一元微积分期末复习提纲

1、一元微积分期末复习提纲高阶导数，包括简单有n阶导数；求导思路：逐次求导法例：(1)xex= x n ex ；nnn -1 !In 1 x = -1n ；- 1 xdP”n-x 1x1n1'(4)(sin x f )=sin I x n 2; cosx n =cos x n - 2例题：用。例16、 P19A:1,2二、曲线的凹凸性及拐点；凹凸性与拐点的判别步骤：(1)求出一、二阶导数yy”；(2)令y“ = 0,解出y“ = 0的点与y ”不存在的点入;(3)利用(2)解出的点划分函数的定义域；(4)画表分析、判别；(5)代入原函数式求出拐点的纵坐标，并写出结论。例题：R13 例 81

2、1、 P119A:46三、相关变化率利用复合函数的求导法则：dy = dy曲， dt dx dt解题步骤：(1)利用题设条件，写出函数关系式y= f(x)或F(x,y)=0;(2)求出dy ;dx dy(3)利用已知条件求出变化率：虫=曳座或虫=乎。出 dx dt dt dy dx例题：R32 例 12、 P34A：45四、微分的计算；微分的计算公式：dy = yUx或df (x )= fx)dx。例题：电8例23,P141A4五、 微分在近似计算中的应用；微分的近似计算公式：由dyy=f '(小加一阶近似计算公式得：(1 ) Ay = f (刈 + Ax f (xo )为 f 

3、9;(比阿；(2) f (xo +Ax 谆 f (x0 )+ f '(x。)Ax。特别地，当 =0,Ax=x 时，则有 f (x 产 f(0)+f'(0)x。例题：P140 例 6-8,P141A6六、隐函数求导；求解步骤：(1)对方程F(x,y )=0两边同时求导(2)由求导后的方程解出y',并按题目要求写出结论。或由原隐函数方程解出y0 = yx*,将(xo,y°)代入求导后的方程，解出dydx x=x0例题：出6 例 1-4、p31A1-4、"585,6。七、参数方程求导；求导法则：如果x,y间的函数关系由参数方程x= : ty=1- t来确定

4、，则由参数方程确定的函数的一阶导数公式为dy变=生或电=上)。dx dx dx : tdt二阶导数公式为：d也id2y ddy * dt Idt ! = 一.一 |=;°dx dx (dx)dxdt例题：冗0 例 7-10、P106 A5-7、R58 7,8。八、中值定理(定理内容)；共性条件：函数在闭区间上连续，在开区间内可导；个性条件：罗尔定理要求区间端点的函数值相等；拉格朗日中值定理的两个推论：推论1、若y=f (x)在区间I上恒有f H(x)=0,则f(x )在I上是 一个常数，即f(x)=C。推论2、若y = f (x), y= g(x)在区间I上恒有f *(x)= g (

5、x),则 f(x),g(x底I上仅相差一个常数,即f(x)=g(x)+C。九、洛必达法则1、“0” 与 W 标准型：lim3 = limF；0二g x g x2、“0 6”型可先利用“无穷大与无穷小的关系”变形为“9”或0“艺”标准型后，再使用洛必达法则求解；003、“匆”型可先“通分”后变形为“ 0”或“兰”标准型，再 0,-J使用洛必达法则求解；4、“0。”、“产”与“g0”型，可先利用公式y=elny变形为指数函数后，再利用复合函数连续性的推论和洛必达法则求解；例题：年1例1-11、丸6人、P599。十、不定积分的概念、性质若F <x)= f (x),则称F (x)是f x 的一个

6、原函数。不定积分与导数或微分互为逆运算。(1)不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式)：J f (x)dx = f (x)或 d f f (x)dx= f (x)dx(2)对一个函数的导数(或微分)求不定积分，其结果与这个函数仅相差一个积分常数：fF/(x)dx = F(x)+C 或 JdF(x) = F(x)+C。例题：P168A :1-3;B1十一、不定积分、定积分的第一类换元法f F,(x 丁 x dx = f F'；x d : xx',;-tf t dt - F t Ct =fx F E1(x CL f *(x )P '(x)dx= 1a f 了 (

7、x)Jd中(x )PRx =t ： f t dt = F t ： =F : -F ;注：(1)第一换元法又称为“凑微分法”(即“凑”复合函数的中间变量的导数)，可以不设代换完成；(2)不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积分变量无关，运算时不需要“回代”；例题：P171 例1 -16,18、p79A3；P225 例 1-3、P229A：1 ；十二、不定积分、定积分的第二类换元法1、根式代换题型：被积函数中含有根式m叵正的形式(被开方式为线性函数), cx d解题思路：“去根号”；解题方法：令t=mkb,解出x=dtm,有dx工支出；Vcx+dct -a【Ct -a ,特别地，

8、t=n/axb,解出x=Jb,有dx=，ndt； aa代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题：P176 例 22; P80B2(1)(2)； P225 例 4补充例题： f 二dx、1 一1-dx、f x 2 dx ；01 Jx 1x 3 x 0 ,2x 12、三角代换题型：被积函数中含有根式，a/一2'一丁丁的形式(被开方式为线性二次函数)解题思路：“去根号”；解题方法：(1)含有疔耳的形式：ax = asint,有 dx = acostdt ;(2)含有好寿的形式：ax = atant, 有 dx =asec2 tdt ;(3)含有的形式：x = asect , 有 dx =

9、 asecttantdt ;代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题： 为例23-25 ; P8oB2(3)-(5),P973(15)(16);P226 例 5； 229A1(6)电1(8),6(1)(2)。注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。十三、 不定积分、定积分的分部积分法1、不定积分的分部积分 公式：Judv = uvjvdu ;定积分的分部积分 公式：fbudv = uvb - fbvdu。 - aa - a2、凑成公式中的v(x)的“优先次序”：(1)指数函数：eaxdxdeax;a(2) 二角函数： sin axdx =-'d cosax cosaxd

10、x =1 d sin ax ；aa(3)募函数：x"dx =1dx.。.二+1例题： 42例1-5,10,11; P186A1,B2-3;；P227例9 -12、 P229A,2;。十四、定积分的性质1、 关于被积函数的性质：(1) f dx = b -a ； abbb(2) k 国 f1 (x )± IH±knfn(x )ldx = k/f(x )dx±lll土kn J fn(x)dx。 aaa2、 关于积分区间的性质：(1) f dx = 0 ； a ba fa f (x)dx=-fb f(x)dx；bcb(3)L f (x)dx= faf (x)d

11、x+ JJxJdx。3、 关于对称区间上的性质：aa|2f (xdx f(x)为偶函数f x dx =0“、0 f(x)为奇函数4、 关于不等式的性质：(1)若在区间a,b上，f(xa0,则 jbf(x)dx±0； a 若在区间a,b上，f (x)Wg(x),则/ f(x)dxM fg(x)dx； aa(3)设M及m分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值及最小值，则 m(b-a)Mf f (x)dx«M (ba )。 a5、 积分中值定理：如果函数f(x)在区间la,b上连续，则在a,b上至少存在一点使得 J f(xjdx=f(7b-a)。 a例1、利用定积分的几何意义计

12、算定积分的值:P212B:2-(2)；例2、利用定积分的性质比较定积分的大小：P212A,6；;例3、利用定积分的性质、单调性与函数的最大(小)值估算定积分的值：P212A,5;；例4、利用对称区间上的定积分的性质计算定积分的值:P226例 7、P229A：3；十五、变限求导1、 变上限函数有求导:定理及解法:d b xf t出 dx ax=f b x b x - f a x a x例题：耳16例1例4; B22A,12;凡04单元训I练五 1(1)(2)(4)(6),2(2);2、 含有变上限定积分的极限:解法：洛必达法则+微积分基本定理例题：P217 例 5, P2 A,3； %1(3)；

13、十六、 定积分应用：面积、体积；解题步骤：(1)画出草图；(2)建立联立方程组，解出两条曲线的交点坐标；(3)画出“穿透射线”，确定积分方向与积分区间(选择与旋转体相同的积分方向)；(4)解出平面图形的面积：A= (b "出口曲线""入口曲线"dx , a或A= j F出口曲线"-"入口曲线"】dy与绕轴旋转而成的旋转体的体积：Vx = jn (出口曲线)2 (入口曲线f Idx或Vy =/n(出口曲线2 _(入口曲线)2 Idy o例题：巳32 例 1-3、巳26137 例 7-9、巳44内,2,5,6 ；十七、无穷区间上的广义积分概念及解法:fa f(X)dx=bimJaf(x)dx；f (x dx= lim f (x)dx ；-二二a