武汉中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练

1、-圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，AB为OO的直径，点E在00上，过点E的切线与AB的延长线交于点D.连接BE,过点0作BE的平行线，交OO于点F,交切线于点C,连接AC（1）求证：AC是00的切线：【答案】（1）见解析：（2） 30.【解析】 【分析】（1）由等角的转换证明岀 OCAOCE，根拯圆的位置关系证得AC是OO的切线.（2）根据四边形F0BE是菱形，得到0F=0B=BF=EF,得证AOBE为等边三角形，而得岀 ZBOE = 3。,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）ilE明：TCD与OO相切于点E,. OE丄CD, ZCEO = 90%又OCBE, ZC

2、OE = ZOEB, z obe=z coa OE=OB,. Z.OEB = ZOBE,. ZCOE = ZCOA,又.OC=OC, OA=OE,. OG4竺OCE（SAS）,. ZCAO = ZCEO = 90°,又TAB为00的直径，. AC为00的切线：（2解：四边形FOBE是菱形， OF=OB=BF=EF, 0E二0B二BE,. AOBE为等边三角形， ZBOE = 60°,而0E丄CD，ZD = 30。.故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的讣算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关 键.2.已知OO的半径为5,弦AB的长度为m,点C是弦AB所

3、对优弧上的一动点.(1) 如图，若m = 5,则NC的度数为°：(2) 如图，若m = 6. 求NC的正切值； 若aABC为等腰三角形，求 ABC面积.【解析】【分析】连接OA, 03,判断岀MOB是等边三角形，即可得出结论；(2)先求出AD = IO,再用勾股世理求出BD = 8,进而求岀tanZADB.即可得岀结 论：分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径泄理以及勾股左理即可得出结论.【详解】(1) 如图1,连接OB, OA,.-.OB = OC = 5,当AC = AB = 6时，如图4,vAC = AB, OC = OB,.AO是bc的垂宜平分线， 过点o作OG丄AB于G,/

4、AOG = 1nAOB. AG = 1aB = 3,2 2NAOB = 2NACB，.NACF = /AOG,ACJ 3 在RSOG 中，sinAOG=- = -,.sin/ACF=,在 RIaACF中，sinACF = -,5af=-ac = CF£°aABC= lAFxBC = lxx = 432m.当BA = BC = 6时，如图5,由对称性知，SaABC= .【点睛圆的综合题，主要圆的性质，圆周角左理，垂径立理，等腰三角形的性质，三角形的而积 公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.3如图，M为OO的直径，点D为加下方00上一点，点C为< ABD的中点，

5、连接CD, C4(1) 求证：乙 ABD=2Z BDC；(2) 过点C作CH丄加于H,交AD于& 求证：EA二EC；(3) 在(2)的条件下，若0H5 >40=24,求线段DE的长度.9【答案】(1)证明见解析；(2)见解析：(3) DE = -.2【解析】【分析】(1连接4D，如图1，设乙BDC二a, Z ADC邙，根据圆周角左理得到Z CAB=A BDC=a.由 加为<30直径，得到AADB=90°,根据余角的性质即可得到结论；(2) 根据已知条件得到Z ACE=A ADC,等量代换得到Z ACE=A CAE,于是得到结论：(3) 如图2,连接0C,根据圆周角

6、立理得到Z C0B=2A CAB,等量代换得到ZC0BSBD,根据相似三角形的性质得到0H=5,根据勾股左理得到AB=y/AD2+BD2 =26.由相似三角形的性质即可得到结论【详解】(1)连接4D如图1,设Z BDC=a, Z&DC邙，则Z CAB=Z BDC二a,点C为弧ABD中点，AC二CD，ZADC二ZDAC邙，ZD&B邙-a,V AB 为00 直径,/. Z/4DB=90°, /. a+p=90% /. p=90° - a, /. Z BD=90° - Z D>48=90o -(p - a), Z ABD=2a9 Z ABD=2A

7、BDC-(2) V CH丄&& /. Z ACE+Z CAB=Z ADC+Z BDC=90T Z CAB=Z CDB、 Z ACEA ADC. Z CAE=A ADC. :. Z ACE=Z. CAE. :. AE二CE；(3)如图 2,连接 0C, Z C03二2Z CAB,T Z 力BD二2Z BDC, Z BDC=Z CAB, :. Z COB二Z ABD,OHOC 1 Z OHC二ZADB二90°,厶OCH- £、ABD.=tBDAB 2 0H=5, :. BD=109 :. AB=>Jad2-=26,AO=13. AH=18,AHAEUI1

8、18AE399 AHE- ADB,H J /. AE= ,DE=ADAB242622【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判立和性质，等腰三角形的判龙和性质，正确的作出辅助线是解题的关键4.如图，已知AB是00的直径，点C, D在OO上，BC=6cgAC=8cm,Z BAD=45。.点E在 00夕卜，做直线AE,且Z EAC=Z D.（1）求证：直线AE是00的切线.（2）求图中阴影部分的而积.【答案】见解析;兰罕24【解析】分析：（1）根据圆周角泄理及推论证得z BAE=90°.即可得到AE是00的切线:（2）连接0D,用扇形ODA的面积减去 AOD的面积即可.详解：证明：（2）

9、TAB是00的直径， Z ACB=90°,即 Z BAC+Z ABC二90°,T Z EAC=Z ADC, Z ADC=Z ABC, Z EAC=Z ABC Z BAC+Z EAC =90%即Z BAE= 90°直线AE是00的切线：（2）连接OD BC=6 AC=8 AB = V62 4-82 =10OA = 5又OD = OA Z ADO =Z BAD = 45° Z AOD = 90°S 阴形=S0 形 odaS mod901=x5x5-x5x5360225龙-50 z ?、=（cm"）A E点睛：此题主要考查了圆周角立理和圆的

10、切线的判定与性质，关键是利用圆周角泄理和切 线的判左与性质，结合勾股定理的和弓形的而积的求法求解，注意数形结合思想的应用.5.四边形ABCD内接于00,点E为AD±一点，连接AC, CB. Z B=Z AEC(1)如图1,求证:CE=CD；（2）如图 2,若Z B+Z CAE=120°, Z ACD=2Z BAC> 求Z BAD 的度数:C行（3）如图3,在（2）的条件下，延长CE交00于点G,若tanZBAC二土，EG=2,求【答案】见解析：（2） 60°：（3） 7.【解析】试题分析：（1）利用圆的内接四边形立理得到Z CED=Z CDE.作CH丄DF于

11、耳设Z ECH=a,由（2） CE二CD,用a表示ZCAE, Z BAC,而Z BAD=Z BAC+Z CAE. （3）连接 AG,作 G/V丄AC, AM丄EG,先证明Z C4G二Z BAC,设 NG=5y/3m,可得AN=llm,利用直角4 AGM, AEM,勾股左理可以算出m的值并求出 处长.试题解析：（1）解：证明：.四边形ABCD内接于00. Z B+Z 0=180°, Z B=Z AEC.:.Z &EC+Z 0=180°, Z &EC+Z CED=180°, Z D二乙 CED,:.CE=CD.设Z ECH二a,由(1) CE二CD,:

12、.Z ECD=2a. Z B二Z AEC9 Z B+Z CAE=120:.Z C&E+Z AEC=120°9:.Z ACE=180° - Z AEC - Z ACE=60:.Z CAE=90Q - Z 4CH二90° - (60°+a) =30° - a,Z ACD= ACH十Z HCD二60°+2a, Z ACD=2Z BAC,:.Z B&C=30°+a, Z BAD=A BAC+Z C4Q30°+a+30° - a二60°.(3) 解：连接AG作GN丄AC, AM丄EG, Z

13、 CED=Z AEG. Z CDE=Z AGE9 Z CED=Z CDE、 Z AEG二Z AGE.AEAG.1.EM二MG二一 EG42 Z EAG二Z ECD=2a, Z C&G二Z C4D+Z DAG=30° - a+2a=Z BAC设 NG=5y3 m9 可得 AN=llm9 AG二 JaG“- AM? =14m, zqCG=60。， CN=5m, AM=8y/3 MGhJaGAM，=2m二 1,2 CE=CD=CG - EGlQm - 2=31 AE= 7am 2 + EM2 = 712+ <4x/3)2 =7 6.已知：如图，AB是OO的直径，PB切OO于点

14、B, PA交OO于点C, Z APB是平分线 分別交BC, AB于点D、E,交OO于点F, Z A=60°,并且线段AE、BD的长是一元二次方 程x2 - kx+273 =0的两根(k为常数).(1) 求证：PABD=PBAE：(2) 求证：。0的直径长为常数k：(3) 求 tanZ FPA 的值.B【答案】见解析：（2）见解析；（3） tanZ FPA=2 -【解析】试题分析：（1）由PB切OO于点B,根据弦切角定理，可得ZPBD=ZA,又由PF平分Z APB,可证 得厶PBD- PAE,然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE：（2）易证得BE=BD,又由线段AE、

15、BD的长是一元二次方程x2 - kx+20的两根（k为常 数），即可得AE+BD=k,继而求得AB=k,即：00的直径长为常数k：（3）由Z A=60并且线段AE、BC的长是一元二次方程x2 - kx+20的两根（k为常 数），可求得AE与BD的长，继而求得tanZ FPB的值，贝lj可得tanZ FPA的值.试题解析：（1）证明：如图，T PB切00于点B, Z PBD=Z A,PF平分Z APB, Z APE=Z BPD, PBD- PAE, PB： PA=BD： AE,PABD二PBAE；（2）证明：如图， Z BED=Z A+Z EPA, Z BDE=Z PBD+Z BPD又 Z PB

16、D=Z A, Z EPA=Z BPD, Z BED=Z BDE BE=BD.线段AE、BD的长是一元二次方程x2 - kx+2吝0的两根（k为常数），/. AE+BD二k, AE+BD二AE+BE二AB二k,即OO直径为常数k.（3）TPB切OO于B点，AB为直径. Z PBA=90°. Z A二60°. PB=PA<sin60°=PA,2又 PA>BD=PB<AE,线段AE、BD的长是一元二次方程x2kx+2馅二0的两根(k为常数) AEBD二2后即亨低2=2鶴,解得：AE=2, BDp,. AB二k二AE+BD二BE二BD二听，在 RtA P

17、BA 中，PB=AB*tan60°= （2+J）馅二3+2衙 Z FPA=Z BPF,.a. tanZ FPA=2 -【点睛】此题考査了切线的性质、等腰三角形的判泄与性质、相似三角形的判定与性质以 及根与系数的关系等知识.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.7.已知AC=DC. AC丄DC,直线M/V经过点作DB丄MM 垂足为B,连结CBM厂CD图感知如图，点久B在CD同侧，且点3在AC右侧，在射线上截取AE=BD,连结 CE.可iiEA BCD ECA.从而得出 EC=BC, Z ECB = 90% 进而得出A ABC=度：探究如图，当点力、B在CD异侧时，感知得出

18、的A ABC的大小是否改变？若不改 变，给出证明：若改变，请求出ZABC的大小.应用在直线M/V绕点A旋转的过程中，当Z BCD=30°,时，直接写出BC的长.【答案】【感知】：45：【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为.3+1或戸_ 1-【解析】【分析】感知证明 BCD厶ECA (S&S)即可解决问题：探究结论不变，证明 BCD ECA (SAS)即可解决问题：应用分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解：【感知】，如图中，在射线AM上截取AE=BD,连结CE图:AC±DC. DB丄MN. ZACD=Z DBA=90Q. Z CDB+Z CAB

19、= 180:Z CAB+Z CAE= 180° Z D=Z CAE, T CD=AC. AE=BD, BCD ECA (SAS), BC=EC,乙 BCD=Z ECA, Z&CE+Z ECD=90°, Z ECD+Z DCS = 90%即 Z ECB = 90 ZABC=45°故答案为45【探究】不改变.理由如下：如图，如图中，在射线AN上截取AE=BD,连接CE,设MN与CD交于点O.&C丄DC, DB±MN, Z ACD=Z DBA=90T Z AOC=Z DOB,:.Z D=Z EAC, CD=AC, BCD ECA (SAS),

20、BC=EC,乙 BCD=Z ECA, Z ACE+Z ECD=90°, Z ECD+Z DCS = 90%即Z ECB=90°, ZABC=45°.【拓展】图 Z ACD+Z >480=180%.A, c, D, 3四点共圆， Z DAB = Z DCB = 30°,AB=ypBD=屮,:.EB=AE+AB=yp+导, ECB是等腰宜角三角形，EB:.BC = = yp+lVZ如图中，同法可得£C=3 - 1.综上所述，BC的长为3+1或- 1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判左和性质，全等三角形的判定和性 质，勾

21、股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属 于中考压轴题.8如图.已知AABC, AB二血，BC = 3, ZB二45。，点D在边BC上，联结AD,以点A 为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E,点F在圆A上，且AF丄AD.（1）设BD为x,点D、F之间的距离为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）如果E是QF的中点，求加:CD的值：（3）联结CF,如果四边形ADCF是梯形，求BD的长.【解析】【分析】（1）过点A作AH丄BC,垂足为点H.构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股圧理求 得AD的长度.联结DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度，在RtA

22、 ADF中，利用锐角 三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式.（2）由勾股泄理求得：AUJaH，十DH：设DF与AE相交于点Q,通过解RtA DCQ和DO 1RtA AHC推知=-故设DQ* CQ二2k, AQ二DQ=k,所以再次利用勾股左理推知DC的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案.（3）如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：当AFIIDC、当ADII FC.根据相 似三角形的判進与性质，结合图形解答.【详解】（1）过点A作丄BC,垂足为点H.* z B=45 AB二迈， BH = AH = AB cosB = BD 为 x,.DH = x-l 在 RtA AZW 中，

23、Z4HZ） = 90o, /. AD = >jAH2+DH2 =>2-2x+x2 - 联结DF,点D、F之间的距离y即为M的长度.点 F 在圆&上.且 M丄AD, :. AD = AF. ZADF = 45° .在 RtA ADF 中,ZZMF = 90°,DF = = 丁4一4兀+ 2尤2 cosZADF y = J4_4x+2/ （05兀53）;（2） 'E是丽的中点，. AE丄DF, AE平分DF.-：bc=3, :. HC = 3-=2. :. AC = yjAH2 + HC2 =/5 设M与处相交于点Q在RtA DCQ中，ZD0C =

24、9O。. tanZDC0 = ggah 在 Rg AHC 中，ZAHC = 90°, tanZAC/7 =- HC 2 ZDCQ = ZACH, | = |.设 DQ = k£Q = 2k , AQ = DQ = k,3k = $ k=£, dc = ,Jdq2+cq2 =|.44T BD = BC DC = ,. BD: CD =35(3)如果四边形ADCF是梯形 则当 AFW dc 时，ZAFD = ZFDC = 45。.ZADF = 45°, AD 丄 BC,即点 £与点 H 重合.BD = 1.当 adw FC 时，ZADF = ZCF

25、D = 45°.t ZB = 45°, ZB = ZCFD. ZB+ZBAD = ZADF+ZFDC, :. ZBAD = ZFDC.AD，= BC BD 即(y2-2x + x2 )"=ABAD.fc，df =DCDF = 2AD » DC = BC - BD.整理得亠。，解得“号负数舍去）.综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或匕.2【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判立与性质、三角函数值 以及勾股左理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合 能力要求较髙，一定要注意将所学知识贯穿起

26、来.9结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，RtA ABC的内切圆与斜边AB相切于点D, AD=3, BD二4,求 ABC的面积. 解：设AABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F, CE的长为x.根据切线长定理,得 AE=AD=3, BF=BD=4, CF=CE=x.根据勾股定理,得（x+3） 2+ （x+4） 2二（3+4） 2.整理，得 x2+7x=12.所以 Sa abc二AC* BC21=(x+3)(x+4)2=-(x2+7x+12)2=-x (12+12)2=12.小颖发现12恰好就是3x4,即厶ABC的而积等于AD与BD的枳.这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下而

27、的探索.已知：A ABC的内切圆与AB相切于点D, AD二m, BD二n.可以一般化吗？(1) 若z C=90°,求证：AABC的而积等于mn.倒过来思考呢？(2) 若 AC>BC=2mn,求证Z C=90°.改变一下条件.(3) 若Z C=60°,用m、n表示 ABC的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) SAABC=V3mn；【解析】【分析】(1) 设AABC的内切圆分别与AC、8C相切于点F、F, CE的长为x,仿照例题利用勾股泄 理得(x+m) 2+ (x+n) 2= (m + n) 2,再根据 Sa abc=ACxBC,即可证明

28、 SABcmn.(2) 由 AC*BC=2mnt 得+ (m+n) x=mn,因此 AC2+BC2= (x+m) 2+ (x+n) 2 =AB2,利用勾股泄理逆泄理可得Z C=90°. (3)过点力作&G丄BC于点G,在RtA &CG中， 根据条件求岀AG、CG,又根据BG=BC-CG得到BGRtA ABG中，根据勾股左理可得x2+ (m+r?) x=3mn,由此 SaABc=BC9AGyl3mn.【详解】设AABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F, CF的长为x,根据切线长怎理，得：AE=AD=m. BF=BD=r)、CF=CE=x,(1)如图1,A在 RtA

29、 ABC 中，根据勾股泄理，得：(x+m) 2+ (x+n) 2= (m+n) 2, 整理，得：x2+ (m+n) x=mn9所以S“c=#C8C=丄(x+m) (x+n)2=寺%2+ (m+n) x-mn=| (mn+mn)2=mn;(2)由 AC9BC=2mn.得：(x+m)(x+n) =2mn,整理，得：/+ (m+n) x=mr),:.AC2+BC2= (x+m) 2+ (x+n) 2= 2/+ (m+n) x+m2+n2= 2fnn+m2+n2=(m+n) 2=AB29根据勾股立理逆左理可得z C=90°：(3)如图2,过点4作4G丄BC于点G,BG BC - CG= (x

30、+n) -*(x+m),CG=ACcos6O0=* (x+m),在RtA ABG中，根据勾股泄理可得：誓(x+m) 2+ (x+n)(x+m)整理，得：X2+ （m4-n） x=3mn9Sa abc=BC*AG=冬（x+n）也（x+m）2 2行=/+ （m+门）x+mn4=x （3mn+n?n）4=y/3【点睛】本题考查了圆中的汁算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与 数形结合思想的应用.10.如图，已知AABC内接于OO, BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延 长线于点G,垂足为F.连接OC.（1）若Z G=48°,求Z ACB的度数：（2）若 AB=AE,求证：Z BAD=Z COF：（3）在（2）的条件下，连接OB,设AAOB的而积为