有关中值定理的证明题

1、中值定理证明题集锦f (x)1、已知函数f(x)具有二阶导数，且lim 0, f (1) 0,试证：在区间(0,1)内至少 x 0 x存在一点，使得f ( ) 0.证：由lim f (x) 0 ，可得lim f (x) 0 ,由连续性得f (0) 0 ,由此又得x 0 xx 0f (0) lim f(x) f(0)lim* 0,由 f(0)f(1) 0 及题设条件知 f(x)在0,1x 0 x 0x 0 x上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 c (0,1),使得f (c) 0 ,又因为f (0) f (c) 0,并由题设条件知f (x)在0,c上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值

2、定理知，在区间 (0,1)内至少存在一点 ，使得f ( ) 0.2、设f(x)在0,a上连续，在(0,a)内可导，且 f(a) 0,证明：存在一点(0,a),使得 f( ) f ( ) 0.证：分析：要证结论即为：xf (x)|x0.令F(x) xf(x),则F(x)在0, a上连续，在(0, a)内可导，且 F (0) F(a) 0 ,因此F(x) xf (x)在0,a上满足罗尔中值定理的条件， 故存在一点(0,a),使彳# F ( ) 0,即 f ( ) f ( ) 0.注1:此题可改为：设f(x)在0,a上连续，在(0, a)内可导，且f (a) 0,证明：存在一点(0, a),使得nf

3、( ) f ( ) 0.分析：要证结论nf ( ) f ( ) 0等价于n n 1 f ( ) nf ( ) 0 (给nf( ) f ( ) 0两端同乘以门人而门"1") nf ( ) 0即为xnf(x)x0.故令F(x) xn f (x),则F (x)在0, a上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论注2：此题与下面例题情况亦类似：设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0, x (0,1),有f(x) 0,证：n N ,(0,1),使得 f)成立.f( )f(1)要证结论可变形为nf ( ) f (1)f ( )f (1) 0 ,它等价于nfn 1( )

4、f ( )f(1 ) fn( )f (1 ) 0 (给 nf ( )f(1 同乘以 fn 1(),而 nfn 1( )f ( )f (1 ) fn(x)f (1 x)|x 0,用罗尔中值定理.以上三题是同类型题.3、已知函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) 1(1)存在一点(-,1)，使 f ().2)f( )f (1) 0两端fn( )f (1) 0 即为f(1)c1。，丐)存在一点 (0,),使f ( ) 1.(3)存在一点 x0 (0,)，使 f(%) 1(f(x°) x°).证：(1)分析：要证结论即为：f( )0.1令F (x) f (x

5、) x ,则只需证明F (x)在(一，1)内有季点即可。21 一 1111_显然 F(x)在,1上连续，且 F(-) f(-) - - 0, F(1) f(1) 11 0,2 222 21 1因此F(x)在,1上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在 (，1),使F() 0,2 2在0,上满足罗尔中(2)又因为 F(0) f (0) 0 0,由(1)知 F() 0,因此 F(x)值定理条件，故存在一点(0,),使F ( ) 0,即f ( ) 1 0 ,即f ( ) 1.(3 )分析：结论f(x0)1(f(x0)x0)即就是F (x0) F(x0)或F (x0)F(x°)0,F(x&#

6、176;) F(x°) 0e下西)F(x。)0,即exF(x)k» 0.故令G(x) e xF(x),则由题设条件知，G(x)在0,上连续，在(0,)内可导，且G(0) e0F(0) 0, G( ) e F( ) 0,则G(x)在0,上满足罗尔中值定理条件，命题得证.4、设f (x)在0, x上可导，且f (0) 0 ,试证：至少存在一点 (0, x),使得f(x) (1)ln(1 x) f ().证：分析：要证结论即为：f(x) f(0) (1)ln(1 x) ln1 f (),也就是f (x)一1(0-f (),因此只需对函数f(t)和ln(1 t)在区间0, x上应用

7、柯西中值定理ln(1 x) ln1 11即可.5、设 f (x)、g(x)在a, b上连续，在(a,b)内可导，f (a) f (b) 0 ,且 g(x) 0 ,证明：至少存在一点(a,b),使得f ( )g( ) f ( )g ().证：分析：要证结论即为： f ( )g( ) f( )g( ) 0 ,等价于f ( )g( f ( )g ()0 即就是上区0,因此只需验证函数F(x)在g ( )g(x)1g(x)区间a,b上应用罗尔中值定理即可.6、设f(x)在ox2上可导，且 0X x2,试证：至少存在一点(入修)，使得Xf(x2) x2f(x1)f ( ) f().f (x2) f (x

8、1)证：分析：要证结论即为：*11x2 Xf ( ) f()(Txx(1)lx因此只需对函数上3 和1在区间x1,x2上应用柯西中彳1定理即可 . x x此题亦可改为：设f (x)在a,b上连续，(a, b)内可导，若0 a b,试证：至少存在一点(a,b),使得 af(b) bf(a) f( ) f ( )(a b).7、设f(x)在a,b上连续，在(a, b)内可导，且f(a) f (b) 0,试证:(1)(a,b)，使得 f( ) f ( ) 0 ;(a,b),使得 f( ) f ( ) 0.证：(1)令F(x) xf(x),利用罗尔中值定理即证结论(2)分析： f() f() 0e三

9、f( ) f ( ) 0e 至 f(x)|X0 ,因此令2 XF(x) e丁 f (x),利用罗尔中值定理即证结论.8、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f (a) f (b) 1,试证： ，(a,b),使得 e f( ) f ( ) 1.证：分析：要证结论即为 ef( ) f()1,即就是 爪爪 1.e(e )x令F(x) exf(x),令G(x) ex,则F(x)和G(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知:(a,b),使得F()却(bb :叫即就是ef() f(),b ae e(a, b),使得F (),即就是eb a因此，有 e f( )-f-(-

10、i 1 ,即就是 e f( ) f ( ) 1. e9、设f(x)、g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a) g(a), f(b) g(b),试证： (a,b),使得 f() g ().证：分析：要证结论即为 f(x) g(x)卜0.令 F(x) f(x) g(x),(1)若f(x)、g(x)在(a, b)内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c点处取得最大值，则F(a) F(c) F(b) 0 (a c b),则F(x)分别在a,c、c, b上满足罗尔 中值定理条件，故 1 (a,c) ,2 (c,b)使彳导F ( 1) 0, F ( 2) 0.由题设

11、又知，F (x)在1, 2上满足洛尔定理条件，故存在 (1, 2),使得F ( ) 0 , 即就是f ( ) g ().(2)若f(x)、g(x)在(a, b)内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设 f (x)在p点处、 g(x)在q点处取得最大值，且p q ,则F(p) f(p) g(p) 0F(q) f(q) g(q) 0,由零点定理知,c (p,q)(0,1),使得 F(c) 0,由此得F(a) F(c) F(b) 0 (a c b),后面证明与(1)相同.10、设f (x)在a, b上连续，在(a,b)内可导，且试证：(1)存在一点(a,b),22b a使得Ff (x)dx af (x) 0,若极限 lim f(2x a)存在, x a x a2;f()2 b 在(a,b)内存在异于的点，使得f ( )(b a ) f(x)dx.;a ax2证：(1)令F(x) f(t)dt, G(x) x2,则F(x)、G(x)在a,b上满足柯西中值定理 ab222条件，故存在一点(a,b),使得Fb一aa成立a f(t)dt af(t)dt f()22b aa f (x)dx-2成立, f()即就是2f (x)dx (b2 a2) f ()成立.(2)由(1)知，2_2f(x)dx (b2