CH第二型曲线积分学习教案

1、第二节第二节一、第二型曲线积分一、第二型曲线积分(jfn)的概念与性质的概念与性质二、二、 第二型曲线积分第二型曲线积分(jfn)的计算法的计算法 第二型曲线(qxin)积分 第十一章 第1页/共19页第一页，共20页。一、一、 第二第二(d r)型曲线积分的概念与型曲线积分的概念与性质性质1. 引例引例(yn l): 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点设一质点(zhdin)受如下变力作用受如下变力作用在在 xOy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B, 求移求移“大化小大化小” “常代变常代变”“近似和近似和” “取极限取极限”变力沿直线所

2、作的功变力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.第2页/共19页第二页，共20页。1) “大化大化(d hu)小小”.2) “常代变常代变”把把L分成分成(fn chn) n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段近似近似(jn s)代替代替, 则有则有所做的功为所做的功为F 沿沿则则用有向线段用有向线段 上任取一点上任取一点在在第3页/共19页第三页，共20页。3) “近似近似(jn s)和和”4) “取极限取极限(jxin)”(其中其中(qzhng) 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)第4页/共19页第四页，共20页。2. 定义定义(d

3、ngy).设设 L 为为xOy 平面平面(pngmin)内从内从 A 到到B 的一条有向光滑的一条有向光滑弧弧,若对若对 L 的任意分割的任意分割(fng)和在局部弧段上任意取点和在局部弧段上任意取点, 都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中其中,L 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线 .称为称为被积函数被积函数 , 在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限记作记作第5页/共19页第五页，共20页。若若 为空间为空间(kngjin)曲线弧曲线弧 , 记

4、记称为称为(chn wi)对对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线的曲线(qxin)积分积分.若记若记, 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作类似地类似地, 第6页/共19页第六页，共20页。第二型曲线积分与曲线第二型曲线积分与曲线 L 的方向的方向(fngxing)有关，对同一曲线，有关，对同一曲线，当方向由当方向由 A 到到 B 改为改为(i wi)由由 B 到到 A 时，每一小曲线段的时，每一小曲线段的方向都改变方向都改变(gibin)，从而小曲线段的投影，从而小曲线段的投影也随之也随之改变符号，故有改变符号，故有而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的

5、而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积，它与曲线乘积，它与曲线 L 的方向无关的方向无关. 这是两类曲线积分的这是两类曲线积分的一个重要区别一个重要区别. 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例. 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !第7页/共19页第七页，共20页。定理定理(dngl):在有向光滑在有向光滑(gung hu)弧弧 L 上有定义且上有定义且L 的参数的参数(cnsh)方程为方程为则曲线积分则曲线积分连续连续,存在存在, 且有且有二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法第8页/共19页第八页

6、，共20页。特殊特殊(tsh)情形情形第9页/共19页第九页，共20页。第10页/共19页第十页，共20页。例例1. 计算计算(j sun)其中其中(qzhng)L 为沿抛物线为沿抛物线解法解法(ji f)1 取取 x 为参数为参数, 则则解法解法2 取取 y 为参数为参数, 则则从点从点的一段的一段. 第11页/共19页第十一页，共20页。例例2. 计算计算(j sun)其中其中(qzhng) L 为为(1) 半径半径(bnjng)为为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A ( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B (

7、a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数方程为(2) 取取 L 的方程为的方程为则则则则第12页/共19页第十二页，共20页。例例3. 计算计算(j sun)其中其中(qzhng)L为为(1) 抛物线抛物线 (2) 抛物线抛物线 (3) 有向折线有向折线(zhxin) 解解: (1) 原式原式(2) 原式原式(3) 原式原式第13页/共19页第十三页，共20页。1. 定义定义(dngy)2. 性质性质(xngzh)(1) L可分成可分成(fn chn) k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2) L 表示表示 L 的反向弧的反向弧对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注

8、意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结第14页/共19页第十四页，共20页。3. 计算计算(j sun) 对有向光滑对有向光滑(gung hu)弧弧 对有向光滑对有向光滑(gung hu)弧弧第15页/共19页第十五页，共20页。 对空间对空间(kngjin)有有向光滑弧向光滑弧 :第16页/共19页第十六页，共20页。1. 已知已知为折线(zhxin) ABCOA(如图), 计算提示提示(tsh):思考思考(sko)与与练习练习第17页/共19页第十七页，共20页。2. 设曲线设曲线(qxin)C为曲为曲面面与曲面(qmin)从 O x 轴正向(zhn xin)看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分解解: (1)第18页/共19页第十八页，共20页。感谢您的观看(gunkn)！第19页/共19页第十九页，共20页。NoImage内容(nirng)总结第二节。把L分成 n 个小弧段,。2. 定义.。若对 L 的任意(rny)分割和在局部弧段上任意(rny)取点,。在有向曲线弧 L 上。称为对 x 的曲线积分。称为对