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1、例 1一项工程, 甲队单独做完要12 天,乙队单独做完要10 天,两队合做多少天就可以完成?【分析1】把这项工程看作整体“1”,甲每天完成工程的1 ,乙队每天完成工程的1 ,1210甲乙合做每天完成工程的11 ,工程“ 1”里包含几个11 ,就是两队合做完成这个工程的天数.6060【解法1】两队合做1 天完成的工程?1 1=11 12 10 60两队合做多少天完成这项工程?1÷ 11=5 5 (天)6011综合算式:1÷( 1+1)1210=1÷ 11=55 (天).6011【分析2】用最小公倍解法.因为 12和 10 的最小公倍数是60,所以可假设这项工程为60

2、.那么甲队工作效率为60÷ 12=5 ,乙队工作效率为60÷ 10=6 ,甲乙合做效率为5+6=11. 用总工作量 60 除以甲乙效率和11,即得两队合做完成这个工程的天数.【解法2】假设这项工程总工作量为60.60÷( 60÷ 12+60 ÷ 10)=60 ÷( 5+6) =60 ÷ 11= 55(天).11【分析3】由题意可知,甲队每天的工作量,乙队天就可完成,即天 .两队合做1 天的工作量由乙队独做需要1+天,即天 .所以乙队10 天完成的这项工程, 两队合做要用10÷= (天)完成 .【解法3】 10

3、47;( 1+10 ÷ 12)1=10 ÷( 1+) =10÷=(天) .【分析 4】甲队 12 天的工作量, 乙队 10 天即可完成, 所以乙队1 天的工作量, 甲队要用天完时,即天。那么甲乙两队合做1 天的工作量,甲队要用1+=(天) .所以乙队10 天完成的这项工程,两队合做要用12÷=(天) .【解法4】 12÷( 1+12 ÷ 10)=12 ÷( 1+)=12÷=(天) .答:两队合做天就可以完成.【评注】解法1 是工程应用题的一般解法,易于理解.是较好的解法。解法2 是利用求公倍数法解工程应用题, 这种

4、解法其实是假设解法, 读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.例 2一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出,经过9 小时相遇,相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6 小时到达乙站,问客车行完全程需要几小时?(湖南省长沙市东区)【分析1】把甲乙两站全程看作标准“1” .两车同行1 小时行完全程的,货车 1 小时可行全程的,即.那么客车1 小时可行全程的-=.全程“ 1”里包含着多少个,就是客车行全程需要多少小时.2【解法1】 1÷(-)=1÷=(小时) .【分析2】货车行全程需9+6=15 (小时), 9 和 15 的最小公倍数是45,所以两站全程可假设为 4

5、5,那么两车同时行1 小时可行45÷ 9=5 ,货车 1 小时可行45÷ 15=3 ,所以客车每小时可行 5-3=2. 甲乙两站全程45 内包含多少个2,就是客车行全程需要多少小时.【解法2】假设甲乙两站全程为45.45÷ 45 ÷ 9-45 ÷( 9+6) =45 ÷ 45 ÷ 9-45 ÷ 15=45 ÷ 5-3=(小时) .【分析3】两车 9 小时行完的路程,货车要用9+6=15 (小时)行完.而客车 9 小时行完的路程,货车只需6 小时行完 .那么货车1 小时行完的路程,客车需要9÷ 6

6、=1.5 (小时) .所以货车15 小时的行程,客车需要1.5 × 15=22.5 (小时) .【解法3】 9÷ 6×( 9+6)=9 ÷ 6× 15=1.5 × 15=22.5 (小时) .【分析4】两车同时行全程需9 小时,货车行全程需要9+6=15 (小时),那么客车行9 小时恰好行完全程的× 6=,所以客车每小时行全程的÷ 9=.由此可求客车行全程的时间.【解法4】 1÷(×6÷9)=1÷(÷9)3=1÷=(小时) .【分析5】把客车行完全程需要的

7、时间看作“1”.货车行全程需9+6=15 (小时),而货车6小时的行程和客车9 小时的行程恰好相同,由此可求出客车9 小时行全程的× 6=,即 9 小时的对应分率,由此可求客车行全程的时间.【解法5】 9÷(× 6)=9 ÷(× 6) =9÷=(小时) .答:客车行完全程需要小时 .【评注】比较以上五种解法,解法1 是工程应用题的一般解法,思路简明清晰,易于理解和掌握;解法 5 是运用分数除法应用题的解法, 更有益于理解工程应用题, 且运算简便, 这两种解法是本题的较好解法 .例 3 一件工作,甲乙合做 8 天可以完成,甲独做 12

8、天可以完成 .现在甲乙合做若干天后,余下的由乙继续做 3 天才完成 .乙一共做了多少天?(河南省南阳地区)【分析 1】乙每天完成这件工作的,那么乙 3 天完成了这件工作的,再求出甲乙合做的工作量1-=,里包含多少个,就是甲乙合做了几天,即乙先做了几天.再加上余下3 天即得乙共做多少天.【解法1】 1- ()× 3÷ +3=1-×3 ÷+34=1- ÷+3= ÷ +3=10(天)。【分析2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程,先求乙先做了几天,再加上3 天即得乙共做了多少天 .【解法2】设甲乙合

9、做了 x 天 .+ =1=1-x=77+3=10【分析 3】假设总工作量为 24,那么甲乙效率和是 24 ÷ 8=3,甲的效率是 24÷ 12=2 ,所以乙的效率是 3-2=1 ,它 3 天完成了 1× 3=3. 因此,甲乙合做( 24-3)÷ 3=7 (天),即乙先做了 7 天,再加上 3 天即得乙共做的天数 .【解法3】假设工作总量为24.24- ( 24÷ 8-24 ÷ 12)× 3÷( 24÷ 8) +3=24- ( 3-2)× 3)÷ 3+3=24-3 ÷ 3+3=

10、21 ÷ 3+3=10 (天) .5【分析4】假设甲乙合做了5 天,那么比实际少完成1-× 5-(-)× 3=,甲乙继续合做还要用÷ =2(天) .所以乙共做了5+2+3=10 天 .【解法 4】假设甲乙合做了 5 天 .1-×5-(-)× 3 ÷+5+3=1-× 5-× 3÷ +5+3= ÷ +5+3=10 (天) .答:乙一共做了10 天.【评注】解法 1 和解法 2 是较好的解法 .解法 1 是工程应用题的一般解法,虽思路较繁,但容易想到 .例 4如图是表示甲、乙、丙三个工程队单

11、独完成某项工程所需天数的条形图.请计算:甲、乙两队合做4 天后,剩下的工程由丙队做,丙队还要做几天才能完成任务?(广东省深圳市)【分析1】先求出甲、乙两队合做4 天完成了工程的几分之几,再求剩下的工程,再除以丙队每天的工作量,即得丙队还要做的天数.【解法1】甲、乙合做4 天完成的工程?6剩下的工程有多少?1-=丙队还要几天完成?(天)综合算式:1-÷=1-÷ 4 ÷=1-÷=(天) .【分析2】先求出甲、乙合做4 天的工作量由丙队独做需要几天,再用丙独做全工程用的 15 天减去这个天数,即得丙队还要做的天数.【解法2】甲、乙合做4 天完成多少?=甲、乙合

12、做的工程由丙独做需几天?÷ =11(天)7剩下的工程丙队还要几天完成?15-11=4 (天)综合算式:15-÷=15-× 4÷=15-÷=15-11=4 (天) .【分析3】把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程,即丙队还要做天数的对应分率,最后求出剩下工程丙队还需几天完.【解法3】甲、乙合做了工程的几分之几?还剩下全工程的几分之几?1-=丙队完成剩下的工程还需几天?15 ×=4(天)综合算式:15×1-=15 × 1-8=15 ×=4(天) .【分析4】根据“剩下工程=总工程

13、-甲乙合做的工程”这一等量关系,列方程解.【解法4】设丙队还要 x天完成 .=1-=1-x=÷x=4答:丙队还要做4 天才能完成任务.【评注】比较以上四种解法,解法1 和解法 3 是较好的解法.解法 1 是解工程应用题的一般方法,容易理解.解法 3 是运用分数乘法应用题的解法,比解法1 的思路更直接.另外,本题还可用最小公倍法和正比例来解,读者可试解一下.例 5一项工程,甲、乙两队合做20 天完成 .已知甲、乙两队工作效率的比是4 5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天?(福建省福州市)【分析1】甲乙两队的工作效率和是,又知甲乙工作效率的比是4 5,由此运用按比例分配的方法,分别求

14、出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1”分别除以甲乙的独做效率,即得甲乙独做全工程的天数.【解法1】甲队每天完成多少工程?乙队每天完成多少工程?9甲队独做全工程需几天?1÷=45 (天)乙队独做全工程需几天?1÷=36 (天)综合算式:甲队:1÷() =1÷=45 (天)乙队: 1÷() =1÷=36 (天) .【分析 2】因为“工作量÷工作效率=工作时间”,工作时间一定,所以工作量和工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是45,所以甲 20 天完成了全工程的,乙队20 天完成了全工程的.由此可分别求出甲、乙独做全工程各需

15、多少天.【解法2】甲队独做全工程需要多少天?20 ÷=20×=45(天)乙队独做全工程需要多少天?20 ÷=20×=36(天)【分析3】由分析2 可知,甲乙完成工作量的比是4 5.因为他们的工作效率一定,所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式,求出两队的独做时间 .10【解法3】设甲队独做需x 天完 .20 4=x ( 4+5)4x=20 × 9x=20 × 9÷ 4x=45设乙队独做全工程需要y 天.20 5=y ( 4+5)5y=20 × 9y=20 × 9÷ 5y

16、=36答:略 .【评注】解法1 是解工程应用题的一般方法,易于理解,但思路较曲折.解法 2 是运用分数除法应用题的方法来解的,思路简单明白,运算也较简便,是本题的较好解法.解法 3 虽与解法2 的思路、方法都不同,但两者的数量关系是相同的.例 6修一段公路,甲队单独修需要16 小时完工 .甲乙两队合修4 小时后,剩下的由乙队又用小时修完 .这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工?(黑龙江省哈尔滨市南岗区)【分析1】乙队先后共修了4+=小时 .先求乙队共修了这段路的几分之几,再求乙队的工作效率,最后看这段公路“ 1”里包含几个乙队的工作效率,即乙队独修需几小时 .【解法1】乙队共修了全长的几分之几

17、?1-×4=乙队先后共修了几小时?114+=(小时)乙队每小时修全长的几分之几?乙队独修全长需几小时?1÷=14 (小时)综合算式:1÷(1-×4)÷( 4+)=1÷ ( 1-)÷=1÷=1÷=14(小时) .【分析 2】把乙队独修全长需要的时间看作“ 1”.由分析1 可知,乙队先后共修了小时,修了全长的,根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时.【解法2】 (4+)÷( 1-× 4)=÷=14(小时) .12【分析3】根据“甲队修路+乙队修路 = 全路长”这一等量关系列

18、方程解.【解法3】设乙队独修需x 小时完 .×4+×( 4+)=1× =1-x=1 ÷x=14答:这段公路由乙队独修需14 小时完工 .【评注】比较以上三种解法,解法2 的思路最简捷,运算最简便,是本题的最佳解法.例 7 一项工程甲队单独做要 15 天才能完成,乙队单独做 12 天才能完成,如果甲队先做 3 天后,剩余的工作两队同时去做,还要多少天可以完成?(四川省成都市)【分析1】先求出甲队先完成了工程的几分之几,那么即可求出剩下的工程,再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和,即得甲、乙队合做还要多少天完.【解法1】甲队先做了多少?× 3=剩

19、余的工作有多少?1-=两队合做还要多少天完?13÷()=(天)综合算式:( 1-×3)÷()= (1- )÷=÷=(天).【分析2】把两队合做全工程的时间看作“1” .先求出两队做全工程需要多少天,再求剩余的工程是全工程的几分之几,最后求出两队还要多少天完成.【解法2】甲乙合做全工程需要几天?1÷() =(天)两队要合做全工程的几分之几?1-×3=两队还要多少天可以完成?×=(天)综合算式: 1÷()×( 1-× 3)=1÷×14= × =(天).【分析3

20、】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量= 工作总量”列方程解.【解法3】设两队还要x 天完成 .× 3+() x=1x= ( 1-)÷x=【分析4】剩余的工作由甲独做要用15-3=12 (天) .把剩余的工作看作定量,那么所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.【解法4】设两队合做还要x 天完 .×( 15-3) = () x× 12=xx=x=15答:剩余的工作两队还要天可以完成.【评注】以上四种解法各有特点.解法 1 是一般解法,最容易想到,运算较简便,是较好的解法 .解法 2 是分数应用题的解法,思路更直接.解法 3 和解法4 都是方程解法

21、,但等量关系不同.读者可灵活选用.例 8仓库有 45 吨化肥,甲汽车单独运10 小时完成,乙汽车单独运15 小时完成 .用甲乙两辆汽车同时运,多少小时可以运完?(江苏省江都县)【分析1】先求两车每小时各运多少吨,再求两车每小时共运多少吨,最后用总吨数除以两车每小时运的,即得两车同运所需时间.【解法1】甲车每小时运多少吨?45 ÷10=4.5 (吨)乙车每小时运多少吨?45 ÷15=3 (吨)两车每小时运多少吨?4.5+3=7.5 (吨)两车同时运需几小时运完?45 ÷7.5=6 (小时)综合算式:45+( 45 ÷10+45 ÷ 15)=45

22、÷( 4.5+3 )=45 ÷ 7.5=6 (小时)。【分析2】先求出两车每小时共运总吨数的几分之.几?再求两车每小时共运多少吨,再看总吨数里包含几个这样的吨数,就是两队合运需几小时.【解法2】两车每小时运货的几分之几?16两车每小时运货多少吨?45 ×=7.5 (吨)两车合运几小时完成?45 ÷7.5=6 (小时)综合算式:45÷45×()=45÷45÷=45 ÷ 7.5=6 (小时) .【分析3】甲车每小时运化肥的,乙车每小时运化肥的,两车每小时运化肥的() =.把化肥总吨数看作“1”,“ 1”里包含

23、几个,就是两车同运几小时完成 .【解法3】 1÷() =1÷=6(小时) .【分析4】根据“甲车运肥+乙车运肥 = 化肥总量”这一等量关系列方程解.【解法4】设两车同运 x小时完 .x+x=1() x=117x=1 ÷x=6或() x=1x=1 ÷()x=6答:两车同时运6 小时可以完成.【评注】比较以上四种解法,解法3 的思路最简捷,运算最简便,是本题的最佳解法.例 9 甲乙两地相距 630 千米, 客车和货车同时从两地出发, 相向而行 .客车行完全程需 14 小时,货车行完全程需 21 小时 .两车相遇时各行了多少千米?(上海市徐汇区)【分析1】先求

24、客车和货车的速度各多少,再求两车的相遇时间,最后用两车的速度分别乘以相遇时间,即得每车各行多少千米.【解法1】客车每小时行多少千米?630 ÷ 14=45 (千米)货车每小时行多少千米?630 ÷ 21=30 (千米)两车几小时相遇?630 ÷( 45+30 ) =(小时)相遇时客车行多少千米?1845 ×=378 (千米)相遇时货车行多少千米?30 ×=252 (千米)综合算式:客车:630 ÷ 14× 630 ÷( 630 ÷ 14+630 ÷ 21) =45 × 630 

25、7;( 45+30 ) =45 ×=378 (千米)货车:630-378=252 (千米)【分析2】先求出甲车的速度,再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间,然后用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.【解法2】客车每小时行多少千米?630 ÷ 14=45 (千米)两车几小时相遇?1÷ ()=(小时)客车行了多少千米?45 ×=378 (千米)货车行多少千米?630-378=252 (千米)综合算式:19客车:( 630÷ 14)× 1 ÷() =45 × 1 ÷=45 ×

26、=378 (千米)货车: 630-378=252 (千米)【分析3】 因为“路程÷速度= 时间”,时间一定,所以客车和货车的路程比等于速度比即=3 2.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米.【解法3】客车与货车所行路程的比? =3 2客车行了多少千米?630 ×=378 (千米)货车行了多少千米?630 ×=252 (千米)综合算式:客车: 630 ×=378 (千米)货车: 630×=252 (千米) .答:略 .【评注】比较以上三种解法,解法1 最繁,但其思维难度小,也最容易想到.解法 3的思路简单明白,运算最简便,是本题最佳解法.如果由分析3 继续分析,运用分数应用题解法也可求出两车各行多少千米.20例 10一项工程,甲单独做40 天完成,乙单独做30 天完成,二人合做若干天后,甲临时调走,乙继续完成这项工程,一共用27 天 .求乙单独工作了多少天?(黑龙江省哈尔滨市)【分析1】把全工程看作“1” .先求出乙共完成的工程,再求出甲完成的工程,然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天,即甲乙合做的天数.最后用 27 天减去甲乙合做的天数,即得乙单独做了多少天.【解法1】 乙共完成工程的几分之几?× 27=甲完成

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