第二章-流体静力学学习教案

1、会计学1第二章第二章-流体流体(lit)静力学静力学第一页，共52页。2 流体静力学研究静止流体平衡的力学规律及其在工程技术上的应用。包括(boku)压强的分布规律和固体壁面受到的液体总压力。流体静力学的定义(dngy)与研究对象 流体静压强的分布(fnb)规律 与固壁之间的相互作用 静压强的测量 液体的相对平衡问题 其中绝对静止和相对静止具有共性：流体质点之间没有相对运动，流体的粘性作用表现不出来，作用在流体上的压力和质量力达到平衡。第1页/共52页第二页，共52页。3第一节 流体(lit)静压强及其特性 静压强实例： 水淹到人体胸部时，呼吸困难； 水箱下部(xi b)开孔，水就流出；高山上

2、大气压低，平地上大气压高。 静压强：当流体在平衡状态下，没有切应力，只有法向应力，法向应力与作用面相垂直，另外，流体只能承受压力而不能抵抗(dkng)拉力。在流体力学中，把这个压应力称为静压强。2mNPa 静压强的单位：第2页/共52页第三页，共52页。4流体(lit)静压强基本特性特性一：流体(lit)静压强的方向沿作用面的内法线方向。用反证法来证明此特性： 取一块处于静止状态的流体，若作用(zuyng)面AB上的应力p的方向向外且不垂直于AB，则可分解成法向应力pn和切向应力 。第3页/共52页第四页，共52页。5静压强特性之一：静止流体只能承受压应力，即压强。其方向与作用面垂直，并指向(

3、zh xin)流体内部。 特性二：流体(lit)静压强与作用面在空间的方位无关 ),(zyxpp P是空间坐标的函数(hnsh)（标量）第4页/共52页第五页，共52页。6特性二的理论(lln)证明：下面(xi mian)对这一微元体进行受力分析： 在静止流体中任取一点(y din)O，以O为直角坐标的原点，取微元四面体OABC，边长分别为dx,dy,dz，如下图所示：第5页/共52页第六页，共52页。7OBC（左面） OAC（后面） OAB（下面） ABC（斜面） dydzpx21dxdzpy21dxdypz21ABCpn表面(biomin)力 质量(zhling)力 zyxfff,dxdy

4、dz61dxdydzfx61dxdydzfy61dxdydzfz61第6页/共52页第七页，共52页。8表面力与质量力平衡 0 xF061),cos(21dxdydzfxnABCpdydzpxnxdydzxnSABC21),cos(ABC在x平面(pngmin)（yoz平面(pngmin)）上的投影 031dxfppxnxnxpp （当四面体趋向于O点，dx,dy,dz趋向于零）nyppnzpp nzyxpppp),(zyxpp 第7页/共52页第八页，共52页。9第二节 流体(lit)的平衡微分方程式 上节课给出了压强为空间坐标的函数(hnsh)欧拉平衡微分方程 一、平衡(pnghng)微分

5、方程式微元体的受力分析：表面力与质量力 第8页/共52页第九页，共52页。10 微元体中心点A(x,y,z)点压强(yqing)为p(x,y,z)，由于压强(yqing)是坐标的连续函数，则左、右两个面形心处的压强(yqing)分别为：2dxxppB：2dxxppC：以上写法的依据(yj)是：泰勒级数的展开 nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(2)()()()(00)(200000 xp 其中， 是压强在x方向(fngxing)的变化率，可以认为作用在中心点处的压强就是所在面上的平均压强，这二个面上的压力：dydzdxxpp)2(左：dydzdxxpp)2(右：dxdydzxp

6、dydzdxxppdydzdxxpp)2()2(合力：第9页/共52页第十页，共52页。11质量(zhling)力：zyxfff,dxdydzdxdydzfxdxdydzfydxdydzfz0dxdydzxpdxdydzfx表面力与质量力平衡 0 xF01xpfx01ypfy01zpfz01pf欧拉平衡(pnghng)微分方程第10页/共52页第十一页，共52页。12将欧拉平衡(pnghng)方程式各项分别乘以dx,dy,dz，然后相加得：dzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyx)(dzzpdyypdxxpdpxyzdpf dxf dyf dz欧拉平衡方程式的综合表达式或者(huzh)

7、压强差公式二、质量(zhling)力的势函数 dzfdyfdxfdUzyxdzzUdyyUdxxUdUxyzdpf dxf dyf dz第11页/共52页第十二页，共52页。13zUfyUfxUfzyxdzzUdyyUdxxUdUdzfdyfdxfdUzyx质量力的分量(fn ling) = 函数U的偏导数 U称为质量力的势函数，存在U的质量力称为有势的质量力。不可压缩(y su)流体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡。于是压强差公式为：dUdp例：求重力(zhngl)场中只受重力(zhngl)的平衡流体的质量力势函数。gfzgzdzzUdyyUdxxUdU CgzU第12页/共52页第十三

8、页，共52页。14势函数U的物理(wl)意义 mgz代表质量为m的物体在基准面上高度(god)为z时的位置势能，质量力势函数U=gz的物理意义是单位质量物体在基准面上高度(god)为时所具有的势能。三、等压面1. 等压面：流场中压强相等的点组成的平面(pngmin)或曲面。0dpCp0 )(dzfdyfdxfdzfdyfdxfdpzyxzyx0 rdf等压面的微分方程 第13页/共52页第十四页，共52页。152. 等压面的性质(xngzh) 等压面就是(jish)等势面 等压面与质量(zhling)力垂直 kdzjdyidxrd证:在等压面上任取一微元段rdkfjfiffzyx单位质量力:0

9、dzfdyfdxfrdfzyx两者点乘:rdf质量力垂直于等压面第14页/共52页第十五页，共52页。16 两种互不相混(xin hn)的流体平衡时，交界面必是等压面 证：在一个密封容器(rngq)中，两种液体，在分界面上任取二点AB，则这二点的压差为dp，势差为dU，则可写出以下二式：dUdpdUdp2121只有等dp和dU均为零时(ln sh)方程才成立，即交界面a-a是等压面。第15页/共52页第十六页，共52页。17第三节 流体(lit)静力学基本方程式 主要探讨(tnto)绝对静止的流体，即流体在重力作用下的压强、压力计算。一、方程(fngchng)的推导 如图所示，液体所受的单位质

10、量力为： 0 xf0yfgfzgdzdzfdyfdxfdpzyx Cgpzgpzgpz2211第16页/共52页第十七页，共52页。18流体(lit)静力学基本方程式：Cgpzgpzgpz2211公式说明：静止流体中任一点的 总是常数。Cgpz适用条件：绝对静止、连续、均质、不可(bk)压缩 第17页/共52页第十八页，共52页。19二、静力学基本方程(fngchng)的意义1. 物理(wl)意义 流体重量压强势能位置势能mggpmgmgzgpz常数单位重量流体的压力能单位重量流体的位置能物理(wl)意义：静止流体中各点的单位重量流体的总势能保持不变 压强势能：容器内的液体将在压强p的作用下，

11、在测压管中上升一定的高度。在液柱上升过程中，压差克服液柱的重力作功，增加了液柱的位能，其大小等于h。gphC第18页/共52页第十九页，共52页。202. 几何(j h)意义 gpz与单位量纲(lin n)为长度并可用某一线段来表示(biosh)，称为水头gpz测压管水头zgp位置水头压强水头gpzgpz2211几何意义：静止流体中各点的测压管水头都相等，测压管水头线为一水平线。第19页/共52页第二十页，共52页。21三、静压强的计算(j sun) gpzgpz00gphgpzzgp000ghpp0静压强计算公式： dwp0pdwghdw液面 底面 重力(zhngl)00ghdwdwppdw

12、ghpp0 液体内部所有各点的压强(yqing)p，等于液面压强(yqing)p0和液体自重引起的压强(yqing)之和。帕斯卡定律第20页/共52页第二十一页，共52页。22第四节 压强的表示(biosh)与测量 一、压强的表示(biosh)方法1.绝对压强：以完全(wnqun)真空为基准计量的压强 ghppaab2.计示压强（相对压强）：以当地大气压为基准计量的压强 ghpppaabm3.真空度在数值上等于负的计示压强 mavppppgppgphavv第21页/共52页第二十二页，共52页。23绝对压强(yqing)、计示压强(yqing)、真空度用图表示：真空度 当地大气压 计示压强第2

13、2页/共52页第二十三页，共52页。244.静压强的计量单位 应力(yngl)单位 PamN2（帕斯卡） 液柱高单位(dnwi)（m） gphmgpha1081. 910001081. 941工程大气压对应： 大气压单位(dnwi)(bar)mmHgOH.Pa.bar.760331010013101311.025标准大气压mmHgOmHpbar.a735101010125工程大气压二、液柱式测压计流体压强的测量仪表主要有三种：金属式、电测式、液柱式 测压管、型测压计、型管差压计、倾斜式微压计、补偿式微压计第23页/共52页第二十四页，共52页。25测压管测压管为一细玻璃管，内径(ni jn)约

14、为约为10mm。测压管测量的大气压范围为0.1-0.2个大气压，只能(zh nn)测量低压，但精度相对较高。第24页/共52页第二十五页，共52页。26U型测压计1122ghghp1122ghghp22ghpm22ghpv第25页/共52页第二十六页，共52页。27U型管差压计21pp ghghhhgghghghppBA)( )(12212121121第26页/共52页第二十七页，共52页。28倾斜(qngxi)式微压计lhsin1KllAAgAAllgpm)(sin)sin(21211singhglpm第27页/共52页第二十八页，共52页。29三、国际(guj)标准大气 大气层中的压强与与

15、密度、温度的变化有关，而且(r qi)受到季节、时间、气候等因素的影响。世界各地的大气压强分布是不同的。在气象、航空等计算时，为了统一标准，国际上约定了一种大气压强、密度和温度随海拔高度变化的规律，这就是国际标准大气。 1. 基准(jzhn)国际标准大气取海平面为基准面，在基准面上的大气参数为：CT15Pap10132530225. 1mkg 2.对流层（11公里） zTT0)bar()z(.p. 44300101312565mK0065. 0KT28803.同温层（11-25公里） KT5 .216)bar()zexp(.p 6334110002260第28页/共52页第二十九页，共52页。

16、30第五节 液体的相对(xingdu)平衡分别讨论容器作匀加速直线运动和等角速度回转(huzhun)运动两种相对平衡情况 一、容器(rngq)的等加速直线运动液体在图示位置状态下达到平衡，将坐标系取在容器上，原点可取在液面的中点，我们可以利用达朗贝尔原理，作为平衡问题来处理。gMGaMIgaffafzyxsin0cos第29页/共52页第三十页，共52页。311.等压面将单位质量(zhling)分力代入等压面微分方程 dzfdyfdxfzyx0)sin(cosdzgadxaCzgaa)sin(costgagadxdzsincos直线(zhxin)斜率积分(jfn)：等压面是一族与水平面成 角的

17、平面。2静压强分布规律将单位质量分力代入压强差公式 fzdzdyfdxfdpyx)sin(cosdzgadxadp积分 Czgaxap)sin(cos第30页/共52页第三十一页，共52页。32)sin(cos0zgaxapp边界条件：x=0,z=0,p=p0以上是普遍的情况，在实际(shj)应用中常遇到下面两种特例: gatgsinagcosadxdz00sin , 1cos 容器(rngq)沿水平面作等加速直线运动 第31页/共52页第三十二页，共52页。33)(0gzaxpp)(0zxgagp)(0ztgxgpgHp0公式和重力流体静压强分布规律形式是一样的。所不同的是两种情况的自由液面

18、一个(y )是水平面，另一个(y )是斜面。H为淹没深度。 容器沿铅直(qinzh)方向向下作匀加速直线运动 900tg第32页/共52页第三十三页，共52页。34zgapp)(0)(1 (0zgagp)( )1 (0hzgaghp11 ， 0gaa时此时(c sh)与绝对(judu)静止相比，液体中压力减小，这就是“失重”现象。 如果容器向上(xingshng)作匀加速运动，则出现“超重现象”。)( )1 ()(00hzgaghpzgapp第33页/共52页第三十四页，共52页。35二、容器(rngq)作等角速度回转运动 gmGrmR2gfyrfxrfzyx2222sincos单位(dnwi

19、)质量力1. 等压面方程(fngchng)将单位质量力代入等压面方程中 022zdzydyxdxCgzyx222222第34页/共52页第三十五页，共52页。36Cgzr222Cgrz222等压面是一族(y z)绕z轴旋转的抛物面。 自由(zyu)液面方程为 grz2220R=0,z=0,c=02. 静压强分布(fnb)规律 将单位质量分力代入压强差公式中 )(22gdzydyxdxdp)( )2(22222yxrCgzrp)2(220zgrgpp第35页/共52页第三十六页，共52页。37grz2220)2(220zgrgpp)zz(gpp00gHp0下面讨论两个(lin )特例 容器盛满液

20、体，顶盖中心接触大气(dq)，求顶盖处的压强分布 容器盛满液体(yt)，顶盖边缘接触大气，求顶盖处的压强分布 第36页/共52页第三十七页，共52页。38Cgzrp)2(22 0, 0zrapp apC 0,zRrapp 222RpCa第37页/共52页第三十八页，共52页。39)2(220zgrgpp2)(222zgrRgppa对于(duy)有：顶盖的限制，液体不能形成自由回转抛物面，但液体中各点的压强(yqing)分布规律和前面是相同的，顶盖处的压强(yqing)分布见图 对于(duy)有：顶盖处的计示压强为 grRgppa2)(222)(2222rR )(2222rRpv顶盖内作用着向下

21、的吸力 第38页/共52页第三十九页，共52页。40例题：盛有水的圆筒形容器以角速度绕垂直轴旋转(xunzhun)，试求当为何值时，恰巧露出筒底。解：恰巧露出筒底时自由表面(biomin)方程为 grz222旋转液面以下(yxi)的体积 = 圆柱体体积 hRrzdrR20 2ghR2hRdrgrrR2022 2 2另外：旋转体体积 = 相应柱体体积的一半 HRhR22 21 grH222第39页/共52页第四十页，共52页。41第六节 静止液体(yt)的总压力静水奇象ghApAP总压力大小与容器的形状无关，液体(yt)作用在容器上的总压力与容器所盛液体(yt)的重量不是一回事。一. 作用在任意

22、(rny)平面上的总压力 第40页/共52页第四十一页，共52页。42任意形状的平面ab,面积为A，倾角为1. 总压力(yl)的大小ghp)sinyh(dAsingyghdApdAdP AAAydAgdAgydPPsinsin面积A对于ox轴的面积矩：AydAAyydAcA第41页/共52页第四十二页，共52页。43AghAygPccsin作用在平面上的总压力(yl)P等于平面形心处的压强 ccghp乘以平面(pngmin)的面积(min j)A2. 总压力的方向 总压力的方向垂直指向作用面 3. 总压力的作用点 总压力的作用点称为压力中心 可以由合力矩定理求出。合力矩定理：合力对某轴的力矩

23、= 各分力对同一轴的力矩之和。AADdAgyyydPyPsinAygPcsin代入：第42页/共52页第四十三页，共52页。44ADcdAygyAyg2sinsinAydAyycAD2AdAy2是面积(min j)A对ox轴的惯性矩Ix。AyIycxD2ccxxAyII0AyIccx压力中心永远(yngyun)在形心的下方。同理可求出XD,但是由于一般(ybn)情况下平面都是关于x轴对称的。cDxx第43页/共52页第四十四页，共52页。454. 两种最简单的情况(qngkung)时总压力的求法 水平(shupng)平面：水箱(shuxing)底面，面积A，水深h。ghAP方向向下，作用点底面

24、的形心 垂直平面：设平面为矩形，平面顶部同液面齐平 2212gbhbhhgAghPchbhhbhhAyIyhyccxcDD32212123第44页/共52页第四十五页，共52页。46注意：在求解液体在倾斜平面的作用时，xoy平面指的是ab所在的平面，而坐标原点O为平面ab（延长线）与水平面（液面）的交点。例如：课后题2-19，在求解的过程(guchng)中必须注意。二. 作用在任意曲面(qmin)（二维）上的总压力 只讨论工程上常见(chn jin)的二向曲面，如图ab曲面，面积为A 第45页/共52页第四十六页，共52页。47对于曲面，我们采用数学上的方法，取一个微元面积dA，把这个微元面积作为平面(pngmin)处理。ghdAdApdPxxghdAghdAdPdPcoscoszzghdAghdAdPdPsinsinxcA