2021年江苏高考数学二轮讲义：专题七第1讲空间向量与立体几何

1、2019 考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171 .证明平行或垂直江办咼考对本节知识的考查是解答题，一般在试卷第 22 题位置，以多面体 （特别是棱柱、棱锥或其组合体）为载体， 考查空间中平行与垂直的证明、空间角 的计算.2.求空间角第 22 题第 22 题喪点整合O夯基释铤1.异面直线所成的角的求法设两条异面直线 a, b 的方向向量为 a, b,其夹角为则 cos $= |cos 0|=其中$为 laIPI异面直线 a, b 所成的角）.2.直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 I 的方向向量为 e,平面a的法向量为 n,直线 I 与平面a所成的角为（）,3.二面角的

2、求法 （1）如图 1 ,AB、CD 是二面角a-l-B的两个面内与棱 I 垂直的直线，则二面角的大小0=AB,CD.两向量 e 与 n 的夹角为團3iiI)导学导练间直角坐标系 A-xyz,令 AB = AAi= 4,则 A(0, 0, 0), E(0, 4, 2), F(2, 2, 0), Bi(4 , 0, 4),D(2, 0, 2), Ai(0, 0, 4).(1)DE = (-2, 4, 0),平面 ABC 的法向量为 AAi= (0, 0, 4),如图 2、3, ni, n2分别是二面角a-l-B的两个半平面a,B的法向量，则二面角的大小0= _=|AuB|AC1|(；3, 1, ;

3、3) (3,1,3)1因此二面角 B A1D A 的正弦值为专题强化O精练提能从而 cos 因为茨0,n,所以sin0=；1cos* 1 230=1. (2019 姜堰中学开学检测)如图，PA 丄平面 ABCD , AD II BC,/ ABC = 90, AB = BC=FA= 1 , AD = 3, E 是 PB 的中点.求证：AE 丄平面 FBC;求二面角 B-FC-D 的余弦值.解(1)证明：分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向；建立如图所示的平面直角坐标系;则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0 , 3 , 0) ,

4、 F(0 , 0 , 1) , E*,0,1,所以AE= 2, 0 ,1, BC = (0 , 1 , 0), BP = (- 1 , 0 , 1).因为AE BC= 0 ,AEBP= 0,所以 AE 丄BC, AE 丄 BP ,即AE丄BC,AE丄BP,而 BC、BP?平面 PBC ,且 BCnBP= B ,所以 AE 丄平面 PBC.(2)设平面 PCD 的法向量为 n= (x , y , z),而 CD = ( 1 , 2 , 0) , PD = (0 , 3, 1),TT11又由(1)AE 丄平面 PBC ,所以 AE 是平面 PBC 的法向量，而 AE= - , 0 , 2 则由n

5、CD = 0 ,n PD = 0 x + 2y= 0 ,3y z= 0 x= 2y ,取 y= 1 , x= 2 , z= 3,即 n= (2 , 1 , 3). z=3y.4所以 cos AE , n AE n|AE| |n|5,714 ,1 + 0 +1则 B(i , 0, 0), A(0,.3, 0),Ai(0,3, 6), M 0, 0 ,丐.所以 AB = (i , - . 3, .6),AM = 0, .3 , 2.因为 A AM = iX0+ ( .3)X( .3)+ (. 6)X= 0,所以 AiB 丄 AM .因为 ABC-AiBiCi是直三棱柱，所以 CCi丄平面 ABC,

6、又 BC?平面 ABC,所以 CCi丄 BC.即 AE 与 n 的夹角的余弦值为5,74 -故由图形可知，面角 B-PC-D 的余弦值为一5,7-2 . (2019 盐城中学期末检测)如图，在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，/ ACB = 90 30,BC = 1, AiA= ,；6, M 是 CCi的中点.，/ BAC =(1)求证：AiB 丄 AM;(2)求二面角 B-AM-C 的平面角的大小.解(i)证明：以点 C 为原点，CB, CA, CCi所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示，因为/ ACB = 90 即 BC 丄 AC,所以 BC 丄平面 AC

7、Ci,即 BC 丄平面 AMC .所以 CB 是平面 AMC 的一个法向量，CB = (1 , 0, 0).设 n = (x, y, z)是平面 BAM 的一个法向量，BA= (- 1 , . 3, 0), BM = 1, 0, .nBA = 0,x+；3y=0，由T得二 6n BM = 0,x+2z=0.令 z = 2,得 x= .6, y=;2,所以 n = (.6,2, 2).因为 |CB|= 1, |n |= 2 .3,因此二面角 B-AM -C 的大小为 453.(2019 苏锡常镇四市高三调研)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1= AB = 2AD = 2, 点E

8、 是 AB 的中点，F 为 D1E 上的一点，D1F = 2FE.Dj_4AIA n(1)证明：平面 DFC 丄平面 D1EC;求二面角 A-DF-C 的大小.解证明：以 D 为原点，分别以 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1, 0, 0), B(1 , 2, 0), C(0, 2, 0), D1(0, 0 , 2).Djt#1Wi琥.L，方匚二:WE因为 E 为 AB 的中点，所以 cos CB, n CB n 2乔=T所以 E(1 , 1 , 0).因为 DiF = 2FE,严 2 f 22 24所以 DiF= DiE= 3(1 ,

9、 1, 2) = 3，3， 3，224222DF = DDi+ DiF = (0 , 0, 2) + 3, 3, 3 = 3，3，3 nDF= 0, 设 n = (x, y, z)是平面 DFC 的法向量，贝 Ufn DC = 0,2 2 23x+ 3V + 3z= 0,所以3332y= 0,取 x= i,得平面 DFC 的一个法向量为 n= (i, 0, i).设 p = (xi, yi, zi)是平面 DiEC 的法向量，取 y)= i,得平面 ADF 的一个法向量为 q= (0, i, i),设二面角 A-DF -C 的平面角为0,由题知 氏(90 I80 ,n q 0 + 0 + i

10、i 则cos0=|n|q| =2x, 2=2所以二面角 A-DF-C 的大小为 I20 .p DiF = 0,则所以p DiC= 0,2 23xi+ 3yi43zi=0,2yi 2zi= 0,取 yi= i,得平面DiEC的一个法向量为 p=(i, i ,设 q= (x, y, z)是平面 ADF 的法向量,q DF = 0,则f所以q DA = 0,2,2,2,3x+3y+ =0,x=,4. (2019 苏州调研)如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB = AAi= 1, E 为 BC 中点.求证：C1D 丄 D1E;(2)在棱 AA1上是否存在一点 M，使得 BM /平面 AD

11、1E ?若存在，求 A，的值，若不存在，说明理由;若二面角 B1 AE D1的大小为 90,求 AD 的长.解证明： 以 D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 0,0), A(a, 0, 0), B(a, 1, 0), B1(a, 1, 1) , C1(0 , 1, 1),所以 C1D = (0 , 1, 1),aD1E= 2, 1, 1 ,所以 CDDTE=0,所以 C1D 丄 D1E.设 AA；=h,则 M(a , 0 , h),所以 BM = (0 , 1 , h) , AE= 2 , 1, 0 , AD1= ( a , 0 ,1),设平面 AD1E 的法向量为 n= (x , y

12、 , z),TaAE n = 2x+ y= 0 则AD1n = ax+ z= 0所以平面 AD1E 的一个法向量为 n = (2 , a , 2a),因为 BM /平面 AD1E ,所以 BM 丄 n ,即 BM n = 2ah a= 0,所以 h = .即在 AA1上存在D xyz,设 AD = a,贝 U D(0,a “ 小D1(0 , 0 , 1) , E 2 ,1,0,AM 1点 M ,使得 BM /平面ADIE,此时 AA = 2-1, 1),f a /AE m = 2x + y = 0 则ABIm = y+Z=0所以平面BIAE的一个法向量为 m= (2, a, a).因为二面角 Bi AE DI的大小为 90 所以 m丄n,所以 m = 4 + a2 2a2= 0,因为 a0,所以 a = 2,即 AD = 2.7=-7.1 因此异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值为 7-平面 A1DA 的一个法向量为 AE= ( .3, 0, 0).设 m = (x, y, z)为平面 BA1D 的一个法向量，又 AiB=( ,3, 1, .3),BD=(.；3,3,0),m A1B= 0,3