第8讲百战百胜的行程方法————比例法作业

1、百战百胜的行程方法比例法1 .客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3小时后客车到达甲地，货车离乙地还有22千米，已知货车与客车的速度比为5:6,甲、乙两地相距多少千米？2 .甲、乙两人从 A, B两地同时出发，相向而行.甲走到全程的的地方与乙相遇.已知11甲每小时走4.5千米，乙每小时走全程的 1.求A, B之间的路程.33 .甲、乙两人同时从 A地出发到 B地，经过 3小时，甲先到 B地，乙还需要 1小时 到达B地，此时甲、乙共行了 35千米.求 A, B两地间的距离.4 .甲、乙两人同时从 A地出发到B地，经过3小时，甲先到 B地，乙还需要1小时到达B 地，此时甲、乙共行了 35千

2、米.求A, B两地间的距离.5 .（“圆明杯”数学邀请赛）甲、乙两人同时从 A、B两点出发，甲每分钟行 80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟，两人将在距中点的 D处相遇，且中点距 C、D距离相等，问A、B两点相 距多少米？6 .在一圆形跑道上，甲从 A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过 4 分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？7 . （ 2008 “我爱数学夏令营”数学竞赛）一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的3前进，最终到达目的地晚1.5小时.若出发1小时后又前进90

3、公里因故停车0.5小4时，然后同样以原速的 3前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为 公里.48 .王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6,于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米？9 . 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20% ,可以比原定时间提前 1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高 25% ,则可以提前40分钟到达.那么甲、乙两地相 距多少千米？10 .甲火车4分钟行进的路程等于乙火车 5分钟行进的路程.乙火车上午8:00从B站开往

4、A 站，开出若干分钟后，甲火车从A站出发开往B站.上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A、B两站的距离的比是15:16 .甲火车从A站发车的时间是几点几分？11 .甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后 1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方.此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲.甲每小时行多少米？12 .小狗和小猴参加的 100米预赛.结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提 议把小狗的起跑线往后挪 10米.小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终

5、点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？13 . A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市.开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进. A车停了半小时后以原速度的4继续前进.B、C两车行至距离5甲市200千米时B车出了事故，C车照常前进.B车停了半小时后也以原速度的 4继续5前进.结果到达乙市的时间 C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，甲、乙两市的 距离为 千米.14 . 一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5米处.一列火车以每小时 84千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离.若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头3米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度

6、向东跑，小狗会在距东桥头 0.5米处被火车追上.问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？15 .如图，长方形的长 AD与宽AB的比为5:3 , E、F为AB边上的三等分点，某时刻， 甲从A点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动.甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5.他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟， 三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？ADE.FBC16.甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20% ,乙的速度提高了

7、30% ,这样，当甲到达 B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？17.上午8点整，甲从 A地出发匀速去 B 的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 人同时到达各自的目的地.那么，乙从地，8点20分甲与从B地出发匀速去 A地3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两 B地出发时是8点几分.18. （2008年四中考题）张、王两人都从东村到西村去，速度比为3:2.当张行了 11千米时，王行了 5.5千米;当张到达西村时，王离西村还有3的路程.东、西两村相距多少千米？819. （2010年数学解题能力高年级复试试题）小李开车从甲地去乙地，出发后 2小时，车在丙地出了故障，修车用了4

8、0分钟，修好后，速度只为正常速度的75%,结果比计划时间晚 2小时到乙地.若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的 75%,则比计划时间只晚 1.5小时.那么，甲乙两地全程 千米.答案:1.【分析】货车与客车速度比5: 6 ,相同时间内所行路程的比也为5: 6 ,那么客车走的路程为6_522 一匕/ =132（千米），为全程的一半，所以全程是132 X2 =264 （千米）.2.【分析】相同的时间内，甲、乙路程之比为5： （11 -5 ） = 5:6 ,因此甲、乙的速度比也为5:6 ,61所以乙的速度为4.5父6 =5.4千米/时.两地之间的路程

9、为：5.4M产1 =16.2千米.53 55度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的一 + 6= 一3183.甲、乙两个人同时从 A地到B地，所经过的路程是固定所需要的时间为：甲 3个小时，乙4个小时（3+1）两个人速度比为：甲：乙 =4: 3当两个人在相同时间内共行 35千米时，相当与甲走 4份，已走3份，所以甲走：35 + （4+3） >4=20 （千米），所以，A、B两地间距离为20千米4.【分析】甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人白速度之比为4:3,那么在3小时内的路程之比也是4:3;又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为35 M 4 =20千米，即A

10、, B两地间的距离为20千米.3 45.【分析】甲、乙两人速度比为80 :60 =4 :3 ,相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比， 43相遇时甲走了全程的乙走了全程的-.第二次甲停留，乙没有停留，且前后77两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的-,甲行了全程的-.由77于甲、乙速度比为4:3,根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙334331走了 3父3,所以甲停留期间乙行了 4-3父3=1 ,所以A、B两点的距离为747744.1 60X7-=1680 （米）.46.【分析】由题意知，甲行 4分相当于乙行 6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到

11、再次相遇，两人共走一周，各彳T 12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12+8=20 （分），乙需204X6=30 （分）.7.3【解析】如果火车出发1小时后不停车，然后以原 速的3前进，最终到达目的地晚41.5_0.5=1小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4,所以原计划要花1+（43炉3=3小时，现在要花1:（43/4 = 4小时，3若出发1小时后又前进90公里不停车，然后同样以原速的士前进，则到达目的地4仅晚1_0.5=0.5小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3 : 4 ,所以原计划要花0.5+（4 -3

12、¥3 =1.5小时，现在要花 0.5 ”43尸4=2小时.所以按照原计划90公里的路程火车要用 31.5=1.5小时， 所以火车的原速度为 90+1.5 =60千米/小时，整个路程为 60M（3 + 1 ）=240千米.8.【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9,即车速为原计划的10/9,则所用 时间为原计划的1勺0/9=9/10,即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于 原计划时间的1/10,原计划时间为：1.5 4/10=15（小时）；按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6,即此后车速为原来的7/6,则此后所用时间为原计划的1旬6=6/7,即此

13、后比原计划少用1/7的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7,则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：5/3 +7=35/3（小时），所以，原计划的速度为：84（千米/时），北京、上海两市间的路程为：84 M5= 1260（千米）.9.【分析】车速提高20% ,速度比为5:6,路程一定的情况下，时间比应为 6:5,所以以原6 -5速度行完全程的时间为1=6 =6小时.6以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高25%，速度比为4:5,所用时间比应为 5:4,提前40分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要40+1 =10小时，所以以原速行驶

14、120千米所用的时间为6-10 =§小时，甲、605333乙两地的距离为120+8父6 =270千米.310.分析甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知.由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比.根据题意可知，甲、乙两车的速度比为5:4.从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5:4=15:12 ,而相遇点距 A、B两站的距离的比是15:16 .说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小1时所走路程的（16-12广16=.也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也就是15分钟.所以甲火车从 A站发车的时间是8点15分.11.分析1根据题意，乙加速

15、之前步行2小时的路程等于甲步行 2.25小时的路程，所以甲、乙的速度之比为2:2.25 =8: 9 ,乙的速度是甲的速度的 1.125倍；乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行 3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速 度比为3:3.75 =4:5 .加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍；由于乙加速后每小时多走 500米，所以甲的速度为 500+（1.251.125）=4000米/小 时.12.【解析】小猴不会如愿以偿.第一次，小狗跑了100米，小猴跑了 90米，所以它们的速度比为100 :90 =10:9 ;那么把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了 110

16、M2=99米，离终点还差1米，所以它还是比小狗晚10 到达终点.13.【分析】如果 A车没有停半小时，它将比 C车晚到1.5小时，因为A车后来的速度是C车的 4,即两车行5 小时的路A车比C车慢1小时，所以慢1.5小时说明A车后来行 5了 5X1.5 =7.5小时.从甲市到乙市车要行1+7.51.5 =7小时.同理，如果 B车没有停半小时，它将比 C车晚到0.5小时，说明 B车后来行了 5父0.5=2.5小时，这段路 C车需行2.50.5 =2小时，也就是说这段路是甲、乙两 市距离的-.72故甲、乙两市距离为 200，1 一, J=280 （千米）.14.【分析】设铁路桥长为 x米.在小狗向西

17、跑的情况下：小狗跑的路程为（x-5）米，火车走的路程为（3x-3）米；2在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为（2+5-0.5） =（）+4.5）米，火车走的路程22为(4x0.5)米;两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了 仁-5) +(- +4.5)=(x_0.5)米, 22火车一共走了(3x -3) +(4 x-0.5) = (7x-3.5)米；因为(7x -3.5)是(x 0.5)的7倍，所以火车速度是小狗速度的7倍，所以小狗的速度为847=12 (千米/时)；因为火车速度为小狗速度的7倍，所以(3x -3) =7x(- -5),解此方程得：x=64.2所以铁路桥全长为64米，小

18、狗的速度为每小时 12千米.15.分析长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上.所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况.将长方形的宽3等分，长5等分后，将长方形的周长分割成 16段，设甲走4段所用 的时间为1个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走 3段、5段，由于4、 3、5两两互质，所以在非整数单位时间的时候， 甲、乙、丙三人最多也只能有1个 人走了整数段.所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况.对于甲的运动进行讨论:时间(单位时间)246810121416地点CACAC

19、ACC对于乙的运动进行讨论:时间(单位时间)23101118192627地点DCBADCBA对于丙的运动进行讨论:时间(单位时间)23101118192627地点CBADCBAD需要检验的时间点有 2、3、10、11、2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件.3个单位时间的时候甲在 AD上，三人第一次构成最大三角形.所以一个单位时间相当于4分钟.10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形.所以再过40分钟.三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？16.【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为 3:2, 相遇后，甲、乙两人的速度比为 岳父(1+20% ): 2黑(1+30% g = 3.6: 2.6 =18:13 ；到达B地时，即甲又行了 2份的 134路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是18:13,即乙的路程为2M=1-.乙从189相遇后到达 A还要行3份的路程，还剩下3-1, =1(份)，正好还剩下14千米，所99以1份这样的路程是14+15 =9（千米）.9A、B两地有这样的3+2=5（份），因此A、B两地的总路程为：9父（3+2） = 45（千 米）.17.甲、乙相遇时甲走了 20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，又走了 10