第不定积分的概念和性质学习教案

1、会计学1第不定积分第不定积分(b dn j fn)的概念和性质的概念和性质第一页，共45页。定义3. 1 . 设f (x)在区间(q jin) I 上有定义, 若存在函数 F (x),使得(sh de)任一 xI，都有)()(xfxF,d)()(dxxfxF或则称 F (x) 为f (x)在区间 I 上的一个原函数 . 1. 原函数1(),2 x 12xIx是在 上的称一个原函数;例:x()cos , x sincosxxI是在 上的称sin x一个原函数.在区间I=(-,+ )内，在区间I=(0,+ )内第1页/共45页第二页，共45页。1. 在什么(shn me)条件下, 一个函数的原函数

2、存在 ?2. 若已知某个函数(hnsh)的原函数(hnsh)存在, 如何把它求出 ? 定理1. ,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数第2页/共45页第三页，共45页。,)()(的一个原函数是若xfxF的所有则)(xf原函数都可表示(biosh)为CxF)( C 为任意(rny)常数 ) .证: 1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfxG)()(xfxG又知)()(xfxF )()(xFxG)()(xFxG0)()(xfxf故CxFxG)()()(为任意常数C即第3

3、页/共45页第四页，共45页。)(xf在区间(q jin) I 上的全体原函数称为Ixf在)(上的不定积分(b dn j fn),xxfd)(其中 积分号;)(xf 被积函数;xxfd)( 被积表达式.x 积分变量;)()(xfxFCxF)( C 积分常数 不可丢 !例如,xxd2Cx 2xxdcosCxsin记作定义 . 第4页/共45页第五页，共45页。且其上任一点(y din)处的切线斜率(xil)等于该点横坐标的两倍, 解: xxf2)(xxxfd2)(Cx 2所求曲线过点 (1, 2) ,故有C2121 C因此所求曲线为12 xyyx)2 , 1 (O设此曲线方程为 ( ),yf x

4、求此曲线的方程.第5页/共45页第六页，共45页。)(xf的原函数的图形(txng)称为)(xfxxfd)(的图形(txng)的积分曲线族.)(xf的积分曲线 . 第6页/共45页第七页，共45页。且曲线(qxin)的切线斜率2x,求此曲线(qxin)的方程.分析: xxxfd2)(Cx 2所求曲线过点 (1, 2) ,故有1C因此所求曲线为12 xy曲线方程 ( ),yf x积分曲线族一条积分曲线12 |2xkxyx)2 , 1 (O1第7页/共45页第八页，共45页。)(xfdxxf)(. 3)(xdfxxfd)(d)(xxfdxxfd)(2.xdd或Cxf)()(. 1dxxf)(xf证

5、明(zhngmng)：xxfd)(CxF)()(xf证明(zhngmng)：d)(xxfdd)(xxfdxxxfd)(证明：dxxf)(Cxf)(第8页/共45页第九页，共45页。xxfkd)(. 4xxfkd)(xxgxfd)()(. 5xxgxxfd)(d)()0( k推论(tuln)：注：当k=0时，xxfd)(0C0d)(0 xxf而xxfd)(0 xxfd)(01212( )( )( )( )( )( )nnf xfxfx dxf x dxfx dxfx dx第9页/共45页第十页，共45页。利用逆向(n xin)思维xkd) 1 ( k 为常数(chngsh)Cxk xx d)2(

6、Cx111xxd)3(Cx ln时0 x) 1( )ln()ln(xxx1xxdcos)6(Cxsinxxde)4(Cxexaxd)5(Caaxln积分运算和微分运算是互逆的，可以根据求导公式得出积分公式.第10页/共45页第十一页，共45页。xxdsec)8(2Cxtanxxdsin)7(Cxcosxxdcsc)9(2Cxcotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcsc21d)12(xxCxarctan或Cxcotarc21d)13(xxCxarcsin或Cx cosarc第11页/共45页第十二页，共45页。2245(3 2).sin1xdxxx解: 原

7、式 =2213 2 d45 csc1xxdxxdxx32ln2xC4arcsin x5cot x第12页/共45页第十三页，共45页。.d) 1(23xxx解: 原式 =xxxxxd133223xxxxd)133(2Cdxxdxxdxxdx21133221xx3|ln3xx1第13页/共45页第十四页，共45页。.d) 1(2222xxxxx解: 原式 =xxxxxd) 1() 1(222xxd12xxd112|ln2xCxarctan第14页/共45页第十五页，共45页。223d .1xxx解: 原式 =22333d(1)xxx 3dx213d1xx3x3arctan xC第15页/共45页

8、第十六页，共45页。.d124xxx解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313第16页/共45页第十七页，共45页。.d2cos2xx解: 原式 =xxd2cos1xd21Cxxsin2121xx dcos21例8. 求.dtan2xx解: 原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan第17页/共45页第十八页，共45页。.d2cos2sin122xxx解: 原式 =xxxd)2cos2(sin12xxd)2sin(12xx dcsc42Cxcot4第18页/共45页第十九页，共45页。问题(w

9、nt)cos2xdx sin2,xC 解决(jiju)方法利用(lyng)复合函数，设置中间变量.过程令2tx 1,2dxdtcos2xdxa 1cos2tdt 1sin2tC1sin2.2xC三、换元积分法1. 第一类换元法第19页/共45页第二十页，共45页。xxgxgfd)()()(d)(xguuuf设, )()(ufuF)(xgu 可导,xxgxgfd)()(CxgF)()(d)(xguuuf)()(xguCuF)(dxgFxxgxgfd)()(则有基本思路第20页/共45页第二十一页，共45页。定理(dngl)1.,)(有原函数设uf,)(可导xgu 则有换元公式(gngsh)xxg

10、xgfd)()(uufd)()(xgu )(d)(xgxgf(也称配元法即xxgxgfd)()(, 凑微分(wi fn)法)注 “凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择 是凑微分的关键.观察重点不同，所得结论不同( )ug x .第21页/共45页第二十二页，共45页。例0 求.2sin xdx解（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 同一个积分用不同的方

11、法计算,可能得到表面上不一致(yzh)的结果,但是实际上都表示同一族函数.注第22页/共45页第二十三页，共45页。11d(32 )232xx (32 )x 132x 例 求1d32xx 解132x 1d32xx 11(32 ) d232xxx 11d2uu 1ln |2uC1ln | 32|2xCxu23 12 Cxxx |lnd1对第一换元积分法熟练后,可以不再(b zi)写出中间变量. dxbaxf)( baxuduufa)(1一般(ybn)地第23页/共45页第二十四页，共45页。.23dxex解: 令,23 xu则,d3dxu 故原式 =ueud3131Ceu2331xeC注意(zh

12、 y)换回原变量原式 =2331xeC)3(3123xdex2熟悉(shx)后，可直接凑微分 dxbaxf)( baxuduufa)(1第24页/共45页第二十五页，共45页。.dlnxxxxxlndln解: 原式 =Cx2)(ln21 xxxfd1)(ln )lnd()(lnxxf第25页/共45页第二十六页，共45页。.dtanxx解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似(li s) xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxfdcos)(cos

13、第26页/共45页第二十七页，共45页。1. 不定积分(b dn j fn)的概念 原函数与不定积分(b dn j fn)的定义 不定积分的几何意义 基本积分表 (见P61)3. 直接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质2.不定积分的性质第27页/共45页第二十八页，共45页。常见(chn jin)的凑微分类型有 xbaxfd)( xxbaxfmmd)(1 )(d)()1(111baxbaxfmamm )0()(d)(1abaxbaxfa21dxfxx 11dfxx xxxfd1)(ln )lnd()(lnx

14、xf xeefxxd)()d()(xxeef xxxfd)()d()(2xxf 第28页/共45页第二十九页，共45页。 xxxfdsec)(tan2 xxxfdcsc)(cot2 xxxfd11)(arcsin2 xxxfd11)(arctan2 xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxfdcos)(cos xxftand)(tan xxfcotd)(cot xxfarctand)(arctanCxf )(ln(arcsin )darcsinfxx ( )d( )fxxf x d ( )( )f xf x 第29页/共45页第三十页，共45页。练

15、习题3.1（P69）1，2，3（1）（2）（4）第30页/共45页第三十一页，共45页。1. 证明(zhngmng) xxxx1arctan2)21arccos(),12arcsin(和.12的原函数都是xx2. 若则的原函数是,)(exfx d)(ln2xxfx提示(tsh):xe)(e)(xxfxlne)(lnxfx1Cx 221第31页/共45页第三十二页，共45页。)(xf是xe的原函数 , 则xxxfd)(ln提示(tsh): 已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10第32页/共45页第三十三页，共45页。)(xf;sin1)(x

16、A;sin1)(xB的导函数(hnsh)为,sin x则)(xf的一个(y )原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示(tsh): 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx第33页/共45页第三十四页，共45页。.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示(tsh):)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x第34页/共45页第三十五页，共45页。解：

17、.d1e1e3xxxxxxd1e1e3xxxd1e) 1(e) 1e(e2xxxxxd) 1ee(2Cxxxee212第35页/共45页第三十六页，共45页。22221d1d1xxBxxAxxx求 A , B .解: 等式(dngsh)两边对 x 求导, 得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA第36页/共45页第三十七页，共45页。 伟大(wid)的英国数学家，物理学家, 天文学家和自然科学家。 他在数学(shxu)上的卓越贡献是创立了微积分。1665年他提出正流数 (微分) 术 ，次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一

18、书 (1736年出版)。他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等。第37页/共45页第三十八页，共45页。 Newton受巴罗的“巴罗微分(wi fn)三角形”启发发明微积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。 Newton从1665年到1695年，对微积分的创造性成果为： 1665，“正流数术” 微分学； 1666，“反流数术” 积分学； 1666，“流数简论” 标志微积分的诞生； 1669，“分析学” 由此后人称以微积分为 主要内容的学科为数学分析 1671，“流数法” 1687，“自然哲学(z rn zh xu)的数学原理”简称“原理” 1691，“求积术”牛顿(ni dn)的微积分贡献第38页/共45页第三十九页，共45页。 德国数学家, 哲学家.和牛顿(ni dn)同为微积分的创始人 , 他在学艺(xu y)杂志上发表的几篇有关(yugun)微积分学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 .