九年级上册特殊的平行四边形专项提高练习难度中等

1、特殊的平行四边形 1. 学概念：抓“限制”，画树图2. 学性质：抓“特性”，识共性由于矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，所以它们具有平行四边形的一切性质（即共性），除此之外，还具有自己的特性.矩形的特性菱形的特性由于正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的一切性质：正方形的特性 3. 学判定：抓“起点”，凑条件（1）矩形的判定方法：条件结论有一个角是直角的平行四边形（是）矩形对角线相等有三个角是直角的四边形（2）菱形的判定方法：条件结论有一组邻边相等的平行四边形（是）菱形对角线互相垂直四条边都相等的四边形对角线互相垂直平分（3）正方形的判定方法：条件结论有一组邻边相等的矩形

2、（是）正方形对角线互相垂直有一个角是直角的菱形对角线相等有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形对角线相等，且互相垂直四条边都相等，且四个角都相等的四边形对角线相等且互相垂直平分矩形、菱形、正方形的“掌中宝典”矩形菱形正方形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形性质定理四个角都是直角；对角线相等；矩形是轴对称图形.四条边都相等；对角线互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形.四条边都相等；四个角都相等；对角线相等；对角线互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角；正方形是轴对称图形.判定

3、定理（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形.判定定理的表述句型：具有什么特殊性质的某大类图形，是这类图形.典例分类剖析（矩形）如图所示，延长矩形的边CB至E，使CECA，F是AE的中点，求证：BFFD. 分析：由ABE90°

4、，F为AE中点，得BFAEAF，易证ADFBCF，有AFDBFC，又CACE，所以CFAE，即可证得BFFD. 证明：因为四边形ABCD是矩形，所以DABABC90°，ADBC，因为F是AE的中点，所以BFAEAF，所以BAFABF，所以DAFCBF. 在ADF和BCF中，ADBC，DAFCBF，AFBF. 所以ADFBCF，所以AFDCFB，又CACE，AFBF，所以CFAE，所以AFDDFC90°，CFBDFC90°，所以BFFD. 评析：已知条件中有直角三角形斜边中点，要考虑运用直角三角形斜边中线等于斜边一半构成等腰三角形求解或证明. （菱形）例. 已知菱形

5、的周长为40cm，两条对角线之比为34，求菱形的面积分析：如图所示，由菱形的性质可得OAB是直角三角形，它的两条直角边之比等于菱形的两条对角线之比，再由勾股定理列方程求解解：因为菱形ABCD的周长是40cm，所以AB10cm因为OAAC，OBBD，ACBD43，所以OAOB43设OA4x，OB3x，由勾股定理，得（4x）2（3x）2102，解得x2那么OA8，OB6所以AC16，BD12， S菱形ABCDAC·BD×16×1296cm2评析：由四边形的两条对角线和一边组成的三角形（如图中OAB）是我们经常考查的对象特殊的四边形对应特殊的三角形矩形、菱形、正方形对应

6、的三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形掌握这一点，对于解决四边形的问题是大有益处的（正方形）例. 如图所示，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，菱形AEFC，EHAC，垂足为H，求证：EHFC. 分析：要证EHFC，EH在矩形OBEH中，得EHOBBD，而FC是菱形AEFC的边，CFACBD，所以EHFC，问题的关键是要证四边形OBEH是矩形. 证明：由正方形ABCD得ACBD，ACBD，BOC90°. 又因为EHAC，所以EHOB. 又因为四边形AEFC是菱形，得ACCF，ACEF，所以OHBE. 因此四边形OBEH是矩形，因此EHOBBDACFC. 评析：综

7、合考查了正方形、菱形的性质和矩形的判定方法. 【解题方法指导】 例1. 已知：ABC中，AB=AC，M为BC的中点，MGAB，MDAC，GFAC，DEAB，垂足分别为G、D、F、E，GF、DE相交于H.试判断四边形HGMD的形状，并证明你的结论. 解：如图所示，MGAB，DEAB MG/DE 同理MD/GF 四边形HGMD为平行四边形又AB=AC，M为BC的中点， B=C，BM=CM MG=MD 四边形HGMD是菱形. 例2. 在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点.求证：EFGH. 证明：如图所示，连结EG、GF、FH、HE. 在ABD中，E、G分别

8、为AD、BD的中点，EG/AB，（三角形中位线定理）同理HF/AB， EG/HF，EG=HF 四边形EGFH是平行四边形. EG=GF，平行四边形EGFH是菱形. EFGH（菱形的对角线互相垂直）.注意：画图时，不要把一般四边形ABCD画成特殊四边形.例3. 已知两边长为a的正方形ABCD、OKPQ，O为正方形ABCD的中心.求证：不论OKPQ在什么位置，两正方形重叠部分为定值.分析：既然要证明重叠部分面积与OKPQ位置无关，可将OKPQ绕O点旋转至特殊位置，求出定值后再证明其面积与在一般位置时面积相等即可.证明：将正方形OKPQ绕O点旋转至图中正方形OMSH位置，正方形OMSH与正方形ABC

9、D重叠部分为OBC，SOBC=，又OBE=OCF，BOE=90°EOC=COF，OB=OC，即正方形OKPQ与正方形ABCD重叠部分面积为.点评：本例是从事物的联系、变化中探索不变量，找到解决问题的关键，使问题迎刃而解，基本思路是“一般问题特殊化探索解法解决问题”.【考点突破】【典型例题分析】 例1. （2006年海南省中考题）如图所示，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AEDG于E，CF/AE交DG于F，（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AE=FC+EF. （1）证明：四边形ABCD是正方形 AD=DC，ADC=90°

10、又AEDG，CF/AE AED=DFC=90°EAD+ADE=FDC+ADE=90° EAD=FDC （2） DF=DE+EF AE=FC+EF 例2. （2006年山东省青岛市中考题）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG/DB交CB的延长线于G. （1）求证：；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， 1=C，AD=CB，AB=CD点E、F分别是AB、CD的中点，（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形.证明：四边形ABCD是平行四

11、边形，AD/BCAG/BD 四边形AGBD是平行四边形四边形BEDF是菱形 DE=BEAE=BE AE=BE=DE 1=2，3=41+2+3+4=180° 22+23=180° 2+3=90°即ADB=90° 四边形AGBD是矩形. 例3. （2006年贵州省毕节地区中考题）如图所示，四边形OABC与ODEF均为正方形，CF交OA于P，交DA于Q.（1）求证：AD=CF. （2）AD与CF垂直吗？说说你的理由.（3）当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，（1），（2）的结论是否有变化（不需说明理由）.（1）证明：四边形OABC与ODEF均为正方形AO=C

12、O，DO=FO，AOC=DOF=90°DOF+FOA=AOC+FOA即：AOD=COF AD=CF（2）ADCF，理由为： OCF=OADAPQ+OAD=OCF+CPO=90° AQP=90° 即：ADCF（3）当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，（1）（2）的结论不会变化.【综合测试A】一、选择题： 1. 菱形的两条对角线长分别为12和16，则其周长为（ ）A. 20B. 25C. 40D. 60 2. 顺次连接矩形四边中点所成的四边形是（ ）A. 菱形B. 正方形C. 矩形D. 等腰梯形 3. 已知正方形的边长为2a，则它的对角线长是（ ）A. 2aB. C

13、. D. 4. 能够判定一个四边形是矩形的条件是（ ）A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线相等且互相平分D. 对角线互相垂直平分 5. 一个四边形的对角线互相垂直，顺次连结它各边中点所得的四边形是（ ）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形二、填空题： 1. 已知矩形的面积为8cm，一边长为2cm，则矩形的对角线长为_. 2. 若一个正方形的对角线的长为2，则它的面积是_. 3. 菱形两条对角线之比为3：4，周长为20，则面积是_. 4. 菱形是轴对称图形，它的对称轴有_条. 5. 两条对角线_的平行四边形是矩形.三、判断题（正确的在括号内打“”，错误的在括号内打“

14、15;”）（1）一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形.（ ）（2）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形.（ ）（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（ ）（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（ ）（5）等边三角形是中心对称图形.（ ）四、（2006年朝阳区中考模拟题）已知：如图，正方形ABCD和正方形AEFG.请你在图中已标明字母的点中，连结出两条新的相等线段，并证明你的结论.（1）连结_，则_=_；（2）证明：五、（2006年南宁市中考题）将图（1）中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到图（2）中的，除ADC与全等外，你还可以指出哪几对全等

15、的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明.六、已知：如图所示，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，AC上有一点E，过点A作AGEB于G，AG交BD于F.（1）求证：OE=OF；（2）若点E在AC延长线上，AGEB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给以证明；如果不成立，请说明理由.【综合测试B】矩形菱形与正方形www&.zz*%#www%.zzstep.#com一、选择题来源:zzstep.&com%*1. （2015，广西柳州，12，3分）如图，G，E分别是正方形ABCD的边A

16、B，BC的点，且AG=CE，AEEF，AE=EF，现有如下结论：BE=GE；AGEECF；FCD=45°；GBEECH其中，正确的结论有（）A 1个B2个C3个D4个2. （2015，广西钦州，6，3分）如图，要使ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（）来源:#&中教网%中&*%国教育出版网AAC=AD BBA=BC CABC=90° D AC=BDwww.zzs%te&p.co3. （2015，广西玉林，11，3分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折B，D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（

17、）A B2C1.5D4（2015福建龙岩10，4分）如图，菱形ABCD的周长为16，ABC=120°，则AC的长为（）A4B4C2D25（2015湖北十堰，第10题3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且ECF=45°，则CF的长为（）A2B3CD来源:中国教&育出版%网#6（2015丹东，第7题3分）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EFAC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF若AB=，DCF=30°，则EF的长为（） A 2 B 3 C D 7. （2015梧州,第11题3分）如图，在菱形ABC

18、D中，B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（） A 四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 B 四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2www&.#z*% C 四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4 D 四边形ACEF是矩形，它的周长是4+48. （2015贵州省黔东南州,第6题4分）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，则DH=（）来&源:zzs%te*A BC12D24来源:中*国教育出版网%#9. （2015辽宁省朝阳,第题3分）如图，在矩形AB

19、CD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把ABE沿AE折叠，当点B的对应点B落在ADC的角平分线上时，则点B到BC的距离为（）中&国教育出版网*A1或2B2或3C3或4D4或510（4分）（2015黔西南州）（第3题）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（） A 10 B C 6 D 511（2015辽宁抚顺）（第10题，3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形ABCD位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD于点E若AB=3，则AEC的面积为（）A3B1.5C2D二、填空题中国教育*出&#版网1（3分）（2015

20、广东茂名14，3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C重合若AB=3，则CD的长为 2. （2015，广西柳州，18，3分）如图，矩形EFGH内接于ABC，且边FG落在BC上若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为 www.z%#z&step*.com3. （2015，广西钦州，18，3分）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，按此规律，经第

21、n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= 来源%:*中教网&4. （2015，广西玉林，18，3分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 5. （2015，广西河池，18，3分）如图，菱形ABCD的边长为1，直线l经过点C,交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+= .第18题6（4分）（2015广东东莞12，4分）如图，菱形ABCD的边长为6，ABC=60°，则对角线AC的长是 7 （2015内蒙古赤峰1

22、2，3分）如图，M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，分别以AE、BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则ABG是 三角形中%国教*育出版网8（2015广东龙岩16，3分）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有个9（2015丹东，第14题3分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是 来源:zzste#%10. （2015北海,第16题3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上若CAE=15°，则AE

23、= M1（3分）（2015黔西南州）（第13题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件： ，可使它成为菱形来&源%:中教*网#12（2015葫芦岛）（第16题，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是 三、解答题1. （2015贵州省贵阳,第18题8分）如图，在RtABC中，ACB=90°，D为AB的中点，且AECD，CEAB来源:*中国教育出版网&#（1）证明：四边形ADCE是菱形；www.zz&ste*中国#教育*出版网&（2）若B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结