2011高考数学一轮 等比数列-数列精品课件

1、 1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从 起，每一项与它起，每一项与它的的 的比等于的比等于 常数，那么这个数列叫做等常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常，公比通常用字母用字母 表示表示. 其数学表达式为：其数学表达式为： （q为常数）或为常数）或 （q为常数）（为常数）（n2）,常用定义判断或证明一个数列是等常用定义判断或证明一个数列是等比数列比数列.第第2项项 前一项前一项 同一同一 公比公比 q(q0) q qa a a an n1 1n n=+ q qa a a a-1-1n nn n= 2.等比数列

2、的通项公式 设等比数列设等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q，则它的通项，则它的通项公式公式an= . 通项公式的变形为通项公式的变形为an=amqn-m，也可写为，也可写为qn-m= 常常用此求通项公式中的公比用此求通项公式中的公比q.当公比当公比q1时时an= 可以可以看成函数看成函数y=cqx，是一个不为零的常数与指数函数的乘，是一个不为零的常数与指数函数的乘积积.因此，数列因此，数列an各项所对应的点都在各项所对应的点都在y=cqx图象上图象上. 3.等比中项 如果三个数如果三个数x，G，y组成组成 ，则，则G叫做叫做x和和y的等比中项，那么的等比中项，那么 ，即，即G2

3、= .m mn na aa an n1 1qqq qa aG Gy yx xG G=xy a1qn-1 等比数列等比数列 4. 4.等比数列的单调性等比数列的单调性 等比数列等比数列an中，公比为中，公比为q，则，则 当当a10,q1,或或a10，0q1时，数列时，数列an为为 ； 当当a10,0q1,或或a10，q1时，数列时，数列an为为 ； 当当q=1时，数列时，数列an为为 ；当；当q0时，数列时，数列an为为 . 5.5.等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 如果等比数列如果等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q，当，当q=1时，时，Sn= ；当；当q1时，时，

4、Sn= = .其推导其推导 方方法为法为 .递增数列递增数列 递减数列递减数列 常数列常数列 摆动数列摆动数列 na1 q q- -1 1q qa a- -a an n1 1q q- -1 1) )q q- -(1(1a an n1 1错位相减法错位相减法 6. 6.等比数列的性质等比数列的性质 若数列若数列an为等比数列，为等比数列，m，n，p，qN*,且且m+n=p+q，则，则aman= . an是等比数列，则是等比数列，则an,|an|成成 数数列列,公比分别是公比分别是 ；按顺序抽出间隔相同的项组成；按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列的新数列 . an成等比数列，则成等比数列，则Sm，

5、S2m-Sm，S3m-S2m ，公比为，公比为 .qm apaq 等比等比 q和和|q| 成等比数列成等比数列 成等比数列成等比数列 首先证明该数列为等比数列，得出公式，首先证明该数列为等比数列，得出公式，再求出首项便可写出通项公式再求出首项便可写出通项公式.数列数列a an n的前的前n n项和为项和为， （） （* *）（）求（）求，；（）证明：数列（）证明：数列是等比数列是等比数列. .3 31 1（）由（）由 （），得），得 （），）， 又又 （），即），即 （），），得得 （）证明：当（）证明：当n2时，时，an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1)，得，得 . 是首项

6、为是首项为 ，公比为，公比为 的等比数列的等比数列. 3 31 13 31 12 21 13 31 13 31 14 41 13 31 13 31 12 21 1a aa a- -1 1n nn n2 21 12 21 1n n) )2 21 1- -( (a an n=若用为若用为 常数证明等比数列，不要忘记常数证明等比数列，不要忘记单独验证单独验证n=1时的情况时的情况. （2）要想到利用等比数列的通项公式，需先证明该数）要想到利用等比数列的通项公式，需先证明该数列是等比数列列是等比数列.n n1 1n na aa a+在数列在数列an中中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*.(

7、1)证明证明:数列数列an-n是等比数列是等比数列;(2)求数列求数列an的前的前n项和项和Sn;(3)证明证明:不等式不等式Sn+14Sn,对任意对任意nN*皆成立皆成立. (1)由题设由题设an+1=4an-3n+1,得得an+1-(n+1)=4(an-n),nN*. 又又a1-1=1,所以数列所以数列an-n是首项为是首项为1,且公比为且公比为4的等的等比数列比数列. (2)由由(1)可知可知an-n=4n-1,于是数列于是数列an的通项公式为的通项公式为an=4n-1+n. 所以数列所以数列an的前的前n项和项和Sn= . .2 21 1) )n n( (n n3 31 1- -4 4

8、n n+(3)对任意的对任意的nN*,Sn+1-4Sn= -4 =- (3n2+n-4)0.所以不等式所以不等式Sn+14Sn,对任意对任意nN*皆成立皆成立.2 22 2) )1 1) )( (n n( (n n3 31 1- -4 41 1n n+2 22 2) )1 1) )( (n n( (n n3 31 1- -4 4n n+2 21 1考点二考点二 等比数列基本量的计算等比数列基本量的计算 在等比数列在等比数列an中，已知中，已知a6-a4=24,a3a5=64,求求an前前8项的和项的和S8.利用已知的两个等式条件，可得利用已知的两个等式条件，可得a1和和q的两的两个方程，解之可

9、得数列个方程，解之可得数列an，从而，从而S8便可求得便可求得.解法一：设数列解法一：设数列an的公比为的公比为q，依题意，依题意 a6-a4=a1q3(q2-1)=24 a3a5=(a1q3)2=64,a1q3=8.将将a1q3=-8代入式，得代入式，得q2-1=-3,q2=-2，舍去，舍去.将将a1q3=8代代入式，得入式，得q2-1=3,q=2.当当q=2时时,a1=1，S8= =255；当当q=-2时时,a1=-1,S8= =85.1 1- -q q1 1) )- -( (q qa a8 81 11 1- -q q1)1)- -(q(qa a8 81 1：an是等比数列，是等比数列，依

10、题设得依题设得 ,a4=8,a6=24+a4=248,an是实数列，是实数列， ,故舍去故舍去a4=-8,得得a4=8,a6=32.从而从而a5= =16,公比公比q的值为的值为q= =2.当当q=2时，时，a1=a4q-3=1,a9=a6q3=256, ;当当q=-2时，时，a1=a4q-3=-1,a9=a6q3=-256, .6 64 4a aa aa a5 53 32 24 4=0 0a aa a4 46 6 a aa a6 64 44 45 5a aa a2 25 55 5q q- -1 1a a- -a aS S9 91 18 85 5q q- -1 1a a- -a aS S9 9

11、1 18 88 (1)等比数列等比数列an中中,an=a1qn-1,Sn= 中有五个量中有五个量,可以知三求二可以知三求二. (2)注意分类讨论的应用注意分类讨论的应用.q q- -1 1) )q q- -(1(1a an n1 1设等比数列设等比数列an的公比的公比q1,前前n项和为项和为Sn,已知已知a3=2,S4=5S2,求求an的通项公式的通项公式.由题设知由题设知a10,Sn= ,则则 a1q2=2 ， 由由,得得1-q4=5(1-q2),即即(q2-4)(q2-1)=0,(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0.由由q1,解得解得q=-1或或q=-2.当当q=-1时时,代入得代

12、入得a1=2,通项公式通项公式an=2(-1)n-1;当当q=-2时时,代入得代入得a1= ,通项公式通项公式an= (-2)n-1.q q- -1 1) )q q- -(1(1a an n1 1q q- -1 1) )q q- -( (1 1a a5 5q q- -1 1) )q q- -( (1 1a a2 21 14 41 12 21 12 21 1在等比数列在等比数列an中中,a1+a2+a3+a4+a5=8且且 =2,求求a3. (1)由已知条件可得由已知条件可得a1与公比与公比q的方程组，的方程组，解出解出a1，q，再利用通项公式即可得，再利用通项公式即可得a3. (2)也可利用性

13、质也可利用性质 =a1a5=a2a4直接求得直接求得a3.5 54 43 32 21 1a a1 1a a1 1a a1 1a a1 1a a1 1+2 23 3a a解法一：设公比为解法一：设公比为q，显然，显然q1,an是等比数列是等比数列, 也是等比数列也是等比数列,公比为公比为 . 解得解得 =4, ,a3=2.n na a1 1q q1 12 2q q1 1- -1 1) )q q1 1- -( (1 1a a1 1 8 8q q- -1 1) )q q- -( (1 1a a5 51 15 51 1=由已知条件得由已知条件得4 42 21 1q qa a4 4) )q q( (a

14、aa a2 22 21 12 23 3=解法二解法二:由已知得由已知得 =4.a3=2.在解决等比数列的有关问题时在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘要注意挖掘隐含条件隐含条件,利用性质利用性质,特别是性质特别是性质“若若m+n=p+q，则，则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度，可以减少运算量，提高解题速度.2 2a a8 8a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a1 1a a1 1a a1 1a a1 1a a1 12 23 32 23 35 54 43 32 21 12 23 33 34 42 24 42 25

15、 51 15 51 15 54 43 32 21 1=+=+=+2 23 3a a已知数列已知数列an是等比数列，首项为是等比数列，首项为a1，公比不等于，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，项，求数列求数列an的通项公式的通项公式. 设符合题设的等比数列设符合题设的等比数列an中的连续三项为中的连续三项为am，am+1，am+2，则，则am+1=amq，am+2=am+1q（q为公比），为公比）， 两式相减，得两式相减，得 ， 又又am+1=am+(k-t)d,即即am+1-am=(k-t)d, 同理同理am+2-am+1=(p

16、-k)d(d为公差为公差), 故故 , 所求通项公式为所求通项公式为 .m m1 1m m1 1m m2 2m ma a- -a aa a- -a aq q+=t t- -k kk k- -p pt t) )d d- -( (k kk k) )d d- -( (p pq q=- -1 1n n1 1n n) )t t- -k kk k- -p p( (a aa a =已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且an= (3n+Sn)，对一，对一切正整数切正整数n恒成立恒成立.（1）证明：数列）证明：数列3+an是等比数列；是等比数列；（2）数列）数列an中是否存在成等差数列的四项？若

17、存中是否存在成等差数列的四项？若存 在，请求出一组，若不存在，请说明理由在，请求出一组，若不存在，请说明理由.利用利用an与与Sn之间的关系寻求突破口之间的关系寻求突破口.2 21 1（1）证明：由已知，得）证明：由已知，得Sn=2an-3n（nN*）,Sn+1=2an+1-3(n+1),两式相减得两式相减得an+1=2an+1-2an-3，即即an+1+3=2（an+3）. ，又又a1=S1=2a1-3，a1=3，a1+3=6.故数列故数列an+3是首项为是首项为6，公比为，公比为2的等比数列的等比数列.2 23 3a a3 3a an n1 1n n=+（2）由（）由（1）知）知an+3=

18、62n-1，an=62n-1-3=32n-3.假设假设an中存在四项依次为中存在四项依次为 （m1m2m3m4）,它们可以构成等差数列，则它们可以构成等差数列，则（3 -3）+（3 -3）=（3 -3）+（3 -3），），即即 + = + ,上式两边同除以上式两边同除以 ,得得1+ = + m1,m2,m3,m4N*,且且m1m2m3m4,式的左边是奇数，右边是偶数，式的左边是奇数，右边是偶数，式不能成立式不能成立.数列数列an中不存在构成等差数列的四项中不存在构成等差数列的四项., ,a a , ,a a , ,a a , ,a a4 43 32 21 1m mm mm mm m1 1m m

19、2 24 4m m2 22 2m m2 23 3m m2 21 1m m2 24 4m m2 22 2m m2 23 3m m2 21 14 4m m- -m m2 21 12 2m m- -m m2 21 13 3m m- -m m2 21 1m m2 2数列数列an+3构成等比数列，并不是构成等比数列，并不是an为为等比数列；再就是等比数列；再就是 并不是相邻的四并不是相邻的四项，在设法上要注意项，在设法上要注意.4 43 32 21 1m mm mm mm ma a . .a a . .a a . .a a已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=1，公差，公差d0,且第且第2项、项

20、、第第5项、第项、第14项分别是等比数列项分别是等比数列bn的第的第2项、第项、第3项、项、第第4项项.（1）求数列）求数列an与与bn的通项公式；的通项公式；（2）设数列）设数列 Cn对对n N*均有均有 成立，求成立，求c1+c2+c3+c2 010.1 1n nn nn n2 22 21 11 1a ab bc cb bc cb bc c+=+(1)由已知有由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得解得d=2(d0).an=1+(n-1)2=2n-1.又又b2=a2=3，b3=a5=9，数列数列bn的公比为的公比为3.bn=3

21、3n-2=3n-1.（2）由）由 得得当当n2时，时， .当当n2时时 =an+1 -an=2bn=23n-1（n 2）.又又n=1时，时， =a2，c1=3.c1+c2+c3+c2 010 =3+23+232+232 010-1 =1+21+23+232+232 009 =1+2 =32 010.1 1n nn nn n2 22 21 11 1a ab bc cb bc cb bc c+=+n n-1-1n n-1-1n n2 22 21 11 1a ab bc cb bc cb bc c=+n nn nb bc c1 11 1b bc c3 3- -1 13 3- -1 10 01 10

22、0 2 2某林场有荒山某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第亩，每年春季在荒山上植树造林，第 一年植树一年植树100亩，计划每年比上一年多植树亩，计划每年比上一年多植树50亩亩 （全部（全部 成活）成活）.（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树林每立方米，树林每 年自然增长率年自然增长率10%，设荒山全部绿化后的年底的，设荒山全部绿化后的年底的 木材总量为木材总量为S，求，求S约为多少万立方米（精确到约为多少万立方米（精确到0.1）？）？将问题合理转化为等差、等比数列模型将

23、问题合理转化为等差、等比数列模型.（1）每年植树的亩数构成一个以）每年植树的亩数构成一个以a1=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数的等差数列，其和即为荒山的总亩数. 设需要设需要n年可将此山全部绿化，则年可将此山全部绿化，则 Sn=a1n+ （n-1）d=100n+ 50 =3 250. 解此方程，得解此方程，得n=10（年）（年）.2 2n n2 21)1)- -n(nn(n （2）第一年种植的树在第）第一年种植的树在第10年后的木材量为年后的木材量为2a1（1+0.1）10,第二年种植的树在第第二年种植的树在第10年后的木材量为年后的木材量为2a2（1+0.1）9, 第第10

24、年种植的树在年底的木材量为年种植的树在年底的木材量为2a10（1+0.1）, 第第10年后的木材量依次构成数列年后的木材量依次构成数列bn，则其和为，则其和为 T=b1+b2+b10 =2001.110+3001.19+1 1001.11.0(万立方万立方米米). 答：需要答：需要10年可将此山全部绿化，年可将此山全部绿化，10年后木材总量约年后木材总量约为为1.0万立方米万立方米.数列应用问题是考查分析问题、解决问数列应用问题是考查分析问题、解决问题的好素材题的好素材.它要求有较强的阅读理解能力，捕捉信息它要求有较强的阅读理解能力，捕捉信息的能力和归纳抽象的能力的能力和归纳抽象的能力.为了治

25、理为了治理“沙尘暴沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，西部某地区政府经过多年努力，到到2006年底，将当地沙漠绿化了年底，将当地沙漠绿化了40%，从，从2007年开始，年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过能使该地区的绿洲面积超过50%（可参考数据（可参考数据lg2=0.3,最后结果精确到整数）？最后结果精确到整数）？ 设该地区总面积为设该地区总面