2011年广州市高三数学 调研测试试题

1、2011年广州市高三调研测试说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分

2、40分.题号12345678答案ACDBBBCB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，考生作答6小题，每小题 5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题 9 10 11. 12. 13. 14 15相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: , , . 2分 . 4分 (2)解: 由(1)知,且, . 6分 , 由正弦定理得,即, . 8分,. 10分. 12分17.

3、 （本小题满分12分）(本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解法1: 设事件表示“甲厂生产的灯泡”, 事件表示“灯泡为一等品”, 依题意有, , 根据条件概率计算公式得. 4分 解法2: 该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有个, 乙厂生产的灯泡 有个, 其中是甲厂生产的一等品有个, 乙厂生产的 一等品有个, 故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是 . 4分(2) 解: 的取值为, 5分 , , 8分 的分布列为: . 12分18.（本小题满分l4分） (本小题主要考查空间

4、线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明： 平面，平面,.，平面,平面,平面.平面， 3分, ,平面,平面,平面.平面,. 6分（2）解法1：由（1）知，又， 则是的中点, 在Rt中,得，在Rt中,得, .设点到平面的距离为，由， 8分得.解得， 10分设直线与平面所成的角为，则， 12分 . 直线与平面所成的角的余弦值为. 14分解法2： 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，. . 8分设平面的一个法向量为，由可得：令，得. 10分设直线与平面所成的角为，则. 12分.直线与平面所成的角的余弦

5、值为. 14分19（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：椭圆的离心率, . 2分 解得. 椭圆的方程为 4分（2）解法1：依题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即 弦长 8分的面积 9分 . 12分 当且仅当，即时，等号成立. 的面积的最大值为 14分解法2：依题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆的方程为 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即 在圆的方程中，令，得， 弦长 8分的面积

6、9分 . 12分 当且仅当，即时，等号成立. 的面积的最大值为 14分20.（本小题满分14分） (本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数的定义域为. . 当, 即时, 得,则. 函数在上单调递增. 2分 当, 即时, 令 得,解得. () 若, 则. , , 函数在上单调递增. 4分 ()若,则时, ; 时, ,函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增. 6分综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为; 当时, 函数的单调递减区间为, 单调递增区间为. 8分(2) 解: 由, 得,

7、化为.令, 则.令, 得.当时, ; 当时, .函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.当时, 函数取得最大值, 其值为. 10分而函数,当时, 函数取得最小值, 其值为. 12分 当, 即时, 方程只有一个根. 14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 由，设直线的斜率为，则.直线的方程为.令，得， 2分， .直线的方程为.令，得. 4分一般地，直线的方程为，由于点在直线上，.数列是首项为，公差为的等差数列. 6分（2）解： . 8分（3）证明：. 10分 ，. 要证明，只要证明，即只要证明. 11分 证法1：（数学归纳法） 当时，显然成立；