电磁感应中滑轨问题归类例析要点

1、电磁感应中“滑轨”问题归类例析冯德强(南菁高级中学 214400江苏)导体杆在磁场中运动切割磁感线产生电磁感应现象，是历年高考的一个热点问题。因此在高三复习阶段有必要对此类问题进行归类总结，使学生更好的掌握、 理解它的内涵。笔者作了一个粗浅的归类，请读者批评指正。通过研究各种题目，我认为电磁感应中“滑轨”问题，最后要探讨的问题不外乎以下几种：1、运动分析：稳定运动的性质(可能为静止、匀速运动、匀加速运动)、求出稳定的速度或加速度、求达到稳定的过程中发生的位移或相对位移等2、分析运动过程中产生的感应电流、讨论某两点间的电势差等3、分析有关能量转化的问题：如产生的电热、机械功率等4、求通过回路的电

2、量解题的方法、思路通常是首先进行受力分析和运动分析。然后运用动量守恒或动量定理以及能量守恒建立方程。按照不同的情景模型，我分成单杆滑、双杆滑以及轨道滑三种情况 举例分析。一、“单杆”滑切割磁感线型1、杆与电阻连接组成回路例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁 M弋 N感强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间 力晶 x x x亨x接有一阻值为R的电阻.一根与导轨接触良好、阻值为R/2的* x?x金属导线ab垂直导轨放置J - q(1)若在外力作用下以速度 v向右匀速滑动，试求 ab两点间的电势差。(2)若无外力作用，以初速度 v向右滑动，试求运动过程中产生的

3、热量、通过 ab电量以及 ab发生的位移x。解析：(1) ab运动切割磁感线产生感应电动势E,所以ab相当于电源，与外电阻 R构成回路。R2 .Uab=BLV = -BLVR R_32(2)若无外力作用则ab在安培力作用下做减速运动，最终静止。动能全部转化为电热。12Q = mv 。2q = it = 丁 -R 2由动量定理得：Ft = mv即BILt = mv ,BLx mv . 3mvRX 2 23 BL2B2L2- R2q = Itmv q 二BL例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m ,上、下两端各有一个电阻Ro= 1 Q ,框架的其他部分电阻不计，

4、框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度 B=2T.ab为金属杆，其长度为 L = 0.4 m,质量m=0.8 kg,电阻r= 0.5 Q , 棒与框架的动摩擦因数 科=0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻Ro产生的热量 Q0= 0.375J(已知 sin37° = 0.6, cos37° =0.8; g 取 10m/s2)求：(1)杆ab的最大速度；(2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离； 在该过程中通过ab的电荷量.解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律 及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分

5、析金属杆的 运动及受力的变化情况。(1)杆ab达到平衡时的速度即为最大速度v,这时 mgsin 0 F NN =0, N=mgcos 0F=mg (sin 0 cos 0 ).一 RE总电阻 R = + r = 1Q , E = Blv , I =, F = BIL2 2B L vF =,得R2R= 2.5msmg(sin 二-' cos ) Rv2 2B L克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即12_W =Q =2Q0 +2Q0 =1.5J ,由动能定理：smgsin 日W - Nmg cos = mv -0 212mv W s =2 mg(sin cos 二)通过ab的电荷量

6、q = I At =BLs,代入数据得q=2 C2、杆与电容器连接组成回路例3、如图所示，竖直放置的光滑平行金属导轨，相距l ,导轨一端接有一个电容器，电容量为C,匀强磁场垂直纸面向里，磁感应弓虽度为B,质量为m的 金属棒ab可紧贴导轨自由滑动.现让ab由静止下滑，不考虑空气阻力，也不 考虑任何部分的电阻和自感作用.问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度 为多大？解析:ab在mg作用下加速运动，经时间 t ,速度增为v, a =v / t产生感应电动势E=Bl v电容器带电量Q=CE=CBl v ,感应电流I=Q/t=CBL v/t=CBl a产生安培力 F=BIl =CB2 l 2a ,由牛顿

7、运动定律mg-F=mama= mg - CB 2 l 2a , a= mg / (m+C B 2 l 2)ab做初速为零的匀加直线运动 ，力口速度a= mg / (m+C B 2 l 2)落地速度为v = 一 2ah =2mgh:m CB2l2X X X X v voX X X Xx x K X例4、光滑U型金属框架宽为L,足够长，其上放一质量为 m 的金属棒ab,左端连接有一电容为 C的电容器，现给棒一个 初速Vo,使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导 体棒的最终速度。解析：当金属棒ab做切割磁力线运动时， 要产生感应电动势， 这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受

8、 到安培力的作用而减速，当 ab棒以稳定速度v匀速运动时， 有：BLv=UC=q/C而对导体棒ab利用动量定理可得：-BLq=mv-mv 0由上述二式可求得：v = ； 9m B2L2C3、杆与电源连接组成回路例5、如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距l =0.5m,处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面.横跨在导轨上的直导线ab的质量 m =0.1kg、电阻R =0.8乌导轨电阻不计.导轨间通过开关 S将电动势E =1.5V、内电阻r =0.2 的电池接在M、P两端，试计算分析：（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线 ab的加速度多大？随后 ab的加速度、速度

9、如 何变化？（2）在闭合开关S后，怎样才能使 ab以恒定的速度 u=7.5m/s沿导轨向右运动？试描 述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）解析（1）在S刚闭合的瞬间，导线 ab速度为零，没有电磁感应现象，由 a到b的电流10 = E =1.5A, ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度 a° =& = ®oI =6m/s2R rmm 一 一 、 .ab运动起来且将发生电磁感应现象.ab向右运动的速度为 u时，感应电动势E = Blv ,根据右手定则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反.电E - E路中的电流（顺时针方向，

10、I =）将减小（小于Io=1.5A）, ab所受的向右的安培力R r随之减小，加速度也减小.尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小， 安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势E'与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时 ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动.设最终达到的最大速度为小,根据上述分析可知：E_Blum=0E 1.5=m/s=3.75m/s.Bl 0.8 0.5ab中感应电动势(2)如果ab以恒定速度u =7.5m/s向右沿导轨运动，则E = Blv =0.8 0.5 7.5

11、v=3V由于E >E,这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：E -E3-1.50.8 0.2A=1.5A直导线ab中的电流由b到a,根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大12小为 F ' = BlI ' = 0.8 0.5 1.5 N=0.6N所以要使ab以恒定速度v =7.5m/s向右运动，必须有水平向右的恒力F =0.6N作用于ab.上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：作用于ab的恒力(F)的功率：P = Fv =0.6父7.5W=4.5W电阻(R +r)产生焦耳热的功率：p' =I2(R r) =1.52 (0.8 0.2)W=

12、2.25W逆时针方向的电流I,从电池的正极流入，负极流出，电池处于 充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来.电池吸收能量的功率：P'= I'E =1.5M1.5W=2.25W由上看出，P = P + P ,符合能量转化和守恒定律(沿水平面匀速运动机械能不变) .二、“双杆”滑切割磁感线型1-双杆所在轨道宽度相同一一常用动量守恒求稳定速度ac例6、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面 内，两导轨间的距离为 L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路，如图所示.两根导体棒的质量皆为 m,电阻皆为 R,回路中其余部分的电阻可不计.在整个 导轨平面内都有竖直向上

13、的匀强磁场，磁感应弓II度为B.设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行.开始时，棒 cd静止， 棒ab有指向棒cd的初速度v0.若两导体棒在运动中始终不接触，求：(1)在运动中产生的焦耳热最多是多少.(2)当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流.ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动.在 ab棒的速度大于 cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速.两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电 流，两棒以相同

14、的速度 v作匀速运动.(1)从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv0=2mv根 1c 1c 1c据能量守恒，整个过程中产生的总热量Q =1mv2 1(2m)v2 =1mv2224(2)设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为 必，则由动量守恒可知:3 ，3、mvo =m Vo +mv1。此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：E = ( v0 v1)BL ,4 41 EF,I =。此时cd棒所受的安培力：F = IBL ,所以cd棒的加速度为 a = 一 由 2RmB2I以上各式，可得 a = B 0。4mR例7、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁

15、感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l= 0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为 R=0.50Q。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属卞f在导轨上滑动。经过t=5.0s,金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2,问此时两金属杆的速度各为多少？V1和V2,经过很短的解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为X,速度分别为时间 t,杆甲移动距离 V1At,杆乙移动距离 V2At,回路面积改变乙

16、甲AS =(xV2&)十VAt+tlx =(V1 V2)l&tPF,，、“，、，一一一，.一 一，一一，,，-as 由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E=B：t回路中的电流 i =且，杆甲的运动方程 FBli=ma 2R由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等,方向相反，所以两杆的动量(t = 0时为-L,142R0)等于外力F的冲量Ft =mV1 +mV2。联立以上各式解得 V1 =- 一2 (F ma)2 mB2F1 F 2RV2 = 2 2 (F ma),代入数据得 V1 =8.15m/sv2= 1.85m/s2 m B I2-双杆所在轨道宽度不同一一常用动量定理找

17、速度关系/ a例8、如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒 ef 的质量是棒gh的质量的2倍。现给导体棒ef一个初速度vo,沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少?解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef的速度减小到"，导体棒gh的速度增大到 V2,则有2BLvi-BLv2=0,即V2=2vi。对导体棒 ef由动量定理得：2BL I & =2mv1 2mv0对导体棒gh由动量定理得： BLIAt = m0。由以

18、上各式12可得：V1 = v0,v2 =-v0。333、磁场方向与导轨平面不垂直例9、如图所示，ab和cd是固定在同一水平面内的足够长 平行金属导轨，ae和cf是平行的足够长倾斜导轨，整个装 置放在竖直向上的匀强磁场中。在水平导轨上有与导轨垂直 的导体棒1,在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体棒2,两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度为B,导轨间距为L,倾斜导轨与水平面夹角为以导体棒1和2质量均为m,电阻均为R。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力 F作用在棒1上，从静止开始拉动棒 1,同时由静止开始释放棒2,经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试

19、求：(1)水平拉力F的大小；(2)棒1最终匀速运动的速度 v1的大小。解析(1)1棒匀速：F = BIL 2棒匀速：BIL =mg tan0 解得：F = mg tan ,二(2)两棒同时达匀速状态，设经历时间为t,过程中平均感应电流为I ,据动量定理，对 1 棒：Ft -BILt =mv1 -0;对 2 棒：mg sin 0 t -BFLcosO t =mv2 -02mgRtan ?B2L2(1 cos2 f联立解得： v2 =Vi cost1匀速运动后，有： E =BLv1 +BLv2 cos日,I = 解得:2R三、轨道滑模型例10、如图所示，abcd为质量m的U形导轨，ab与cd 平行，放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量为m的 金属棒PQ平行bc放在水平导轨上，PQ棒右边靠着绝 缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e、f,U形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e、f的O1O2为界，