人教A版第六章平面向量及其应用综合测试题

1、人教A版第六章平面向量及其应用综合测试题一、单选题1.己知向量与/7的火角为二，LI。1= 21B1= 2 ,则a./?=(6A. y/3B. 1C. 2、/JD. 2 2.已知向量Z = (x,2), B =(3,l).若则”=()23A. -B. -C. -3D. -6323 .已知向量Z =(3,2), 6 = (.%4)且力/川 则x的值是()88A. 6B. -C. 6D334 .已知向量力，B，乙满足同=L b =2, d = d+B，c ±a t则行，B的夹角等A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°试卷第1页，总4页

2、5 .已知向量）、b满足la 1= 1,濡1=2 ,向量£ , b的夹角为:，则12%-Bl的值为（）A. 4B. 3C. 2D.6 .设4为实数，已知向量所=（-l, 2）, n=（l,九）,若云则向量防+2”与用之间的夹角为（）兀42乃3）A. -B. -C. D43347 .已知向量1 = （2K1）与4=（），,一2）互相垂直，则收+ 3囚的最小值为（）A. 7B. 6C. 5D. 48 .已知非零向量?，满足3/ =5"，85（? = ?.若_1_U? + ），则实数f的值为（）33A. -B. -C. -3D. 3589 .已知向量满足a =1, h = 4,且

3、7622,则Z与B的夹角的取值范围是（）A.7tB.C.D.10 .已知非零平而向量d, B，彳，下列结论中正确的是（）(i)若= 则不=B： (2)若%+/，=同+卜，则口坂(3)若，+"=,一5,则万j_5 (4)若(不+3(。一)=。，则4=B或)=一行A. (1) (2)B. (2) (3)C. (3) (4)D. (2) (3) (4)11 .在平而直角坐标系xQv中，已知圆C:Y + y2=9及圆C内的一点尸(1,2),圆C 的过点P的直径为MN，若线段A3是圆C的所有过点尸的弦中最短的弦，则(W-丽).赤的值为()A. 8B. 16C. 4D. 4小12 .点"

4、;,M P在 A3c所在平面内，满足MA + MB + MC = 0，|砺卜|INC I,且方。分=而无=无西，则股、N、P依次是A3C的()A.重心，外心，内心B.重心，外心，垂心C.外心，重心，内心D.外心，重心，垂心二、填空题13 .已知单位向量2和坂满足口+ q = 0p 可，则Z与否的夹角的余弦值为14 .已知两个单位向量N，B的夹角为60： c=ta + (-t)b ,若B0 = 0，则1=.15 .在“8。中，ABAC = yAB = ZAC = 3.BD = 2DC ,则 A。. 8C =16 . A3C是等腰直角三角形，ZA = 90°, 8C ="，点。

5、满足次=/，点E , 1 1是BD所在直线上一点.如果CE = xCA + yCB ,则一 十 一的最小值.X y三、解答题17 .在平面直角坐标系xOy中，已知向量7=,S = (cosx,sinx),xe 0,1k 22 71 2)(1)若£_U；,求tanx的值；(2)若Z在B上的投影向量长度为：，求大的值.18 .已知 4 =（1,1） , b =（2/"），（1）若，求实数机的值：（2）若不_LB ,求实数？的值；（3）若&与/；夹角为锐角，求实数川的取值范同19 .已知平面内两个不共线的向量痴，a=2,（aj = a-2b=2.（1）求闻;（2）求自一2

6、折与坂的夹角.20 .已知向量d, B，3满足：同=1，B =2, c=a+b9且3,鼠（1）求向量d与B的夹角:（2）求 3a + b .试卷第3页,总4页21 .如图，在四边形ABC。中，ZB = 60°, AB = 3, BC = 6,且而=%团，（1）求实数2的值:（2）若M, N是线段BC上的动点，且|丽| = 1,求丽丽的最小值.22 .在048的边04, 03上分别有一点 Q,已知|西:同= 1:2,|丽，班| = 3:2,连接A。，BP,设它们交于点R,若Q/ = "，O分=/；.（1）用与B表示oR：（2）过R作R"_LA8,垂足为“，若&quo

7、t;=1，b =2,"与坂的夹角6,求的氾国, 网参考答案1. A【分析】利用向量数量积的定义即可求解.【详解】h 16F1= 2 I /? 1= 2 » 则 a = 2, b = ,又向量的夹角为三，6所以“/= a /? cos«/,B) = 2x 1 x= -73.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2. A【分析】根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.【详解】解：向量“ = (x,2), B = (3,-l)；% a _L /八则 tz,5 = 0 »即 3x+2x(-l) = 0,2 解得x =

8、4.3故选：A.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题3. C【分析】根据平而向量共线的坐标表示可得出关于实数x的等式，由此可解得实数”的值.【详解】.向量2 = (3,2),、=(苍4)且力"，.2t = 42,解得x = 6.故选：C.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.4. C【分析】设就=云，5 =加，则5 =万+日=荏，由图可知：,，B的夹角为180°NC，因为同=1, 1卜2, c±a,所以NC = 60°,即可得解.【详解】如图：设团=不，。4 = 5，则0 =万+5 =而，则A, 4的夹角为180。一NC,因为同=1,

9、忖=2, cla,所以NC = 60°,所以行，B的夹角为120。.故选：C.【点睛】本题考查了向量的夹角，考查了利用几何图形解决向量问题，属于基础题.5. C【分析】根据数量枳定义，可知73 = 1.再根据|27_钻=5/4;_4二1+片，即可求出结果【详解】V 11=1, 1/；1=2,且向量"，坂的夹角为g,； a B = 1，12«-5 1=-4a b +b = J4-4 + 4 = 2故选：C.【点睛】本题主要考查了平而向量的数量枳的应用，属于基础题.6. A【分析】根据向量垂直的坐标运算解得；l = g ,再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.【详解】

10、因为向量所=（一1,2）,方=。,田，若而_1_3,则成” = 1x1 + 24 = 0,解得4 = ；, 所以沅+ 2万= （1,3）,所以（丽+ 2万）册= lx（-l） + 3x2 = 5 , |汾+ 2河 1=+3? = J16,I而1=（一1y+22 =小,设向曷加+2”与云之间的夹角。，则0夕知，,c°s"（册 + 2"）而=_工一上I m + In I x I m I 5/w x >/52IT所以向量而+2五之间的夹角为一.4故选:A.7. A【分析】由向量的数量积为o求出x，y的关系式，然后把向量的模用坐标表示后，结合基本不等式可 得最小值.

11、【详解】解：: 4 _L 日，2不，-2 = 01 ：. xy = .2x+3y > 2/姬=2#,当且仅当2x = 3y = #或-而时等号成立，答案第3页，总14贞Z. a + 3b =y（2x + 3y）2 +52 >7.故选：A.8. C【分析】由Aj_（狗+ 5）可得小卜同+ |,=0，即得6+l）W=0,即可解出【详解】由 J., 7 + ），得（福;+ G） =一 T -2 一 T - 2tin n+ n =t m n - + « = 0 , 59. C【分析】 由向量数量枳的定义：ab T d U AI cos夕=1 x 4cos&2，再由向量夹角

12、的取值范I同求【详解】 解：设d 1 Jb 的夹角。，永 =lfi klZ? Icos = lx4cos2 ,cos/；,0eo,-. _ 3_故选：C.10. B【分析】根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】已知非零平而向量d，b，c,（i）若m = 则仅一5" =。，所以1=B或值一"即（1）错:(2)若 + B=|矶+ |5,则限与6同向，所以不B，即(2)正确；(3)若卜+可叩词,则同? + 6，+21/=|同+ 5。一2必5,所以2万石=0,则1_L B ：即(3)正确；(4)若(M + B)(L) = 0,则同2一河=0,所

13、以同=|可，不能得出向量共线，故(4)错：故选：B.【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.11. B【分析】利用勾股定理计算出A3,用丽，而表示出血-丽，再计算数量枳得解.【详解】由题意可知A8_L/WN,圆C的半径为r=3, OP = 小,.AMM = O，AB = 2y/rr-OP2 =4*/.(AM -BN).AB = AM-(AN-AB)AB = (W + AB).AB = NM.AB + AB2 =AB =6-故选：B.关键点点暗：解答本题的关键是基底法的运用，联想到基底法表示其它向量，用MN，AB表示出am-bM.【分析】由三角形五心的性质即可判断

14、出答案.【详解】解：MA + MB + MC = O MA + MB = -MC »设A3的中点。，则M4 + M与= 2M£j，：.C, M，。三点共线，即为AABC的中线CD上的点，且MC = 2MD.为aA3c的重心.JM4|=IAH2VCI,.N为?18c的外心； PAPB = PB*PC，A /iB.(PA- PC) = O ,即 PB»CA = 0. ：.PBV AC ,同理可得：PA1BC, PCLAB,./为 A3c的垂心：故选：B.【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平而向量的线性运算的几何意义，属于中档题.13.-3【分析】将等式两边平方，利用

15、向量的数量枳即可求解.【详解】将+可=J斗一可两边同时平方,12. B答案第5页，总14贞可得+2a -b+b = 2(a 一2。+ 因为和坂是单位向量，1可得山=一.3 -/- r ab 1 所以cos"g = = w' 'a b s故答案为：-314. 2【分析】 由J B不=0,对式广3 = ta + (-t)b两边作数最枳可得小=位坊+(1 1)方21 = 0 .经过化简即可得出.【详解】 解：v c =rd + (l-r)Z?,dB = 0，二2B =血石+ (1 ，)/=0，:.tcos60°+l-r = 0t l-r = 0.解储/ = 2.2

16、故答案为：2.Il15. y【分析】_ i 2根据向是的线性运算，得到比=另-£, AD = -a + -b9再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】设向量而=a. AC = B ,其中 “ =2, /? = 3,a b = 2x3cos = 3 ,3因为8力=2。1，所以沅=衣一丽= B-£，而=丽+丽=丽+2就=而+3衣一函=1而+2芯=匕+%, 33333312一一1一 1,2，411所以 AO.8C = (_d+_)S_)= _ab_ _ a2 + -b2=- + 6 = .3333333故答案为：-3【点睛】 平面向量的数量积的运算策略：工、定义法：建立一

17、个平面基底，结合向量的线性运算法则表示出向量，利用向量的数量积 的定义，即可求解；2,坐标运算法：先建立适当的平面直角坐标系，写出向量的应用坐标，结合坐标运算的公 式，即可求解，可起到化繁为简的妙用.1A 3 + 2721O. 3【分析】直接利用平面向量线性运算即可得到且在= xC5+y丽=g丽+n丽，结合& d, EY三点共纭，即得到/ + y = L冉利川基本不等式计算可得.【详解】解：由方=丽知，。在边CA的延长线匕 且A为的中点，因为点E是BD所在直线上一点， Y* 且CE = xCA + yC8 = CO + yC8 ,2X .” = L.1 1fl1 Yx)3yx3l)T3

18、 + 25/2x yyxy )2)2x2y2yx 2y 2当且仅当工=Jly时"=”成立， 故答案为：3 + 2,3【点睛】本题考查平行向量的线性运算，考查了利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时.要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2） “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值：要求积的最大值, 则必须把构成积的因式的和转化成定值：（3） “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方17.（ 1）tanx =退：（2） x=-

19、6【分析】（1）根据打人由7B = o求解.'uJ3iT）根据住坂上的投影向：工为不，由= -cos% sinx =2h22求解.【详解】（1）因为故与。sx'in"。, 22（2）因为在B上的投影向量长度为g，=且。sJsinx 22a-b 所以一丁 b所以cosTtX+ 6=±2TTITITJFIT27rIT47t所以 x + = 2攵兀 + 或 x + = 2k n 或 x + = 2kn + 或 x + = 2kn + ，63636363解得x = 2k乃+巳或x = 2k九一2或x = 2k冗+巳或x = 2kn + ,6226答案第9页，总14贞

20、因为xe 0,-1,所以X= j o18. （1） "? = 2： （2）m = -2； （3） ？>-2 II zw2.【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求出结果：（2）根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出结果：（3）根据向量夹角为锐角，列出不等式求解，再注意向量不共线，即可得出结果.【详解】因为/=（）, L，（1）若源区，则1 x? = 2x 1,解得m-2 ：（2）若a_L,则lx2+lxm = 0,解得? = 一2：（3）若优。石夹角为锐角，则万石= lx2 + lxm>0,且。石不同向共线，即机H2,所以实数”的取值范围为m>一2

21、且ZW2.19. （1） 1； （2） 120。或父.3【分析】（1）根据条件对I，-2石1= 2的两边平方即可得出关于151的方程，然后根据题意知忖工0,从而解出1臼=1；（2）进行数量枳的运算可求记4一2臼和3-2力石的值，然后即可求出cos, - 2%）的值,从而可求出伍-2万）和石的夹角.【详解】解：（1） v 11=2, <a/b>=-, a-2b=2,3，东一 4ti仿+4后=4-41"十配|2=4,且1万卜0,，解得|方|=1：（2） a-2b =y/（d-2b）2 =74 + 4-4 =2, （a-2b） b -2b2 =-2 = -,答案第13页，总14

22、页二 cos« 2反6)=彳,且62反''"一 2b x b Z z20. ( 1) ； ( 2 ) y/j .3【分析】根据同=1，5=2, c=a + b .且乙_Ld，由亍3 = R + B)万=°求解.1 - 1 3d +b = J(3ci + 6) = J%? + 6/ 6 + /?) 求解.【详解】(1)因为同=1, b=2，c=ci + b > H e 所以1=(1+6)1=彳2+万3 = 0.KP 1 +1 x 2 x cos a-b = 0 ,即 cos«1) = 一：,因为所以" 3d+b =的己2 +

23、6ciB+B:= >/9 + 6x(-l) + 22 =7711321. (1)； ( 2 ?.62【分析】'1）根据荷通=一?和向和的数的枳定工定计算4：2（2）建立丁面坐标系，设"（x,0），用x表示出丽.丽，根据二次函数性质得出最小值.【详解】 解：(1)V AD = ABC : AD/BC ,VZB = 60°, ：.ADAB = 20°,3 :.AO A8 = 64 3 cos 120。= 一二,2A =.6(2)过A作AOLBC,亚足为G3Qq /T则 O8 = - A6 =二，OC =-，AO = - 2222以。为原点，以BC, OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示:则o(l,孚)设M(x,o), N(X + 1,O), -|<x<2,一(3"DM =-I2 ：.DM -DN =-x+ = x- +.4 I 2j 21