 8m+ 16+n216 n2+ 8m n2- n2n2+n2- m2一 8.mn nT= =m m5.解：二,一元二次方程(bc)x2+ 2(a b)x+b a = 0有两个相等的实数根,-2_2(a b) 4(bc) (ba) =0,4(a b)(a c) =0,.,.a=bM£ a = c,.此三角形是等腰三角形.解码专训五1 .解：根据一元二次方程根与系数的关系，有7x1 + x2=4, x1x2 =4-4，3 c、，7.八八(1)(x 1 3)(x 2 3) x1x2 3(x 1 + x2) + 9=43xd+

29、9= 3.x2 x1 x2 (x2 + 1) +x1(x1 + 1)2 2) x+1+x2+1 (x2+1)(x1+1)2.2, ,XiX2XiX2X1X2+ Xi + X2 + 12(X1 + X2) 2x1X2+ (X1 + X2)X1X2+ (X1 + X2) + 17 237二 -2X :444 1013 7,+ 14 4342,解：设方程5x2+2x 3=0的两根为X1, X2,，、2(3) .(X1 X2)二印 ,2则 X1 + X2= c,59716'XX2=一35.=设所求方程为y2+py + q = 0,两根为y1，y2,El1则 y1 = -G1 y2= _X2 p

30、 (y 1 + y2)= 一1X21111X1 + X221一 +=二；q=y1y2= X1 X2X1X2X1X23X115二一二.X1X23，、 o 25 一 力所求的万程为 丫+3丫 3=0，即 3y+2y5=0.3 .解：(1) v22-4X1X(a-2) = 12-4a>0,解得 a<3.；a的取值范围是a<3.(2)设方程的另一根为心，由根与系数的关系得解得a= - 1,x - 3.1 + X1 = - 2,1x1 = a 2,4 .解：不存在.理由如下：;一元二次方程4kx2 4kx+k+1=0有两个实数根， .kw0,且 b2 4ac=(4k)24X4k(k+1

31、) = 16k". .k<0. X1, X2是方程4kx24kx+k+ 1 = 0的两个实数根,Xl+ X2= 1 ,k+1XiX2=.4k(2X1 X2)(xok + 9L2X2)=2(Xl+X2) 9X1X2=一而.; (2x i X2)(x4k3.92, k = 5. 3.又丁 k<0, .不存在实数 k,使(2xiX2)(x i 2X2)= 2成立解码专训六1. D 2.A3 .解：(2x1)2= x(3x + 2)7.4x2 4x+1=3x2+2x 7.x2-6x + 8=0.x1 = 2, X2=4.4 . D 5. B2X +(X16 . C点拨：设方程x?

32、 342x+1 = 0的两根分别为X1, X2,新方程为 bx + c = 0,新方程两根分别为 X1 , X2 ,则 X1 + x2=312, X1 ,X2= 1, b= ，、1 , 1X1 + X2111,+ X2 )=一 + = 二 - 3v2, c= X1 , X2 = 1 , 一= 1.X1 X2X1X2X1 X2 X1X27 .解：(1)当 t=4 时，l=2t2+ |t =1x42 + 3X4=14.答：甲运动4 s后的路程是14 cm(2)设它们运动了 m s,根据题意，一 1 2 3. 一442m+2nn 4ml= 21.解得：m=3, m2=14(不合题意，舍去).答：甲、

33、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s.(3)设它们运动了 n s后第二次相遇，根据题意，得1 2 3n + 2n + 4n=21 义 3.解彳# ni = 7, n2= 18(不合题意，舍去).答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s.8 .解：设缉私艇航行了 x小时到达B处.根据题意，得302+(60x) 2 = (75x) 2,一 22 一斛彳4xi=3，x2= 3(不符合题思，舍去).答：缉私艇从C处到达B处航行了 2小时.3点拨：本题是根据速度、时间、路程之间的关系和勾股定理等有关知识列方 程解答，把几何知识、代数知识有机结合来进行解答.9 .解：不是，理由如下：解方程 乂2+乂-12 = 0,得 x1 = 4, x2= 3.