高中生跳跃性思维能力的现状与培养

1、高中生跳跃性思维能力的现状与培养贺 昉论文摘要：学生在高中阶段学到的数学知识，在将来的生活和工作中能够直接用到的概率是非常小的，但是，学生在高中阶段通过学习数学知识而培养起来的思维能力，将会时时刻刻在他们的生活和工作中用到，使他们受益终生。本文对思维能力的一个方面跳跃性思维能力进行了研究，分析学生的跳跃性思维的现状，力求找到培养跳跃性思维能力的有效途径。关键词：数学思维、跳跃性思维。一、前言“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明

2、、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用”。上面这一段话是新的普通高中数学课程标准第二部分“课程的基本理念”第四条的内容，反应了数学思维能力是学生在高中阶段需要得到培养的主要能力之一。而作为一种较高层次的思维能力，跳跃性思维能力的培养正是在这种背景下提出来的。思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓高中学生数学思维能力，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体

3、的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力。高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题（解题）来实现的。跳跃性思维能力，是数学思维能力的一种，本质上属于发散性思维。它除了具有灵活、新颖、变通等发散性思维的特点以外，超越常规思维程序、省略某些中间环节是它的主要特征。因为任何思维过程，无论是简单的还是复杂的，通过科学抽象，最终都可以归结为三部分，即出发知识、接通媒介和结论性知识。所谓接通媒介，即通过接通有关的联系，从而导出结论知识的那个

4、（或一系列的）中间环节。就逻辑思维而言，其媒介是概念形式的知识；就形象思维而言，其媒介是形象形式的知识。跳跃性思维省略的常常是接通媒介的部分或全部。它可以是横向跳跃，也可以是纵向跳跃，还可以是不同层面的跳跃。因此，可以说跳跃性思维是更高层次的发散性思维。在数学学习活动中，若在思考问题时合理地使用跳跃性思维，可以开阔思维空间，增加解题成功的机率；而在书写时合理使用跳跃性思维，可以减少非必要步骤，从而使得关键步骤突出，表达更加精炼，合理。二、高中生跳跃性思维能力的现状高中生跳跃性思维能力的现状及表现形式我校是国家级示范性高级中学，生源较好。然而总有较多学生进入高中之后，不能适应高中阶段的数学学习，

5、在思维上与课程标准上的要求有较大差距，成绩分化比较明显，相当一部分学生的数学成绩呈下降趋势。反应出学生在思维能力上，包括跳跃性思维能力上的缺失。而学生在跳跃性思维能力上的缺失，又主要表现在以下两个方面：一是表现在听课阶段，对于老师的跳跃性授课，哪怕是一个解题步骤的跳跃，都有一批学生表示不能接受；二是表现在习题解答过程的书写上，大量非关键的步骤充斥在作业本上，而一些关键的步骤，关键的逻辑关系确无法显现出来。 高中生跳跃性思维能力的现状的形成原因分析高中生跳跃性思维能力上的缺失，究其原因：一是由于初中数学教学受升学考试指挥棒的影响，特别是在深圳目前这种中考低升学率的形势下，初中数学老师为了取得较好

6、的教学效果（其实质是较高的升学率），在教学过程中注重了知识的传授，有时候为了使学生掌握一些必考的知识，甚至采用了大量机械重复的方式对学生进行解题训练，而忽视了思维品质的培养。跳跃性思维能力更是从来就没有得到过必要的训练和培养。这样的教学方式，在一定程度上对高中数学教学产生了十分不利的影响，学生对数学知识的理解是机械的，只知有其然，不只其所以然。学生缺少思考问题的方法，对于熟悉的题型，他们能够很快“背出”解题方法，而对于陌生的题型，他们常常是一筹莫展。在教学过程中，只要将他们熟悉的问题稍加改造，就可以让一批学生遁入云雾中。这正是他们的思维缺乏发散性，缺少跳跃性的具体表现。二是由高中生的思维发展的

7、特点决定的。1967年，美国心理学家吉尔福特（J.P.Guilford）在对创造力进行详尽的因素分析基础上，提出了“智力三维结构”模型。吉尔福特认为，人类智力应由三个维度的多种因素组成：第一维是指智力的内容，包括图形、符号、语义和行为等四种；第二维是指智力的操作，包括认知、记忆、跳跃思维、聚合思维和评价等五种；第三维是指智力的产物，包括单元、类别、关系、系统、转化和蕴涵等六种。刚刚进入高中阶段的学生，智力结构正在从第一维度向第二维度过度的过程中，也就是说，高中新生的发散性思维，包括跳跃性思维，正在逐步建立的过程之中。从这个角度来看，高中新生的跳跃性思维能力的缺失，又在情理之中。三、高中生跳跃性

8、思维能力培养的时机和要求高中学生一般年龄为1518岁，处于青年初期。他们的身心急剧发展、变化和成熟，学习的内容更加复杂、深刻，生活更加丰富多采。这种巨大的变化对高中学生的思维发展提出了更高的要求。研究表明，从初中二年级开始，学生的思维由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，逐步趋向成熟。作为高中教学教师，应抓住学生这个思维发展的飞跃时期，利用成熟期前可塑性大的特点，做好思维品质的培养工作，使学生的思维得到更好的发展。 思维品质主要包括思维的跳跃性、广阔性、敏捷性、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的跳跃性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良

9、好品质。在人们的工作、生活中，照章办事易，开拓创新难，难就难在缺乏跳跃的思维。所以，适时对学生进行跳跃性思维能力的培养显得尤为重要。 思维的跳跃性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的跳跃性思维能力的要求主要有以下几个方面：(1)思维起点的跳跃：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。(2)思维过程的跳跃：能跳跃运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。(3)思维迁移的跳跃：能举一反三，触类旁通。四、高中生跳跃性思维能力的培养的方法与

10、策略 如何使更多的学生思维具有跳跃的特点呢？我在教学实践中作了一些探索： “发散思维”的培养提高思维跳跃性。 美国心理学家吉尔福特（J·P·Guilford）提出的“发散思维”(divergent thinking)的培养就是思维跳跃性的培养。“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出，很可能会发生转换作用。” 在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了跳跃思维的培养。跳跃思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。 4.1.l引导学生对问题的解法进行发散跳跃。

11、 在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的跳跃性。 <例>求证： 证法1：（运用二倍角公式统一角度） 证法2：（逆用半角公式统一角度） 证法3：（运用万能公式统一函数种类）设 证明4：(构法分母并促使分子重新组合，在运算形式上得到统一。) 证法5：可用变更论证法。只要证下式即可。 证法6：由正切半角公式，利用合分比性质，则命题得证。 通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：(1)统一函数种类；(2)统一角度；(3)统一运算。 一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和跳跃的思维方式。 412引

12、导学生对问题的结论进行发散跳跃。 对结论的发散跳跃是指确定了已知条件后没有现成的结论让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。 <例>已知： (1)， (2)，由此可得到哪些结论？ 让学生进行探素，然后相互讨论研究，各抒己见。 想法一：(1)2(2)2可得（两角差的余弦公式）。 想法二：(1)×(2)，再和差化积： 结合想法一可知：想法三：(1)2-(2)2再和差化积：结合想法一可知：可得 想法四；，再和差化积约去公因式可得：，进而用万能公式可求：、。 想法五：由消去得： 消去可得（消参思想） 想法六：(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式： (1)-(2)并逆用两

13、角差的正弦公式。 想法七：(1)×3-(2)×4： 即 则、均可求。 开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点跳跃性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。 413引导学生对问题的条件进行发散跳跃。 对问题的条件进行发散跳跃是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同角度和用不同知识来解决问题。 对于等差数列的通项公式：ana1(n1)d，显然，四个变量中知道三个即可求另一个（解方程）。如“an为等差数列，a1，d2问9为第几项”等等。

14、然后，放手让学生自己编写题目。编题过程中学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的适用范围等有全面的掌握。否则，信手拈来会闹出笑话。上题中，若改d3，则9为第项，显然荒谬。如此，学生对于等差数列的通项公式与求和公式的掌握会比较全面，而且能站在较高层次来看待问题，提高思维迁移的跳跃性。 4.2以思维跳跃性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维跳跃性的培养。 由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中，所以，思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高。4.2.1在数学思维的深刻性中发展数学思维跳跃性能力。思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指

15、是否善于从事物的现象中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。 <例>方程sinxlgx的解有（ ）个。（A）1（B）2（C）3（D）4 学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无进。若能运用跳跃的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图家交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维跳跃性才有了用武之地。4.2.2、在数学思维的广阔性中提高数学思维跳跃性能力数学思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质。要求学生能认真分

16、析题意，调动和选择与之相应的知识，寻找解答关键。 <例>已知抛物线在y轴上的截距为3，对称轴为直线x1，在x轴上截得线段长为4，求抛物线方程。 解法一：截距为3，可选择一般式方程： 显然有c3，利用其他条件可列方程组求a，b值。 解法二：由对称轴为直线x1，可选择顶点式方程：显然有m1，利用其他条件可列方程组求a，k的值。 另外，由图象对称性可知x轴上交点为(l，0)和(3，0)。 解法三：由截距为3，即过三点(0，3)、(l，0)和(3，0), 可选择一般式方程： 代人点坐标，列方程组求a，b，c值。解法四：由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式（必须与x轴有交点） 显然；

17、x13，x21。由截距3，可求a值。 在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔性的基础上，充分运用思维跳跃性调动相关知识、技能寻找解题途径。 思维的敏捷性指思维活动的速度。它的指标有二个：一是速度，二是正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维跳跃性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。 <例>相邻边长为a和b的平行四边形，分别绕两边旋转所得几何体体积为Va（绕a边）和Vb（绕b边），则Va：Vb（ ） （A）a：b （B）b：a （C）a2：b2 （D）b2：a2 用直接法求解：以一般平行四边形为例。如图，可求:，aba则Va：Vbb：a，由于

18、要引入两边夹角来求解，学生常无法入手。若以特殊的平行四边形 矩形来处理，则相当简便。 此题解法充分体现了思维跳跃性，以简驭繁，用特殊化思想求解，解题迅速、正确。4.2.4、在思维的独创性中强化数学思维跳跃性能力思维的独创性指思维活动的独创程度，具有新颖善于应变的特点。思维的跳跃性为思维的独创性提供了肥沃的土壤，为解题“灵感”的闪现提供了燃料。 在教学实线中，我常发现，学生提出富有个性的见解的时候,往往是“思维火花”闪烁的时候 <例>求值：一般解法： 独特灵活的解法1：令 则， 即，则原式 构造对偶式求解，思维跳跃颇有独创牲。 解法2：构造1为直径的圆内接三角形，三个角为， 则可构成三角形三边长。 逆用余弦定理： 则原