线性方程组的发展人物和应用演示文稿学习教案

1、会计学1第一页，共20页。答曰：上禾一秉，九斗、四分(s fn)斗之一，中禾一秉，四斗、四分(s fn)斗之一，下禾一秉，二斗、四分(s fn)斗之三。其实(qsh)这仅仅是三元一次方程的简单应用：设：上禾一秉x斗， 中禾一秉y斗 下禾一秉z斗由题意得：3x+2y+z=392x+3y+z=34X+2y+3z=26第1页/共19页第二页，共20页。(2)对线性方程组解法的改进九章算术中用直除法解线性方程组，比较麻烦刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法例如方程组刘徽是这样解的：(1)2，(2)5，得(4)-(3)，得21y20(下略)显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时

2、用的是筹算刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也”他还进一步指出(zh ch)，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法第2页/共19页第三页，共20页。方程理论的初步总结刘徽在深入研究九章算术方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之并列为行，故谓之方程”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程程的个数必须与所求物的个数一致诸程并列，恰成一方形，所以叫方程”这里的“物”

3、，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大(kud)或缩小，即“举率以言之”第3页/共19页第四页，共20页。公元1247年，秦九韶完成了数书九章一书，成为当时中国数学的最高峰。在该书中，秦九韶将九章算术中解方程组的“直除法”改进为“互乘法”，便线性方程组理论又增加

4、了新内容,至少用初等方法(fngf)解线性方程组理论已由我国数学家基本创立完成。大约1678年，德国数学家莱布尼兹首次开始线性方程组在西方的研究。1667年，莱布尼茨发表了他的第一篇数学论文(lnwn)论组合的艺术。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文(lnwn)虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。 第4页/共19页第五页，共20页。在17世纪末，莱布尼兹研究线性方程组的解法时，开始使用指标数的系统集合来表示方程组的系数，并得到现在称为结式的一个行列式。大约在1729年，马克劳林开始用行列

5、式的方法解含2-4个未知量的线线性方程组，还使用了所谓的克莱姆法则，克莱姆在1750年把这个法则发表出来。 （其实创新需要想象力，当初中生在做二元一次方程的时候无聊的把系数拿出来组合，他就会发现只要在这些数字之间换算就可以解开(ji ki)这个方程，因为这和方程本身的未知数并没有关系，不论它是x，或y，或其他什么，都不影响答案，推而广之，是否对3元 4元 甚至n元也成立呢？我想当时的科学家就这么无聊中创时代的吧。）第5页/共19页第六页，共20页。1750年，克拉默在他的代表作 线性代数分析导言中，创立(chungl)了克拉默法则，用它解含有5个末知量5个方程的线性方程组。克拉默法则(fz)：

6、假若有n个未知数，n个方程组成的方程组： a11X1+a12X2+a1nXn = b1, a21X1+a22X2+a2nXn = b2, an1X1+an2X2+annXn = bn. 或者写成矩阵形式为Ax=b,其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|,其中Aii = 1，2，n是矩阵A中第i列的a 1i，a 2i，a ni （即第i列）依次换成b1，b2，bn所得的矩阵。 克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。 使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法

7、时间复杂度可以达到O(n3)，这个时间复杂度同其它常用(chn yn)的线性方程组求解方法，比如高斯消元法相当。 第6页/共19页第七页，共20页。1764年，法国数学家裴蜀 (Bezout，1730-1783)研究了含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组的求解问题，证明(zhngmng)了这样的方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。后来，裴蜀和拉普拉斯 (Laplace，1749一1827)等以行列式为工具，给出了齐次线性方程组有非零解的条件。1867年，道奇森 （Dodgson， 1832-1898）的著作行列式初等理论发表，他证明了含有n个未知量m个方程(fngchng)的一般线性方程

8、(fngchng)组有解的充要条件是系数阵和增广阵有同阶的非零子式，这就是现在的结论:系数阵和增广阵的秩相等。道奇(do q)森第7页/共19页第八页，共20页。 基尔霍夫电压定理：沿某个方向环绕(hunro)回路一周的所有电压降RI的代数和等于沿同一方向环绕(hunro)该回路一周的电源电压代数和。11I1-3I2=306I2-3I1-I3=53I3-I1=-25第8页/共19页第九页，共20页。I1=3 I2=1 I3=-8第9页/共19页第十页，共20页。 剑桥减肥食谱用33种食物精确提供(tgng)31种营养，可用线性方程组来计算。试求三种食品的组合，使得混合食物(shw)提供剑桥食谱

9、需求的营养。 现仅考虑三种食品(shpn)三种营养成分如下表：第10页/共19页第十一页，共20页。解：设这三种食物(shw)的两分别为x1，x2，x3 （单位：100克）第11页/共19页第十二页，共20页。为了(wi le)提供所需要的蛋白质、碳水化合物和脂肪总量食谱中需要包含(bohn)0.277单位的脱脂奶粉，0.392单位(dnwi)的大豆粉，0.233单位(dnwi)的乳清。第12页/共19页第十三页，共20页。配平化学(huxu)方程式【解】上述化学反应式中包含【解】上述化学反应式中包含5种不同种不同(b tn)的原子（钾、锰、氧、硫、的原子（钾、锰、氧、硫、氢），于是在中为每一

10、种反应物和生成物构成如下向量：氢），于是在中为每一种反应物和生成物构成如下向量：其中(qzhng)x1、x2 、 x3 、 x4 、 x5 、 x6均为正整数第13页/共19页第十四页，共20页。其中，每一个(y )向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目。为了配平化学方程式，系数必须满足方程组求解该齐次线性方程组，得到(d do)通解：由于(yuy)化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取即得配平后的化学方程式：第14页/共19页第十五页，共20页。列昂惕夫的“交换模型”：假设一个国家(guji)的经济分为很多行业，例如制造业、通讯业、娱乐业和服务行业等。我们知

11、道每个部门一年的总产出，并准确了解其产出如何在经济的其它部门之间分配或“交易”。把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格（price）.列昂惕夫证明了如下结论：存在赋给各部门总产出的平衡价格，使得每个部门的投入与产出都相等。 经济系统经济系统(xtng)的平衡的平衡 第15页/共19页第十六页，共20页。【解】从表【解】从表1-2可以看出，沿列表示每个行业的产出分配到何处，沿行可以看出，沿列表示每个行业的产出分配到何处，沿行表示每个行业所需的投入。例如，第表示每个行业所需的投入。例如，第1行说明五金行说明五金(wjn)化工行业购买化工行业购买了了80%的能源产出、的能源产出、40%的机械产出

12、以及的机械产出以及20%的本行业产出，由于三个的本行业产出，由于三个行业的总产出价格分别是行业的总产出价格分别是p1、p2 、 p3，因此五金，因此五金(wjn)化工行业必须化工行业必须分别向三个行业支付元分别向三个行业支付元0.2p1、 0.8p2、0.4p3 。 得：得：第16页/共19页第十七页，共20页。该方程组的通解(tngji)为 ，此即经济(jngj)系统的平衡价格向量，每个p3的非负取值都确定一个(y )平衡价格的取值。例如，我们取p3为1.000亿元，则p1=1.417亿元，p2=0.917亿元。即如果五金化工行业产出价格为1.417亿元，则能源行业产出价格为0.917亿元，机械行业的产出价格为1.000亿元，那么每个行业的收入和支出相等。第17页/共19页第十