等差数列及性质

1、等差数列及性质一、知识梳理：1等差数列的定义(1)前提条件：从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数(2)结论：这个数列是等差数列(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示2等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列(2)结论：A叫做a，b的等差中项(3)满足的关系式：2Aab3等差数列的通项公式递推公式通项公式an1and(nN*)ana1(n1)d(nN*)4等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广ana1(n1)d (揭示首末两项的关系)anam(nm)d(揭示任意两项之间的关系)5.等差数列的性质(1)an是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m

2、npq，则：amanapaq. 特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，aman2ak.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN*)是公差为2d的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列 （5）等差数列的图象由andn(a1d)，可知其图像是直线 上的一些等间隔的点，其中 是该直线的斜率 (6)等差

3、数列的单调性：对于andn(a1d)，(1)当d0时，an为 ； (2)当d0时，an为 ； (3)当d0时，an为 二、题型探究：探究一：等差数列的通项公式及其应用例1(1)已知等差数列an：3，7，11，15，.135，4m19(mN*)是an中的项吗？试说明理由若ap，aq(p，qN*)是数列an中的项，则2ap3aq是数列an中的项吗？并说明你的理由(2)在等差数列an中，已知a510，a1231，则首项a1_，公差d_1(1)若数列an为等差数列，apq，aqp(pq)，则apq_ (2)已知等差数列an中，a1533，a61217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？

4、探究二：等差数列的判定例2(1)已知函数f(x)，数列xn的通项由xnf(xn1)(n2且xN*)确定求证：是等差数列；当x1时，求x2 015.(2)已知，成等差数列，证明：a2，b2，c2也成等差数列等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an为等差数列；(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列；(3)通项公式法：ananb(a，b是常数，nN*)an为等差数列但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法2(1)判断下列数列是否为等差数列：在数列an中an3n2； 在数列an中ann2n. (2)已知cn则数列cn_等差数

5、列(填“是”或“不是”) (3)已知数列an满足a12，an1，则数列是否为等差数列？说明理由.探究三：等差中项的应用例3一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数 互动探究若将题中的三个数改为四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解方法二：采用对称的设法，三个数时，设为ad，a，ad；四个数时，可设为a3d，ad，ad，a3d.3(1)方程x26x10的两根的等差中项为()A1 B2 C3 D4 (2)已知单调

6、递增的等差数列an的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列an的通项公式探究四：等差数列性质的应用例4在等差数列an中：(1)若a5a，a10b，求a15；(2)若a3a8m，求a5a6. (3)若a1a2a530，a6a7a1080，求a11a12a15.(1)利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法(2)巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程4(1)已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()Aa1a101>0Ba2a101<0Ca3a990 Da5151 (2)若xy，且两个数列x，a1，a2

7、，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于()A1 B. C. D.探究五：等差数列的综合问题例5在公差不为零的等差数列an中，a1，a2为方程x2a3xa40的根，求数列an的通项公式. 例6在数列an中，a11，3anan1anan10(n2，nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若an对任意n2的整数恒成立，求实数的取值范围5(1)数列an中，a11，a2，且，则an_ (2)已知数列an满足(an1an)(an1an)16，且a11，an>0. 求证：数列a为等差数列； 求an.易错警示由数列通项确定n(或d)中的误区例7已知等差数列an

8、的首项为a1，公差为d，且a1126，a5154，求a14的值你能判断该数列从第几项开始为正数吗？解由等差数列通项公式ana1(n1)d，列方程组解得a144613×220.an46(n1)×22n48.令an0，得2n480n24，从第25项开始，各项为正数 错因与防范(1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n24也满足条件(2)由通项公式计算时，易把公式写成ana1nd，导致结果错误(3)等差数列通项公式中有a1，an，n，d四个量，知三求一，一定要准确应用公式7(1)首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是_ (2)一个等差数列的首项

9、为，公差d0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围规范解答等差数列的公共项问题例8(本题满分12分)两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，那么它们共有多少相同的项？解设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为cn，c111.2分又等差数列5，8，11，的通项公式为an3n2，4分等差数列3，7，11，的通项公式为bn4n1.6分所以数列cn为等差数列，且公差d12，8分所以cn11(n1)×1212n1.10分又a100302，b100399，cn12n1302，得n25，可见已知两数列共有25个相同的项.12分规范与警示(1)解题过程中处易出现令3n24n1

10、，解得n3的错误，这实际上是混淆了两个n的取值而导致的错误，也是常犯错误，解题过程中处易出现cn12n1399，导致错误这是对题意不理解造成的，两个数列的公共项应以较小的为基准求解(2)在解决数列的问题时弄清公式中各量的含义，不同的数列中同一量的意义是相同的，但是并不一定对应如本例中项数n在数列an和数列bn中的意义，当项相同时，对应的序号n不一定相同巩固练习：1(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是()A若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差

11、数列D若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列2已知xy，且两个数列x，a1，a2，am，y与x，b1，b2，bn，y各自都成等差数列，则等于()A. B. C. D.3(2014·高考重庆卷)在等差数列an中，a12，a3a510，则a7()A5 B8 C10 D144设an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37()A0 B37 C100 D375(2014·高考辽宁卷)设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列，则()Ad<0 Bd>0 Ca1d<0 Da1d>06(2015·泰安

12、高二检测)在等差数列an中，a3，a10是方程x23x50的根，则a5a8_7(2015·河北省石家庄市月考)在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为_8已知数列an满足a11，若点在直线xy10上，则an_9已知ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_10在等差数列an中，(1)已知a51，a82，求a1与d；(2)已知a1a612，a47，求a9.11数列an为等差数列，bn，又已知b1b2b3，b1b2b3，求an的通项公式12已知数列an满足a14，an4(n>1)，记bn.(1)求证：数列

13、bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式备选：九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为_升巩固练习答案：1.解析：选C.因为a，b，c成等差数列，则2bac，所以2b4ac4，即2(b2)(a2)(c2)，所以a2，b2，c2成等差数列2.解析：选D.设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2a1d1，b2b1d2.第一个数列共(m2)项，d1；第二个数列共(n2)项，d2.这样可求出.3.解析：选B.法一：设等差数列的公差为d，则a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.法

14、二：由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.4.解析：选C.设cnanbn，由于an，bn都是等差数列，则cn也是等差数列，且c1a1b12575100，c2a2b2100，cn的公差dc2c10. c37100，即a37b37100.5.解析：选C.设bn2a1an，则bn12a1an1，由于2a1an是递减数列，则bn>bn1，即2a1an>2a1an1.y2x是单调增函数，a1an>a1an1，a1ana1(and)>0，a1(anand)>0，即a1(d)>0，a1d<0.6.解析：由已知得a3a103.又数列an为等差

15、数列，a5a8a3a103.答案：37.解析：由等差数列的性质可知，a3a5a7a9a11(a3a11)(a5a9)a75a7100，a720.3a9a132a9a9a13(a5a13)a9a13a5a92a740.答案：408.解析：由题设可得10，即1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式n，所以ann2.答案：n29.解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x4，x，x4.由一个内角为120°，知其必是最长边x4所对的角由余弦定理得，(x4)2x2(x4)22x(x4)·cos 120°，2x220x0，x0(舍去)或x10，SABC×(104)×10×sin 120°15.答案：1510.解：(1)a51，a82，解得.(2)设数列an的公差为d.由已知得，解得.an1(n1)×22n1，a92×9117.11.解：b1b2b3，b1b2b3，a1a2a33.a1，a2，a3成等差数列，可设a1a2d，a3a2d，a21.由，得2d2d，解得d2或d2.当d2时，a11d1，an12(n1)2n3；当d2时，a11d3，an32