流体力学典型例题20111120

1、流体力学典型例题（9大类）'例1例3 牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用4例4例5流体静力学基本方程式的应用一一用流体静力学基本方程与等压面计算某点的压强或两点之间的压差。,例6例8一液体的相对平衡一一流体平衡微分方程中的 质量力同时考虑重力与惯性力 （补充内容）:（1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关）（2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关）；例9 求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度）；涡量计算及流动有旋、无旋判断:例1016速度势函数、流函数、速度场之间的互求例17计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度:例1820动量定理应用

2、（课件中求弯管受力的例子）2例2122总流伯努利方程的应用例23综合：总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算例题1:如图所示，质量为m= 5 kg、底面积为S= 40 cmx 60 cm的矩形平板，以U = 1 m/s的速度沿着与水平面成倾角=30的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度=1 mm,假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力dudy又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律F ma 0,即:mgsinS0mgsin5 9.8 sin 30：110 3U S1 40 6

3、01040.1021 N s m2粘性就是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性就是流体的一种固有物理属性；流体的粘性具有传递运动与阻滞运动的双重性。= 0.23 mm,缝隙中充满动力粘性系数例题2:如图所示，转轴的直径 d=0.36 m,轴承的长度l=1 m,轴与轴承的缝隙宽度0.73Pa s的油，若轴的转速n 200rpm。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。W/火/入.$吐d一§V/川川LlJ解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力dun d 60dy粘性阻力（摩擦力）:Fdl克服油的粘性阻力所消耗的功率30dl d L2 30d 3 n2l6023.14

4、 0.360.732002 10.23 10 3260250938.83(W)，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度旋例题3:如图所示，直径为d的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为 转，此时所需力矩为T,求间隙厚度 的表达式。PCIi /V2ZZZ222z222ZZZ77777777777777解：由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径r处取径向宽度 受到的切向力为：dr的微元面积环 根据牛顿内摩擦定律，可得该微元面积环上例题4:如图所示的双dFdA2 rdrdT dFdT%Tdr0r 2drd432U型管用来测定比水小的液体的密度d432T，试用液柱高差来确定未知液体的密度（取管中水的

5、密度水1000 kg/m3)。水解:经分析可知图中1-1与2-2为两组等压面。根据等压面的性质与流体静力学基本方程PP0左侧：P1gh，采用相对压强可得:水 g(h1 h2),右侧：p2水 g(hu h3)中间：P1P2gQh2)h2h3h2h3hu水 g huh3hah2hh2容器A谷希B例题5:如图所示,U型管中水银面的高差 h = 0.32 m,其她流体为水。容器 A与容器B中心的位置高差z= 1 m。求A、B两 容器中心处的压强差(取管中水的重度水=9810 N/m3,水银的重度水银= 133416 N/m3)ogh，可得:解:图中1-1、2-2为2组等压面。根据等压面的性质与流体静力

6、学基本方程p p0PaP1水 h1，P1P27K银 h, PbP2水h2PaPb水银h水 h2h1水银h水h133416 0.329810 0.32 129743.92 Pa例题6:如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H = 1.2m,长L = 3m,静止时盛水深度h=0.9m。现水箱以 a 0.98m/s2 的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度1000kg /m3 ,水箱中自由水面的压强 P0 =98000Pa。试求:(1)水箱中自由水面的方程与水箱中的压强分布。(2)水箱中的水不致溢出时的最大加速度解:(1)如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点 水箱运

7、动时单位质量水受到的质量力与水的加速度分量分别为,z轴垂直向上，x轴与加速度的方向一致。则代入非惯性坐标系中的压力全微分公式dpa,Y 0,Z gXdx Ydy ZdzdW碍积分得dpadx gdzax gzC1利用边界条件确定积分常数 g :在坐标原点O(x 由式可得水箱内的压强分布z0)处，pp0,得 Gp0pp0ax gz 980001000 0.98x9.8z98000 980x 9800z对于水箱中的等压面，有dp 0 ,所以由式可得等压面的微分方程adx gdz积分得az x c2g上式给出了一簇斜率为a/g的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面就是等压面中的一个，因

8、自由水面通过坐标原点，可确定积分常数c20 o因此自由水面方程为0.98x 0.1x9.8(2)假设水箱以加速度amax运动时，其中的水刚好没有溢出 性质可得,且此时水箱右侧水的深度为h，则根据加速前后水的体积不变的(h L h H) L2又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系amaxH h与式联立求解，得:2 1.2 0.9amax9.8 1.96 m s2例题7:有一盛水的旋转圆筒，直彳D D= 1 m,高H= 2 m,静止时水深为h= 1.5 m。(1)为使水不从筒边溢出，旋转角速度应控制在多大?当 =6 rad/s时，筒底G、C点处的相对压强(相对于自由水

9、面)分别为多少?DhG解:(1)若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为 r 0,z Ho，则由:22X2x,Y2y,Z g，可推出自由水面（为一等压面）的方程：zdpXdx Ydy Zdz2gH0根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得:D 202rH02gdrD2h由此可求得：H0 h D-，带入自由表面方程得：D216gH，带入上式，得z h 2g若使 达到某一最大值而水不溢出，则有r D/2时，zd22 9.8 2.0 1.58.854 rad. s（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为将G点条件:r 0, z 0带入得2g2d2 z16gPg

10、g h2d2同理，将C点条件：r D/2,z2d2Pcg 8g16g0带入得:10002d216g9.81.51000 9.8621216 9.812450Pa62 121.5 -16950Pa16 9.8例题8:如图所示为一圆柱形容器，直径为300mm，高H 500mm，容器内装水，水深为h 300mm,使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速n。解:如图所示，将坐标原点0, z H0,则由:2 2r-H02g22_X x,Y y,Z g，可推出自由水面（为一等压面）的方程：zdp Xdx Ydy Zdz根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：d 20 2

11、r H02gdr2d2由此可求得：H0 h ，带入自由表面方程得16gz h 2gd28例9已知平面直角坐标系中的二维速度场t j。试求:若使2 rdxdydzUxuyUzdxdydzUxUyUzdt(1)迹线方程；(2)流线方程;(3)t0时亥h通过(1,1)点的流体微团运动的加速度；(4)涡量(即旋度)，并判断流动就是否有旋。解：(1)将ux x t,uy y t代入迹线方程dxdtdxUx,dydtt,dt dy,dtUy得:采用变量代换法解这个微分方程Odxdt dy dtx t ,YdX一 1dtdY 1 dtdXX 1 dYdt于就是得迹线的参数方程Y 1 t ：x aedt其中，

12、a, b就是积分常数t,ln(Xln(Y1, yt,代入上式，得:1)1)betc!x tc2y tet c1et c2t aebet(拉格朗日变数)。消掉时间t,并给定a,b即可得到以x, y表示的流体质点t aebeta,bt 1 ,aec1t 1 ,bec2的迹线方程。例如：已知欧拉法表示的速度场 u 2xi 2yj ,求流体质点的迹线方程，并说明迹线形状。dx将ux 2x,uy2y代入迹线微分万程：dtux,dydtuy，得:分离变量并积分得:lndxdt2t2x,ln2tC2,从上两式中消去时间t得迹线方程：,即：xyc1 C2xy cdy c2y dt可见，该流场中流体质点的迹线为

13、一双曲线(2)将 Ux x t,Uyy t代入流线微分方程dxUx也得:Uy * tdyy t将t瞧成常数，积分上式得流线方程：ln x t In y t In c(3)由质点导数的定义可得流动在x与y方向的加速度分量分别为Duxuxuxux , , 八,ax uxuy1x t1y t0xt 1DttxyDuyuyuyHyayuxuy1x t0y t1y t 1Dttxy所以，t 0时刻，通过(1,1)点的流体微团运动的加速度为：DuDtaj axjy t 1 j 2i 2j(4)由涡量(旋度)的定义,对于题中所给的平面流动有uyuxQ uzk k 0x y所以流动无旋。求速度势函数(一)利用

14、势函数的全微分求,，、， 一、1 2，、由 ux ，得(x t)d x f (y,t) x xt f (y,t)x2又由 yuyy t,得 f (y,t)1 2y t ,积分得 f (y,t) - y yt C(t)21 o o于耽无，(x y ) (x y)t C(t)2求速度势函数(二)按势函数定义求(x,0)(x,y)x(x, y) uxdx uydy(0,0)(x,0)(x t)d x (y t)d y001221(x y)C(t)例题10 2i 2i一已知：速度场 ux 3bx 3by , uy6bxy, uz 0。求证：此流动就是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数解:uz 0,

15、 0平面流动 z_ uuy6bx 6bx 0不可压缩xy-6by 无旋yx求速度势函数（一）利用势函数的全微分求由 ux 符(3bx2 3by2)d x f (y) bx3 3bxy2 f (y)x又由 一 uy 6bxy,得 f(y) 0,积分得 f(y) C y于就是， bx3 3bxy2 C求速度势函数（二） 按势函数定义求(x,0)(x,y) uxdx(0,0)(x,y)uyd y(x,0)x3bx2 d x0y(6bxy)d ybx3 3bxy2 C0（正确）不能按三个独立的不定积分相加求(x, y)uxd xuy d y(3bx23by2)d x3(6bxy)d y bx223bx

16、y 3bxyC （错误）例题11 已知：三维速度场ux yzt, uy xzt, uz求证：此流动就是不可压缩流体的无旋流动，并求速度势函数。uyuz0不可压缩流体uxD yuyzt,uyUzxt,以 zUzyt流动无旋求速度势函数（一）利用势函数的全微分求由ux，得uxdx f(y,z,t)yztdxf (y,z,t) xyztf (y,z,t)又由于就是，uyuzxyztxztxyt，得f(t)f(y,z,t)yf(y,z,t)，可彳导f （y,z,t）f(t)求速度势函数（二） 按势函数定义求(x,0,0)(x,y,z,t) uxdx(0,0,0)(x,y,0)uy d y(x,0,0)

17、(x,y,z)uz d z(x,y,0)x0d x0y0d0zxyt d z xyzt0f （t）（正确）不能按三个独立的不定积分相加求(x,y,z,t)uxdxuy d y uz dz yztdx xztdy xytdz 3xyzt f (t)(错误)4x o例12已知二维速度场为ux x 4y , Uy y(1)证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动(2)求该二维流场的流函数；(3)证明该流动为势流；(4)求速度势函数。解:(1)平面流动判定不可压缩流体平面流动的连续方程为UxUy由已知条件可求一以 一 x x 可压缩流体的平面运动。4y1,Uy4x 1，可见速度分布满足连续方程。故

18、可以表示不流函数 (x, y)的确定按流函数定义与已知条件有Uxx 4yUyy 4x积分式(1)得一dy y-_ 2f(x) xy 2yf(x)为确定函数f (x)，将式(3)对x求偏导，并按流函数定义令其等于Uy，即由式(4)可以判定f (x)x4x,积分求y f (x)f (x)得Uy y4xf(x)f (x)dx4xdx22x c其中c为积分常数。2x2xy 2y将式代入式，得：(3)有势流动判定判定流动就是否为有势流有方法一：就是直接利用速度场求旋度瞧其就是否为零1 Uy z 2 xUxy 4x-x 4y y12( 4 4) 0由此可以判定流动为有势流。方法二：瞧流函数就是否满足拉普拉

19、斯方程(因为平面不可压缩势流同时存在流函数与势函数)：2x流函数满足拉普拉斯方程T 一(y x，流动为势流。Uy) (Ux) (y 4x) (x 4y) 0势函数 (x, y)方法一：按势函数定义与已知条件有Uxx 4y(6)Uyy 4x积分式(6)得(8),/、1 2一、dx f (x) x 4xy f (y) x2为确定函数f (y),将式(8)对y求偏导，并按势函数定义式(7)令其等于uy，即由式(9)可以判定f (y) 4x f (y) Uy yy,积分求f(y)得y 4x(9)f(y) f(y)dyydy(10)其中c为积分常数。将式(10)代入式(8),得:2 y_ 24xy c方

20、法二：因已证明流动为有势流，则必然存在势函数，且J与Uv已知。可按势函数定义求：x y(x,0)uxdx(0,0) x(x,y)Uydy(x,0) y22x . y,、， x yxdx ( y 4x)dy 00224xy例13:证明： x 2x2解:1)判断流动就是否为势流2 一一、2 y2所表小的流动就是势流，并求出该流动的速度势函数。方法一4xuy4yUxuyzUxx y对于x,y平面内的流动，z 0说明流动无旋，所以就是势流。(4) 0方法二4y,流函数满足Laplace方程，所以流动就是势流。1 UyUx c-x02 x y平面不可压缩无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程。Ux, Uyx注

21、：1、不可压流体 无旋流动的速度势函数满足Laplace方程:2、不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足Laplace方程所以2)因为又因为所以于就是例14:三维不可压缩流场中2Ux x验就是否无旋?UxU y解：由连续方程y x yUz积分得：由 Z 0 处 uz=0 得:c=0所以流场中的Uz表达式为Uz1 由于x 2(UzUy Ux4y4x4xy1 4xx1, f4xy f2z5, Uy0得:工2(x2z,Uz2(xy)zUxuy4xy y c2_z3,口已知z 0处Uz0,试求流场中的Uz表达式，并检y)zUz2z,2x 2yUy虫)0y可见，当z 0时，该流体运动就是无旋的；当z 0时

22、，该流体运动就是有旋的。例15:已知二元流场的速度势为试求Ux与(2)求流函数。Uy，并检验就是否满足连续条件与无旋条件。解：(1)Ux2x, Uy2y yUx由于一x xUy0,满足连续方程；由于z 2(Uy心)0,流动无旋。 y由流函数的定义：Ux2x y积分式得一dy y将式对x求偏导，并令其等于Uy，即y于就是，流函数为:例16:不可压缩流场的流函数为5xyuy2yf(x)2xyf(x)2y f2xy(x)2y,可得 f (x) 0, f (x) c(1)证明流动有势(2)并求速度势函数。求(1,1)点的速度。解:(1)因为ux5x,Uy y所以，z12(UyUx-)y0,即流动无旋，

23、也即有势。(2)因为U5X ,Uy5y y所以，ddx dy x yUXdx Uydy 5xdx 5 ydy对上式作不定积分得速度势函数(dx dy)(uXdxx y由Ux5X , Uy5 y,得,(1,1)点的速度为：X 15, uyu 1,1 5i 5j例17:已知Ux2y，Uy2,y x试求此流场中在xi,y2点处的线变形率、角变形率与角速度。解：由Ux2,UyX2y x,x1,y 2,得线变形率为：Ux2xy 4uyyy2xy角变形率为：2(uy2(2x21x 2y) -(241 4) 2角速度为：zuy良)y1小(2 x221X2 2y)(2 4 1 4)27l/l/l/lzl/,l

24、/l/l/l/u2例题18:如图所示，有一水平放置的喷管水射流装置,由直管段与收缩形喷管组成，喷嘴与直管段的接头用螺栓连接。水流从喷2嘴喷出，冲击到一块垂直平板上。已知：喷管上游直管段的截面积 A 50cm，水的压强p1 46080Pa (表压，即相对于大解:建立如图所示的坐标系，取X轴所在的水平面为基准面；选取控制体，确定控制面；分析控制体受力：假定喷管壁面对水的作用力在水平方向的分量为Rx，沿x轴的负方向；垂直平板对射流的作用力为Fx,沿x轴的负方向2对1 1与 2 2截面列伯努利方程：gz1 艮 gz22z1 z2 0 , p1 46080Pa , p2 0 （相对压强）代入伯努利方程，

25、得：将已知条件22Pl-必Ui又由质量守恒方程u1Au2 A2，可得：uiAu2A2联立求解（A）与（B）可得：u17.2m/s,u212m/s,QiQ2(A)(B)Q0.036 m3/s。（1）针又11与22截面间的控制体，列x方向的动量方程：Q2u2Q13Rx P1A1可求得喷管壁面对水流的作用力 ：Rx p1AQ u1 u246080 50 10 4 1000 0.036 7.2 1257.6NRx为正值，说明喷管壁面对水流的作用力方向与初始假定的方向相同，水流对喷管壁面沿水平方向的作用力Rx为Rx的反作用力，故有RxRx57.6N，即喷管与直管段接头处所受的拉力为57、6N。（2）针又

26、2 2、3 4与4- 4截面间的控制体（该控制体周围的压强均为大气压强 ，故不考虑压强引起的作用力 ，列x方向的 动量方程：0Q2u2Fx可求得垂直平板对射流的作用力 ：FxQ2V2 1000 0.036 12 432NFx为正值，说明垂直平板对射流的作用力方向与初始假定的方向相同，射流对垂直平板的作用力 Fx为Fx的反作用力，故有 fxFx432N。x x例题19：如图所示，将一平板放在自由水射流中，并垂直于射流的轴线，该平板截去射流的一部分 Q1，并引起射流其余部分偏转 角度。已知u1 u2 u 24 m/s,Q 42L/s （升/秒）,Q1 16 L/s。求射流对平板的作用力 R及射流的

27、偏转角（不计摩擦力及水的重量的影响，取水的密度1000kg/m3）。解:建立坐标系，选取控制体，确定控制面。分析受力（假定力的方向）:由于不计摩擦力的影响，平板对射流只有沿垂直于平板方向 的法向作用力Rx （假设其方向向左，而沿平行于平板方向的切向摩擦力Ry 0。于就是可列出x与y方向的动量方程：Q2u2 cosQuRx根据已知条件与连续性方程：Q2 将其她已知条件带入，可以求得：Qu1 Q2u2 sin 0Q1 2.6 10 2m3 ssin162637.98, Rx 516.15N射流对平板的作用力RRx516.15N，方向向右。例题20:如图所示连续管系中的90渐缩弯管放在水平面上，管径

28、d1 15cm ,d2 7.5cm ,入口处水的平均流速u1 2.5m/s,静压 P1 6.86一4 一10 Pa （计示压强）。如不计能量损失，试求支撑弯管在其位置所需的水平力?1-1ui'/、"4FxFFyyU2 , P2, A2FyFxU2解：由u1Alu2A可得:2A1 d1/u2 u1 一 u1 4u1A2 d2210m/s对1-1与2-2两个过流截面列伯努利方程g 2g22P2 P1 Ui -U2建立如图所示的坐标系,x坐标轴向右为正 _46.86 10g 2g1000222.5 -1021725 Pa2,y坐标轴向上为正。取1-1、2-2截面与弯管内壁所包围的体

29、积为控制体，假设弯管对控制体内水流的作用力为F,它沿x、y方向的分量分别为Fx,Fy,方向如图所示，则可分别列出x、y方向的动量方程：PiAFxQi 0U1P2A2FyQ2U2再利用连续性方程Q1U1AQ2u2 A2,则有:FxAi Pi2Ui20.1546.86104103 2.521322.71 NFy A P2U24Fx, Fy均为正值，说明其实际方向与假设的方向相同0.07521275103 102537.78 N弯管对控制体内水流作用力的合力F大小为，即分别沿x、y坐标轴的负方向。Fx2 F；1322.712 537.7821438.63合力F的方向角（如图所示）为Fyarctan

30、arctanF537.781438.63205弯管受到水流的作用力就是f的反作用力，二者大小相等，方向相反，即F就本题而言，只需用x方向的动量方程求出 Fx，即可知道弯管受到水流沿水平方向的作用力 相反。Fx, Fx与Fx大小相等、方向例题21：轴流式风机可采用如图 3所示的集流器来测量流量 ，已知风机入口侧管道直径 d 400mm，u形管读数 h 100mmH2O,水与空气的密度分别为 w 1000 kg/m3 , a 1.2 kg/m3,忽略流动的能量损失，求空气的体积 流量Qv。解:针对在风机入口前断面1 1与U型管所在的风筒截面 2 2列伯努里方程20 0 0 0 ag 2g由静力学基本方程：带入上式，得:2gh w空气的体积流量：p wgh 0 pwgh1000,2 9.807 0.140.43 m/s1.2Qvu -d2 40.43 (0.4)2 5.08 m3/s44例题22:如图所示，离心式水泵通过一内径 d 150mm的吸水管以Qv 60 m3/h的流量，从一个截面积远大于吸水管截 4面积的敞口水池中吸水，并将水送至一水箱。设装在水泵入口处的真空计读数为pv 4 10 Pa。水池水面为大气压 pa,水力损失不计，试求水泵的吸水管高度 Hs ?解:选取自由液面1-1为零势能面，针1-1截面与水泵入口截面2一PiUiZig 2g2-2列伯努里方