概率论与数理统计浙大四版习题答案

1、第三章多维随机变量及其分布1.一在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X, Y如下：0,若第一次取出的是正品，X =41,若第一次取出的是次品。/0,若第二次取出的是正品，Y =1,若第二次取出的是次品试分别就（1） （2）两种情况，写出 X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i , Y=j 尸 P (X=i)P (Y=j)P (X= 0, Y=0 )=10121012253610P (X= 0, Y=1 )=-',1 122 =512

2、36P (X= 1, Y=0 )=21210 = 512 - 36P (X= 1, Y=1 )=2122 二，12 - 3633或写成N01025536361513636（2）不放回抽样的情况,、10 945P X=0, Y=0 尸石 7r前P X=0, Y=1 =10 _212 1110660104510666611016666或写成P X=1, Y=0 =P X=1, Y=1 =212212101011661663.二盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取 4只球，以X表示取到黑球的只数，以 Y表示取到白球的只数，求 X, Y的联合分布律。XI01230003235351061

3、2235353521630353535解：（X, Y）的可能取值为（i, j）, i=0, 1, 2, 3,j=0, 12, i + j>2,联合分布律P X=0, Y=2 =C22C35P X=1, Y=1 =c3c2c35P X=1, Y=2 =c3c；c35P X=2, Y=0 =C32C35P X=2, Y=1 =21c：c2c1235P X=2, Y=2 =C；C23C74 = 35P X=3, Y=0 =C33C22C74-35P X=3, Y=1 =C33c22C74-35P X=3, Y=2 =0'k(6 xy),0<x<2,2<y<45.

4、三设随机变量(X, Y)概率密度为f(x,y)= 、0,其它(1)确定常数 ko (2)求 P X<1, Y<3(3)求 P (X<1.5(4)求 P (X+Y<4分析：利用P ( X, Y) CG二j7f(x, y)dxdy= 117 f (x, y)dx dy再化为累次积分，其GG -Do0 <x <2 中 Do=(x, y)22<y<4j二二2 11解：(1) 1 = f f(x, y)dxdy =f k(6-x - y)dydx , k= 0 - 28P(X ;1,Y ：二3)二313dx 2g(6 - x -y)dy =w(3)P(X

5、-1,5) = P(X1.54127y » 0 dx 28(6-x-y)dyw24412(4) P(X YE4) = jdx。；(6xy)dy=；6. (1)求第1题中的随机变量(X、Y )的边缘分布律。(2)求第2题中的随机变量(X、Y )的边缘分布律。解：(1)放回抽1¥ (第1题)边缘分布律为X01Y01Pi51P j516666不放回抽样（第1题）0104510666611016666边缘分布为X01Y01Pi51P j516666解：X的边缘分布律X 012r 13a8887.五设二维随机变量(X4.8y(2 -x)f (x, y)= 0解：f x (x) = f

6、f (x, y)dy =-ho.fY(y) = LJ (x, y)dx=Z108.六设二维随机变量(XY的边缘分布律3Y13工P j2888Y)的概率密度为0<x<1,0<y<x求边缘概率密度.其它xo4.8y(2 -x)dy =2.4x2(2 -x)0 <x <1:« 00其它19f 4.8y(2-x)dx = 2.4y(3-4y + y2) 0< y <1 y)其它Y)的概率密度为33_y -e ,0 < x ：；： y，、 求边缘概率密度。f (x,y) = *0,其它.解:fX (x)=亡f (x, y)dy =0,*be

7、fy(y)i-f (x, y)dx =459.七设二维随机变量（X，Y）的概率密度为21c= c 二421X fx(x) = <J1 21 2 “2 x ydy =x 42180,Y fY (y)=-y21d2ydx=7:20,y <0,22cx y, x _ y _ 1 f(x, y)=0,其它（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。'-二,-二11y o10c解：l= f(x,y)dxdy= dy cx ydx =c y2 dy0 315 .第1题中的随机变量 X和Y是否相互独立。解：放回抽样的情况在放回抽样的情况下,P X=0，Y=0 =P X=0, Y=1 =P

8、X=1, Y=0 =P X=1, Y=1 =P X=0 -P Y=0 =16P X= 0P Y=1=P X=1P Y=0=P X=1P Y=1=X和Y是独立的363636不放回抽样的情况:P X=0, Y=0 =10945121166105P X=0=-126,、,、,、10P X= 0= P X= 0, Y=0 + P Y=0, X= 1 = 125525P X=0 P Y=0 = c %6636P X=0, Y=0 WP X= 0P Y=0X和Y不独立X在（0, 1）上服从均匀分布。Y16 .十四设X, Y是两个相互独立的随机变量,的概率密度为fY(y)= 2e刈y 0.0,y <0

9、.(1)求X和丫的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。解：（1）X的概率密度为fx（x）=Z xW(0,1)0,其它Y的概率密度为1 fY(y) =<2e_y2 ,y >0且知X, 丫相互独立,0, y <0.x是（X, Y）的联合密度为f(x,y)=fX (x)fY(y)=1Jye 2200 :： x ：二 1, y 0其它（2）由于a有实跟根，从而判别式1 x2工=- 0 dx 0 de 2 = 1 -x2e 2 dx22.即：Y WX记 D =(x, y) |0<x<1,0< y <x 1 x，1 -P(Y

10、 MX ) = f(x,y)dxdy = 0dx0 -e 2dy D210 -= 1-2e 2 dx =1 - 2：(：，-中(2) =1 - 2二(0.8413-0.5)2 0= 1 -2.5066312 0.3413=1 -0.8555 = 0.144519.十八设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为%，, t>0f(t)=<| 0 t _ 0并设各周的需要量是相互独立的，试求(1)两周(2)三周的需要量的概率密度。解：(1)设第一周需要量为 X,它是随机变量设第二周需要量为Y,它是随机变量且为同分布，其分布密度为-t-te , t 0f(t) =0 t _0Z=X

11、+Y表示两周需要的商品量，由X和丫的独立性可知:、 jxe f(x, y)=-xyex 0, y 0其它z>0当z<0时，fz=0当z>0时，由和的概率公式知fz(z) = ：Pfx(z-y) fy(y)dy3=：(z-y)e4y) ye'y =ge"z 0z -03z T一、 efz(z) = < 6,0z3(2)设z表示前两周需要量，其概率密度为fz(z)=6"e , z>00 z<0设E表示第三周需要量，其概率密度为：xe-x,x 0”(x) = d0 x <0z与七相互独立=z + E表布前三周需要量贝U：r >

12、;0,.当 u<0,。(u) = 0当u> 0时3(U)= f -f (u -y)”(y)dy* qou 13 -(u -y)y=0 6(u -y) e ye dy5= -u- e120所以Y的概率密度为f, (u) =1120 0_u eu 0u <02 、22.二十二设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 20 )分布。随机地选取 4只求其中没有一只寿命小于 180小时的概率。解：设Xi, X2, X3, X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为:2(t 460)2(t)： 1e-k避式20fX < 180 = FX(180)

13、-1-1. 2 二 20180(t -160)二二 2 202人 t-160 _2y _u 11 -180 -60201 e 2du = ：，(180 60).2 二二20查表c c/c=0.8413设N=minX1, X2, X3, X4P N>180= P X1>180, X2>180, X3>180, X4>180=P X>1804=1 pX<180 4= (0.1587) 4=0.0006327.二十八设随机变量(X, Y)的分布律为X012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820

14、.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1)求 P X=2|Y= 2, P Y=3| X= 0(2)求 V=max (X, Y )的分布律(3)求U = min (X, Y )的分布律解：（1）由条件概率公式P X=2|Y= 2=PX =2,Y =2PY =20.050.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.08=0:05_ 0.25= 0.2同理 P Y=3|X= 0= 13(2)变量 V=maxX, Y 显然V是一随机变量，其取值为V: 0 1 2 3 4 5P V= 0=P X=0 Y= 0=0P V= 1=P X=1

15、 , Y= 0+ P X= 1, Y=1+ P X=0, Y=1=0.01+0.02+0.01=0.04P V= 2=P X=2, Y= 0+ P X=2, Y=1+ P X=2, Y=2+ P Y=2, X= 0+ P Y=2, X=1=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16Y=2+ P X=3, Y=3P V= 3=P X=3, Y= 0+ P X= 3, Y=1+ P X=3,+ P Y=3, X= 0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X= 2=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P V= 4=P X=4, Y= 0+

16、 P X=4, Y=1+ P X=4, Y=2+ P X=4, Y=3 =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V= 5=P X=5, Y= 0+ + P X= 5, Y= 3 =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28(3)显然U的取值为0, 1, 2, 3P U= 0= P X=0, Y= 0+ P X= 0, Y= 3+ PY=0, X=1+ + P Y=0, X= 5=0.28同理 P U=1=0.30 P U= 2=0.25 P U= 3=0.17 或缩写成表格形式(2) V 012345Pk00.04 0.16 0.28 0.24 0.28(3) U0123P

17、k0.280.300.250.17(4) W=V+U显然 W的取值为 0, 1 ,8P W=0= P V=0 U =0=0PW=1= PV=0, U=1+ P V=1U=0V=max X, Y=0 X U=min X, Y=1 不可能上式中的 P V=0 , U=1=0 ,又P V=1 U= 0=PX=1 Y=0+ P X= 0 Y=1=0.2故P W=1= PV=0, U=1+ PV=1 , U=0=0.2P W=2= PV+U= 2= P V=2, U=0+ P V=1 , U=1=P X=2 Y=0+ PX= 0 Y=2+ PX=1 Y=1=0.03+0.01+0.02=0.06P W=

18、3= PV+U= 3= P V=3, U=0+ P V=2, U=1=PX=3 Y=0+ PX=0, Y=3+ PX=2, Y=1+ PX=1, Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13P W=4= PV=4, U=0+ P V=3 , U=1+ PV=2, U=2=PX=4 Y=0+ PX=3, Y=1+ PX=1 , Y=3+ PX=2, Y=2 =0.19PW=5= PV+U= 5=PV=5, U=0+ PV=5, U=1 + PV=3, U=2 = PX=5 Y=0+ PX=5, Y=1 + PX=3, Y=2+ PX=2, Y= 3 =0.24PW=6= PV+U= 6=PV=5, U=1+ P V=4, U=2 + PV=3, U=3 = PX=5, Y=1+ PX=4, Y=2 + PX=3, Y=3 =0.19P W=7= PV+U= 7= P V