重积分及其计算和多重积分

1、重积分和多重积分方法在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 同样可以给类似于第三节,我们先定义一个 R3 中集合的可求体积性读者出一列类似的结论自己推广 . 这里将不再赘述 .引例设一个物体在空间R3 中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为x,y,z ，现在要求这个物体的质量假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域V1,V2,.,V n ，其体积分别是y, V 2, ， Vn，直径分别是 d1,d 2,.,d n , 即 disup|WQ|W,Q V, （ i=1,2,，n ） , |WQ| 表示 W, Q 两点的距离 .

2、设imax d 1,d2,.,d n，则当 很小时， f x, y, z 在 V 上的变化也很小 . 可以用这个小区域上的任意一点 xi,y i,zi 的密度f x i,yi,z i 来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为 f Xj, y j,Zj Vi，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值. 即n.M f x i,yi,zi Vii1当 0 时，这个和式的极限存在，就是物体的质量. 即nM lim 0.f x i ,yi ,zi Vi0 i 1从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限 .

3、 所以我们也可以得到下面一类积分.二、三重积分的定义设 f x,y,z 是空间 R3 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割为若干个可求体积的小闭区域VjVz, ,Vn，这个分割也称为V 的分划，记为P: V1,V2,.,V n. Vi0 Vjo （空 ，ij） ,其体积分别是Vi , V2, ， Vn，直径分别是di ,d2, ， d n . 设max d i,d2 ,dn,或记为 |P|. 在每个小区域中任意取一点Xi, y i,Zi V，作和nf x i, y i ,zi Vi （称为 Riemann 和），若当0 时，这个和式的极限存在，则称其极i1限为函数 f

4、x, y,z 在区域 V 上的三重积分，记为f x, y, z dV . 并称函数 f x, y, z 在V区域 V 上可积 . f x, y,z 称为被积函数 ,x,y,z 称为积分变量 .,V 称为积分区域 .特别地，在直角坐标系下，可以记为f x, y, z dxdydz .V我们同样可以引入Darboux 大 ,小和来判别可积 , 也有同样的结论 （略） .1?若 f x,y,z 是有界闭区域V 上的连续函数，则函数f x,y,z 在区域 V 上可积 .2. 若 f x, y,z =1 时， dxdydz V 的体积 .V3. 若 f x, y,z 在有界闭区域V 上的间断点集合是0

5、体积时 ，f x, y,z 在 V 可积 .三重积分有着与二重积分类似的性质?下面简单叙述一下.1.可积函数的和（或差）及积仍可积.和（差）的积分等于积分的和（差） .2?可积函数的函数k 倍仍可积 .其积分等于该函数积分的k 倍.3 ?设是可求体积的有界闭区域，f x,y,z 在 上可积，分为两个无共同内点的可求体积的闭区域1, 2 之并，则fx,y,z 在 仆 2 上可积，并有f x, y, z dV f x, y, z dV f x, y, z dV.1 2三、三重积分的计算方法同二重积分一样，我们这里给出三重积分的计算方法，理论上的证明读者自己完成1. 利用直角坐标系计算三重积分先给一

6、个结论 .定理 12.14 若函数 f x, y,z 是长方体V=a,b x c,d x e,h 上的可积 ，记 D=c,d x e,h,对任意 x ?a,b, 二重积分I(x)f x, y,z dydzDbb存在 ，则 I (x)dxf x, y, z dydz dx(记为dxf x, y,z dydz )aa Dbb dh也存在 ，且 f x, y, z dVdx f x, y, z dydzdx dy f x, y,z dz .Va Da ce这时右边称为三次积分或累次积分，即三重积分化为三次积分证明 分别中 a,b, c,d, e,h 插入若干个分点ax0x1x2Xn b;欢迎下载2c

7、 yo yiy2yme Z oZiZ2ZshxXj, y yj,zZk ,(i=0,1,2,，n; ,j i =0,1,2,m; k=0,1,2,，s,)VP.Vijk Xi 1,Xi yj1 ,y j Z k 1 ,Z k, (i=1,2 ，n; ,j i =1,2, - , m; k=1,2,s,), Mjk ,mOkf x,y,zv*，?Djk yj 1 , y j Z k 1 ,Z k mjk yj Zkf ( i,y,z)dydz M咏 yj ZkD jk Xi,= X - X i-i,y j,= y j - y j -1 ,zk ,= z k - z k-i , (i=1,2,n;

8、 ,j i=1,2 ，,m; k=1,2,s,).f( i ,y,z)dydz f (i, y,z)dydz 1( Jj， k D jkDnm ijk Xi yjZkI ( i) X i Mjk Xi yj Zki,j,ki 1i,j,khf X, y, zV，f x, y, z dV dz fX, y, z dxdy .VeDz欢迎下载3F 面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成.设函数 f (x, y, z) 在有界闭区域上连J z图 12-4-2.V= 矽续，我们先讨论一种比较特殊的情况.xy,z|x,y D,Z | x, y z z> x, y，其中

9、Dxy 为 在 xoy 平面上的投影，且Dxy x, y | a x b,ydx) y y2 x. 如图 1 2.我们现在 z 轴上做积分，暂时将x, y 看成是常数 ?把函数f x,y,z 看作是 z 的函数，将它在区间乙x,y ,Z 2 x, y 上积分得到z x,yf x, y, z dz .Z i x,y显然这个结果是x, y 的函数，再把这个结果在平面区域Dxy 上做二重积分Z 2 x,yf x, y, z dz dxdy .Z i x,yDxy在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果?若平面区域Dxy 可以用不等式a x b, y i x yy? x 表示，则b y 2 xZ

10、2 x,yf x,y, z dV dx dy f x, y, z dz.yi xZ i x,ya这个公式也将三重积分化为了三次积分.欢迎下载4如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算.例 1 计算三重积分xdV，其中 是由三个坐标面和平面x y z 1 所围的立体区域 .解 积分区域如图所示，可以用不等式表示为0 x 1,0y 1x,0z1 x y ,1 M所以积分可以化为1 /-b V + 1xdV1 1x1 x yxdxdyxdzX0 0J 0/ 11 1xdxx 1 x y dy1 丫0 011 ,20-x 1xdx21 41 3112-x-x x8340124/A Jf图 12-

11、4-3四、三重积分的积分变换和二重积分的积分变换一样，有如下的结果：定理 12.15 设 V 是 uvw 空间 R3 中的有界可求体积的闭区域，T:x=x(u,v,w), y=y(u,v,w),z=z(u,v,w) ，是 V 到 xyz 空间 R3 中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且u v z y _y y u v z z z z(x,y,z )0, (u, v, w) V (称为 Jacobi).(u,v,w)如果 f(x,y,z) 是 T(V) 上的可积函数，那么f (x, y,z)dxdydzf (x(u,v,w), y(u,v, w),z(u,v, w)_(x,y ,z)dudv

12、dwT(V)V(u,v,w)在 R3 中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标1.利用柱面坐标计算三重积分前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算.同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算?我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分.设空间中有一点M x, y, z ，其在坐标面xoy 上的投影点 M'的极坐标为 r,，这样三个数乙 r,就称为点 M 的柱面坐标 ( 如图 12-4-4 ).欢迎下载5' J?kX、yyXjf/A T图 12-4-4这里规定三个变量的变化范围是0 r0注意到，当 r 常数时，表示以z 轴为中心轴的一个柱面.当=常数时，表

13、示通过z 轴，与平面 xoy 的夹角为的半平面 .当 z 常数时，表示平行于平面xoy ，与平面 xoy 距离为 z 的平面 .空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系,即是R3 到 R3 的映射xr cosyr sin .z zcosr sin0所以其 崖 Jacobi 为 - (x, y,z)sinr cos0r,(r, ,z)001故容易得到 ：如果 f(x,y,z) 是 R3 中的有界可求体积的闭区域V 上的可积函数 ，则f x, y,z dV f r cos ,rsin ,zrdrd dz,VV其中 ，变换前后区域都用V 表示 .我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来用三组坐标

14、面 r C i , Ci,z C 3 将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代表性的区域，如图12-4-5 所示的区域可以看成是由底面圆半径为r 和 r dr 两个圆柱面，极角为 和 d 的两个半平面，以及高度为z 和 z dz 的两个平面所围成的 . 它可以近似的看作一个柱体，其底面的面积为rdrd ，高为 dz. 所以其体积为柱面坐标下的体积元素，即dV rdrd dz .再利用两种坐标系之间的关系，可以得到欢迎下载6f x,y,zdV f rcos ,rsin ,zrdrd dz.VV在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分.例 2 计算三重积分x2 y2 dV ，其中是由椭圆抛物

15、面z 4 x 2 y2 和平面z 4 所围成的区域 .解如图所示，积分区域在坐标面 xoy 上的投影是一个圆心在原点的单位圆. 所0 r 1,02 ,4r 2z 4 . 于是x2 y2 dVr 2rdrd dz21 240d0r rdr4r 2 2 dz2135?20d04r4r dr3图 12-4-62. 利用球面坐标计算三重积分我们知道球面坐标用数r, 来表示空间的一个点. 设有直角坐标系的空间点M x, y, z ，点 M 在坐标面 xoy 上的投影M'，其中 r|OM | ,为 x 轴到射线 OM' 转角.为向量 0M 与 z 轴的夹角 . 如图 12-4-7 . 规定

16、三个变量的变化范围是0r02 .0我们可以看到，注意到，当 r常数时 , 表示以原点为球心的球面当=常数时，表示通过z 轴的半平面 .当常数时，表示以原点为顶点，z 轴为中心的锥面 .两种坐标系之间的关系如下：x rsin cos图 12-4-7y r sin sinz r cos即又是一个即是R3 到 R3 的映射 ?它的 Jacobi 是(x,y,z)sin cosr cos sin rrsin sinsin sincos cosrsin cosr 2sin(r,)cosr si n0欢迎下载7由一般的重积分变换公式容易得到：如果 f(x,y,z) 是 R3 中的有界可求体积的闭区域V 上

17、的可积函数 ，则2f x, y, z dV f rsin cos ,r sin sin ,rcos r sin drd d,VV其中 ，变换前后区域都用V 表示 .用几何直观的意义可以如下理解：已知 f(x,y,z) 闭区域 V 上的可积函数 .用三组坐标 r 常数，常数，常数，将积分区域V 划分为若干个小的区域.考虑其中有代表性的区域，此小区域可以看成是有半径为r 和 r dr 的球面，极角为和d 的半平面，与中心轴夹角为和 d 的锥面所围成，它可以近似的看作边长分别是 dr, rd , r sin d的小长方体，从而得到球面坐标系下的体积元素为2dV r sin drd d.再由直角坐标系

18、与球面坐标之间的关系，可以得到下面的公式2f x, y, z dV f rsin cos ,r s in sin ,rcos r sin drd dVV例 3 计算三重积分x2 y2 dV，其中是右半球面x2y2 z2a2, y 0 所围成的区域 .解在球面坐标下，积分区域可以表示为0 r a,0,0所以x2 y2 dV r 2 sin 2 r2 sin drd ddda4? 30 r sin dr0 01ad? 35r d0 0sin5051345acos3cosa5015与二重积分 ，三重积分一样可以定义一般n 重积分 ?我们这里只是简单介绍.当 V 是 R n 中的有界闭区域 .依照可求

19、面积的方法定义V 的可求“体积”或可测( 略 ).设f(X 1, X2,xn,)是 R n 中的有界可测闭区域V 上的函数 ，任取 V 的分划 P,即把分成若干个可测小区域 V1,V2,Vm ,它们的”体积”或测度分别记为V V2, Vm ,当令欢迎下载8di supIQQI IQ1QVi| Q 1Q2 |表示两点的距离 ,II P II max di2,dm对任取 (x1(i),x2i),x()i1,2, ,m),如果, d) V ,(iiiP m。f(X i( i) ,x2i)xni) ) V i 存在 ，称 f(xi, X 2,x n,)是 V 上的可积函数 .其极限值称为f(x i,

20、X 2,xn,)在 V 上的 n 重积分 ，记为nnf(Xi,X2,Xn )dV或f (X i,X2, ,Xn)dX idX2dX n.VV特别 当 V=a i,bix a2,b2x-x an,bn时,nbbbi2nf (X i , X2 , ,Xn )dX idX2 dX ndX i dX 2f (X i , X2 , , X n )dX n.Vaaai2n若 V 上有一一映射 TXi Xi (Ui,U2 ,Un )T :X2 X2(Ui,U2,U n)，其每个分量的函数有连续偏导数,Xn Xn(Ui,U2,Un )当 V 是有界可测区域，f(x i, X2, ,xn,)在 T(V) 上可积

21、，并且JacobiXiXiXiUiU2Un(X i,X2, ,Xn)X2X2X2U n0, (U i,U2 , ,U n) V(U i,U 2, ,Un)UiU2XnXnXnUiU2U n那么nf (X i , X2 ,Xn)dX idX2dX nT(V)f (X i (Ui,U 2,Un ),X2(Ui,U2 ,Un),Xn(Ui,U2 ,U n)V(Xi,X2, ,Xn) dUi dU2 dUn(Ui , U 2 , ,U n)特别是 R n 中的球坐标变换欢迎下载9T : x1r cos 1, x 2r sin 1 cos2, X 3r sin 1 sin2 cos3,xn 1r sin

22、 1 sin 2 sin 3sinn 2 cos n 1 ,xnr si n 1 sin2 sin 3sin n2 sin n 1,在 R n 中，0 r,01 ,2,3,n 2,0n 12 .这时的 Jacobi 是X1X1X1r1n 1(X1, X2,Xn)X2X2X2n 1? n 2? n3sinr1 , n 1)r1n 1r sin1 sin2( ,XnXnXnr1n 1同样可以得到相应的公式n4 求dX1dXn .X12X 22Xn2R2dx2用球坐标 .这时 ,0R,0,0RdX 1dX ndr dsinsinnsin n 2 d n 1222dx20 0XXXn12R2Rn其中sinxdx,