在中有多少个不同的整数

1、台北市立建國高級中學第七十四期通訊解題 解答與評析 , 1解方程式 xy -1 Z - 2 = (x y z)2【解答】(sol):令.x = a, . y -1 = b, . z -2 = c且. x - Jy -1 - Jz -2 = M (M 0)則 a b c = M2 2 2a b c 二 x y z-3 = 2M-32 2 2a b c a b c2 2M3 M-( ) ()333設S2但S232-M_2m_(M-i)o9332 2 2 2 2 2 a b c ,a b c、2 (a_b) (b_c) (c_a) °9- s2= a = b= c=1【評析】本次共有24人

2、參加解答，其中有19人答對，答對率為79%。把本題做適當的 變數變換，就可得到簡單的關係式，再由乘法公式進而求出解。中和國中2年14班 梁子慶同學有別於其他同學的解法，他是利用柯西不等式求出解來，非 常值得鼓勵。沿河城市A運貨到另一地點B, B到河岸的最短距離ABC二5公里，Ac二7公里，公路運費是水路運費的"n倍（n是大於1的實數），欲從B點修一條公路到 河岸點D處，使由A經水路至D處，再由D處經公 路至B點的總運費最小，則U DC是多少公里？【解答】方法一 設每公里水路運費為t元，DC = x,則由A到B的總運費為7-x令 k= x+ n、x225 >02 2 2則(k+

3、x) = n (x + 25)即(n2 1员2kx+ 25n2 k2 = 0T xR2 2 2 2 4k 4(n 1)( 25n k) - 0解得 k _5； n2 -1-x2+25=成立二x= 5DC = 一5 時，運費最小n -12-1Jn2-1方法二：利用高中數學微分的方法設每公里水路運費為t元，DC = x,則由A到B的總運費為(7 x)t+ nt 、x2 25 = ( x+ n . x2 25 )t + 7t令 f(x) = x+ n、x225f (x) = 1 +nx. x225(n2 -1)x2 - 25、x2 25(nx 、x225)x05Jn2 Tf (x)一+f(x).(x

4、) 0 U X=二 2, x> 055xDC ,-時，運費最小n 1n 1方法三台北縣中和國中 梁子慶的作法1.設 DC x (km), AD 7 x ,每公里水路運費為k元， 則由A到B的總運費為BD 、x225ky (7 x)k+ nk、x2252. 由題意求當n . x2 25 x極小時x的值 作圖分析AE pe ACE7 PQE : AT 阮匚 PQ = X，PF = n x2 25PR PQ （Q、R重合時等號成立）PF PQ _PF PR= n x225 x_ FR3. 過F作BC之垂直線，交BC於R；交AE於P/ PF _ BC FR為F點至BC的（最短）距離。=當動點P於

5、P時，FR有最小值F Rn、x2 25 x _FR _FRn . x2 25 x的最小值為FR4. v PRE PEFxnxn、x2 25xn=x=5,n2 -1運費最小【評析】1. 數學上常利用高中微分的方法來處理極大值、極小值的問題，如方法二；而 此題卻可以利用實係數一元二次方程式有實根 =判別式_ 0的性質來 解決，如方法一；台北縣中和國中梁子慶同學的作法，利用構造法得到總運 費最小時的條件。2. 國中的基礎數學也可以解決微分的問題，也是很有力的方法。同學從這一題 的這些方法都可以學習到重要的數學理論與性質。3. 本題參與徵答的同學只有一位同學，台北縣中和國中梁子慶。梁同學採用方 法二和

6、方法三，兩份作答均為7分。如圖，以 ABC的一邊BC為直徑作圓，分別交 AB、 AC所在的直線於點E、F，過點E、F分別作圓的切 線交於一點p ,直線Ap與BF交於一點d， 證明：D、C、E三點共線。【解答】證明：方法一 作 EF、EC、CD，貝U/ PEF=/ PFE=/ EBF AF _BF， / BAF= 900- Z EBF= 90°/ PEF = 1 / EPF2以P為圓心，PE為半徑作圓，交直線BA於點A，1則 Z EAF = Z EPF =Z BAFBFD2故 A、A共點，二 PA = PE且 / FAE+ / ABC= / PEA+ / PEC= 90°得B

7、C_AP，因此C是厶ABD的垂心， 又CE_AB，則D、C、E三點共線。方法二台北縣中和國中梁子慶的作法解析幾何的方法1. 不妨設 B(- 1,0)，C(1,0),=BC在x軸上，BC為直徑的圓為X2 + y2= 1,圓心為0(0,0)， 設 E(a,b)，F(c,d), E、F 在圓 O 上2 2 2 2a2+ b2= 1，c2 + d2= 1 2 2 2 2=b = 1-a，d = 1-c (*)2. 兩切線EP : ax+ by= 1FP : cx+ dy= 1: -bBE:y= = (x+1)3. 解 一ad1，又由(*)式CF:y=(x-1)L_C 一1得其交點A的x坐標，xacbd

8、a +c4. 解叵亠讪“，又由(*)式、FP : ex +dy =11 + ac bd得點其交P的x坐標，X二1 ac bda +c5. 由3和4得知A、P兩點皆在鉛直線x J ac "d上，又BC在x軸上,a +c因此AP _ BC6. v BC 為直徑 二 AF _ BD，CE AB AP_BC，AF _ BD，AF、BC 交於 C 點 / C 點為 ABD 的垂心。又C_AB，則D、C、E三點共線【評析】1. 方法一利用作輔助線、弦切角等於圓周角和三高交於一點（垂心）的幾何 性質來得到證明。2. 方法二利用解析幾何的方法，利用代數，求出切線方程式，兩線交點， 三高交於一點（垂心

9、）的性質來得證。3. 解析幾何是一個有力的數學方法，同學的代數能力也很強，常用這個方法來 解題。建議同學也要多學習利用幾何性質的方法來解題，以使自己的數學能 力更上層樓。4. 本題參與徵答人數有3人，分數如下：得7分者，2人：台北縣中和國中梁子慶台北市敦化國中呂彥德得1分者，1人：基隆市銘傳國中簡家蓁此圓於D點。若BE f 3、GD =3，試求 GB 二？已知G為. ABC的重心，CA二CB,有一圓通過G、A兩點且與GB相切，AB與此圓交於E點，CG的延長線交【解答】 【詳解】（1）在AG的延長線上取一點 F，使AG二GF在CG的延長線上取一點 H，使CG二GH連接 AD、CF、AH、HB因為

10、G為ABC的重心，所以CFBG與AGBH為平行四邊 形（3）. DCF =/DGB （因為 CF/GB）= /DAF (因為GB與圓相切於G點)因此A、D、C、F四點共圓所以根據圓的內幕性質可得：Gd GC = AG Gf2H gF =GC =三G- = Gb （因為CA = CB且G為 ABC的重心，所以AG = GB） AD GD因為GB與圓相切於G點，2 所以根據圓的外幕性質可得： AB 匪=GB2 = AB二BE因為AGBH為平行四邊形，所以 AB GH = 2(AG GB 4GB2 2 2= AB GC 4GB（因為 GH =GC 且 AG =GB ）/2它/2GBGB2區丿+=4G

11、B(6)將(3)、(4)代入(5):GB GB += 4BE GD2=GB44c9 11 11 r i BE2 G2（23"【評析】 本題關鍵在於一些常見的幾何性質，例如圓內接四邊形、圓的內幕與外幕定理 另外對於輔助線的作法並不唯一，是很好的幾何訓練題。於從徵答的5位同學中，所使用的輔助線與方法均異，均能搭配很好的代數方法 解之，亦能詳細說明整個過程，表達能力都很不錯，均具備良好的幾何觀察與證 明能力，相當具水準。其中台北市敦化國中呂彥德同學將幾何圖形座標化，再搭 配代數解之，過程相當完整，但建議多嘗試使用幾何的方法，將有助於進一步提 升數學的幾何能力。徵答人數共5人:7分：台北市民生國中嚴格、台北市民生國中張育僑、台北市復興國中陳律廷、 台北市敦化國中呂彥德、台北縣中和國中梁子慶74051一）,試求S2009的值?an1已知數列an中，ai =1,前n項的和Sn二仗“【解答】1 1因為 Sn = 2 （Sn _ Sn J ' S S ）2Sn _ Sn 二1 2 所以 Sn（Sn-SnJ 二（3 - Sn）1）21 2即 2Sn（Sn-Sn）-（6-乩）-122 n -11=snL解上述二次方程式可得1 = Sn -S；-S仁 s； - s2將上述各式相加得n -1二