2020春浙教版九年级中考数学复习测试：1.1二次函数的图象和性质

1、第1讲 二次函数的图象和性质学生用书 P1大师导航0 时，在对称轴的左侧，即 xv 2 时，y 随 x 的增大而减小，在对 称轴的右侧，即 x 2a 时，y 随 x 的增大而增大；当 av0 时，在对称轴的左侧， 即xv 2a 时，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，即 x 2a 时，y 随 x 的 增大而减小；1.2018 成都中考关于二次函数 y= 2x2+ 4x 1,下列说法正确的是（D ）A.图象与 y 轴的交点坐标为（0，1）B.图象的对称轴在 y 轴的右侧C. 当 xv0 时，y 的值随 x 值的增大而减小D. y 的最小值为一 3【解析】当 x= 0 时，y= 1,二图象与

2、 y 轴的交点坐标为（0， 1）,故A 错误；图象的对称轴为 x= 1,在 y 轴的左侧，故 B 错误；1vxv0 时，在对称轴的右侧，开口向上，y 的值随 x 值的增大而增大，故 C 错误；y2 2一=2x + 4x 1= 2(x+ 1) 3,开口向上，二有最小值3，D 正确.故选 D.e 知识归纳二次函数 y= ax2+ bx+ c工 0） 的性质当a0 时， 抛物线开口向上， 并向上无限延伸； 当 口向下，并向下无限延伸；av0 时，抛物线开（2）对称轴是 x=石，顶点坐标是(b 4ac b2C 2a，4a 丿;当a0 时，抛物线有最低点,时，y 有最小值4acb24a；当 av0 时，

3、抛物线有最高点，即当y 有最大值4ac b24a2. “数学周报杯”全国初中数学竞赛已知正三角形 AOB 的三个顶点 都在 y = 1x2上，其中 O 为坐标原点，则正三角形 AOB 的面积为(B )A.4 3B. 12 3C. 6 3D. 240 知识归纳|二次函数的图象二次函数 y= a(x m)2+ k(a 0)的图象是抛物线，它有如下特点:(1) a 0，开口向上；av0，开口向下；(2) 对称轴是平行于 y 轴的直线 x= m；顶点坐标是(m， k).3.三明校级自主招生已知函数 y=|x2 2x 3|.(1) 在平面直角坐标系中作出 y= |x2 2x 3|的图象;(2) 结合所作

4、出的图象指出 x 在什么范围内，y 随着 x 增大而增大;(3) 结合所作出的图象，解不等式 x2 2x 3| 5.答图解：(1)；y= |x2 2x 3|= |(x 3)(x+ 1)|,图象与 x 轴的交点为(1, 0), (3, 0),对称轴 x= 1,与 y 轴的交点为 3,图象如答图；(2) 由图象可知，当一 1vxv1, x3 时，y 随着 x 增大而增大；(3) 由 x2 2x 3 = 5,解得 x= 2 或 x= 4,因此当 xv 2 或 x4 时，x2 2x 3|5.类型之二二次函数的平移例 2 余姚自主招生如图，已知抛物线 G:y= x2+ 2mx+ n(m,n 为常数,且

5、mH0, n0)的顶点为 A,与 y 轴交于点 C;抛物线 C2与抛物线 C1关于 y 轴对称，其顶点为 B,连结 AC, BC, AB.2(1)请在横线上直接写出抛物线 C2的表达式：y= x 2mx+ n_；(2) 当 m= 1 时，判定 ABC 的形状，并说明理由；(3) 抛物线 C1上是否存在点 P,使得四边形 ABCP 为菱形？如果存在，请求 出 m的值；如果不存在，请说明理由.【思路生成】(1)关注对称轴，顶点，与坐标轴交点的坐标变化;(2) 根据轴对称的性质可判断出ACB 是等腰三角形；当 m= 1 时，可过 A 作Ci的对称轴 AD，过 C 作 AD 的垂线，设垂足为 E,利用

6、 A，C 的坐标，求得 AE, CE的长，从而证得/ ACE= 45进而求出/ ACy= / BCy= 45即厶 ACB 是等腰直角三角形；(3) 若四边形 ABCP 是菱形，且 P 在 Ci上，那么 C，P 必关于 AD 对称，即 CP经过 E 点；若四边形 ABCP 是菱形，则有 AB= BC，此时 ABC 是等边三角 形，那么/ ACy=ZBCy= 30故/ACE = 60可仿照的解题方法，表示出 A， C 的坐标，进而得到 AE，CE 的长，求 m 的值.解：(2)当 m= 1 时，ABC 为等腰直角三角形，理由如下：点 A 与点 B 关于 y 轴对称，点 C 又在 y 轴上，/ AC

7、= BC，如答图，过点 A 作抛物线 Ci的对称轴交 x 轴于 D，过点 C 作 CE 丄 AD 于 E.当 m= 1 时，顶点 A 的坐标为 A(1，1+ n)，二 CE= 1;又点 C 的坐标为(0，n)， AE= 1+ nn= 1， AE= CE，ECA=/ ACy= 45由对称性知/ BCy= / ACy= 45 , ABC 为等腰直角三角形;(3)假设抛物线 Ci上存在点 P,使得四边形 ABCP 为菱形，则 PC= AB= BC.由知 AC= BC,二 AB= BC= AC,ABC 为等边三角形./ ACy=/ BCy= 30四边形 ABCP 为菱形，且点 P 在 Ci上,点 P

8、与点 C 关于 AD 对称，二 PC 与 AD 的交点也为点 E,/ ACE= 90 30 = 60点 A, C 的坐标分别为 A(m, m2+ n), C(0, n), AE= m2+ n n= m2, CE= |m|.在 RtAACE 中，由勾股定理得 AE= . 3CE, m2= ,3|m|.|m|= .3 或 0(舍去)， m= . 3.故抛物线 Ci上存在点 P,使得四边形 ABCP 为菱形，此时 m=. 3.知识归绅二次函数的平移上加下减上加下减 向上(T 此巴向下平移向下平移 向右闇向右闇个单位个单位向右向右心心0)t左左(fflAO),加加彳彳向左向左加加 右右向左向左减减(m

9、cO)(m0)平移协平移协平移皿平移皿个单位个单位个单位1f上加上加fy=a(jcrnp卜减卜减r ry=i(xrrip+k向上向上仇仇D*向下向下(t0)与坐标轴有 三个交点，这三点构成一个三角形，若将 C 向左平移 2 个单位，三角形的面积 变为原来的 11 倍，求 m 的值.解：设抛物线与 x 轴的两个交点为(X1, 0)，(X2, 0)，X1VX2,1由根与系数的关系，得 X1+ x2= 1, X1X2= m,由A0,得 mv4,于是抛物线与 X 轴的两个交点间的距离是X2 X1= (X1+ X2)2 4X1X2=1 4m,将 C 向左平移 2 个单位，将得到的新抛物线是y= (x+

10、2)2+ (x+ 2) m,2即 y= x 3x 2 m,抛物线向左平移，与 x 轴的两个交点间的距离不变,平移后抛物线与 x 轴的两个交点间的距离仍是-1 4m,又平移后抛物线与 y 轴间的交点为(0, 2 m),从函数图象中获取信息 a 的作用：决定开口的方向和大小.(1)a0 开口向上，av0 开口向下；|a|越大，抛物线的开口越小.b 的作用：决定顶点的位置.左(对称轴在 y 轴左边)抛物线 C 与 y 轴的交点是(0, m),平移后三角形的面积(m+ 2) - 1 4m三角形的面积2解得 m= 满足题意.同（a, b 同号）右（对称轴在 y 轴右边）异（a, b 异号）c 的作用：决

11、定抛物线与 y 轴交点的位置.上（抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴）正（c 0）下（抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴）负（cv0）a+ b+ c 的符号：当 x= 1 时，看 y 的值是正的还是负的.a b+ c 的符号：当 x= 1 时，看 y 的值是正的还是负的.2a+ b 的符号：看对称轴 x=2a 大于 i 还是小于 1.2a b 的符号：看对称轴 x=大于1 还是小于1.2a类型之三从函数图象中获取信息例 3 如图，二次函数 y= ax2+ bx+ c（a0）的图象的顶点为点 D,其图象与 x 轴的交点 A, B 的横坐标分别为一 1, 3,与 y 轴负半轴交于点 C.在

12、下面五个结论1中：2a b = 0;a+ b+ c0:c= 3a:只有当 a = 2 时， ABD 是等腰 直角三角形；使 ACB 为等腰三角形的 a 的值可以有四个.其中正确的结论是_（只填序号）i0 1 -AB加加/ /【思路生成】先根据图象与 x 轴的交点 A, B 的横坐标分别为一 1, 3 确定出 AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴 的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理， 进而对所给结论进行判断.【解析】 图象与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为一 1，3, AB= 4， 对称轴 x=-b

13、 =12a1，即 2a + b= 0，故错误；2根据图象可知，当 x= 1 时，yv0，即 a+ b+ cv0，故错误;3点 A 的坐标为（一 1，0），.a b+ c= 0,且 b= 2a，a+ 2a + c= 0，即 c= 3a，故正确;答图134当 a=时，则 b= 1, c= 2,对称轴 x= 1 与 x 轴的交点为 E,如答图，13抛物线的表达式为 尸 1x2x3,13把 x= 1 代入得 y= 2 1 二2,点 D 的坐标为(1, 2),二 AE= 2, BE= 2, DE= 2,ADE 和厶 BDE 都为等腰直角三角形， ABD 为等腰直角三角形，故正确；5要使 ACB 为等腰三

14、角形，则必须保证 AB= BC = 4 或 AB = AC = 4 或 AC=BC,当 AB=BC = 4 时， A0=， BOC 为直角三角形，OC 的长即为|c|, c2= 42 32= 7,抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上， c= 7,与 2a+ b= 0, a b+ c= 0 联立组成方程组，解得 a#;同理当 AB = AC = 4 时， A0=， AOC 为直角三角形，0C 的长即为|c|, c2= 42 12= 15.抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上， c= 15.与 2a + b= 0, a b+ c= 0 联立组成方程组，解得 ah*5;同理当 AC= B

15、C 时， 在厶 AOC 中，AC2= 12+ c2,在厶 BOC 中，BC2= c2+ 32,TAC= BC,. 1 +C=c+ 9,此方程无解.经讨论可知只有两个 a 值满足条件，故错误.综上所述，正确的结论是.22=3(x 4) 3,解得 X1= 1, x2= 37, 当 1vxv37 时，y1y,错误.故选变式 跟进7.宜宾中考如图，抛物线 yi= *x+ 1)2+ 1 与 y2= a(x 4)2 3 交于点 A(1,3),过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于 B，C 两点，且 D，E 分别为 顶点.则下列结论：a =舟；AC = AE;厶 ABD 是等腰直角三角形；当 x1

16、 时，yiy2，其中正确结论的个数是(B )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个22【解析】 抛物线 y2= a(x 4) 3 过点 A(1， 3)， 3 = 9a 3，解得 a=3正确；由题意可知 E(4， 3),点 A(1，3)，C 关于 x= 4 对称，得到 C(7, 3)， AC= 6,而 AE= (1 4)2+( 3+ 3)2= 3 5，故 AC AE,错误；由抛物线的对称性可知，AD = BD = 2 .2, AB= 4, / ABD 是等腰直角三角形， 12正确；两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，贝 u2(x+1)2+1B.28.次函数 y= ax+

17、b(a0)、二次函数 y= ax + bx 和反比 例函数 y= X 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐入标为(-2, 0),则下列结论中，正确的是(D )二次函数的最值问题解答这类最大值或最小值问题，要注意根据自变量取值范围和二次函数的增 减性求最大值或最小值.类型之四二次函数的最值问题例 4 徐汇区校级自主招生当一 1 xb0D. ak0im+1=一 1,解得 mi= - 2(舍去),m2=2;当 m2 时，x= 2 时 y 取最小值，223(2 m) m + 1 = 1,解得 m= 2(舍去)3综上所述，m 的值为3或 2.变式9.2017 诸暨校级自主招生当 0Wx3,函数

18、y= x2+ 4x+ 5 的最大值与 最小值分别是(A )A. 9, 5B. 8, 5 C. 9, 8 D . 8, 4【解析】y = x2+ 4x + 5 = (x 2)2+ 9，当 x= 2 时，最大值是 9, 0 x3, x= 0 时，最小值是 5,10. 浦东新区校级自主招生二次函数 y=x2 2ax+ a 在 0wx 3 上有最小 值一 2,则 a 的值为_.【解析】 二次函数 y=x2 2ax+ a 图象的对称轴为直线 x= a,当 a3 时，x= 3 时 y 取最小值， 9116a + a= 2,解得 a= 5（舍去）.综上所述，a 的值为吃.11. 西湖区校级自主招生在厶 AB

19、C 中，/ A,ZB 所对的边分别为 a, b,/ C= 70.若二次函数 y= (a + b)x2+ (a + b)x (a b)的最小值为一号，则/ A=_55_度.【解析】将二次函数配方得：y (a+ b)Jx+ 驴5a+b, 该二次函数的aa 53最小值为一 2，二一 2=一 4* + 4b，整理，得 a匕，在厶 ABC 中，C= 70,当 a b 时，/ AZB 55.【解析】原式-4+4+463A 选项中，如答图，作 TE 丄 x 轴，TG 丄 y 轴，易得 GTFAETD,故阴影 部分面积为 1X1 1；13B 选项中，当 x 1 时，y 3,阴影部分面积为 1X3Xq-；答图例

20、 5 华师一附中高一自招下列图中阴影部分面积与算式1的结果相同的是（B ）+ 1 2+2C 选项中，当 y 0 时，x，当 x 0 时，y 1，1阴影部分面积为1 - (-1) x2=i；i iD 选项中，阴影部分面积为 2&二 1.故选 B.2.2018 德州中考如图，函数 y= ax2 2x+ 1 和 y= ax a(a 是常数，且 a0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(B )思维训练学生用书 P1【思维入1. 2018 宁波中考如图，二次函数 y= ax2+ bx 的图象开 口向下，且经过第三象限的点 P,若点 P 的横坐标为一 1,则 一次函数 y= (a- b)x+ b 的

21、图象大致是(D )AB【解析】 当 a0 时，二次函数图象的对称轴在 y 轴的右侧，一次函数的图 象上升，A，C 错误；当 a0 时，二次函数图象的对称轴在 y 轴的左侧，D 错误.故 选B.3. 2018 黄冈中考当 axa+ 1 时，函数 y= x2 2x+ 1 的最小值为 1,则a 的值为(D )B. 2C. 0 或 2【解析】y= x2 2x+1 = (x 1)2,该函数在实数范围内最小值为 0，但题中 说当 ax a+ 1 时，函数 y= x2 2x+ 1 的最小值为 1，因此，当 x= a 或 x= a + 1 时，函数值为 1，令 y= 1，可得 X1= 0，x2= 2，再由该函

22、数的增减性可知 a + 1 = 0,或 a=2,即 a= 1 或 2,故选 D.4. 2018 市北区校级自主招生已知二次函数 y1= ax2+bx+ c(bc)图象的最 高点坐标为(2, 4),则一次函数 y2= (b c)x+ b2 4ac 图象可能在(B )、四象限、二象限【解析】由题意得 yi= a(x+ 2)2+ 4, 即卩 yi= ax2+ 4ax+ 4a+ 4,二 b= 4a, c=4a + 4, b c= 4,2 = (4a) 4a(4a+ 4)= 16a,-a0,故一次函数 y2 (b c)x+ b2 4ac 的图象可能在第一、二、四象限。5.已知抛物线 y x2 k 的顶点

23、为 P,与 x 轴交于点 A, B,且厶 ABP 是正三 角形，贝 U k 的值是_3_.【解析】抛物线 yx2 k 的顶点为 P,且与 x 轴交于两点， P 点的坐标为(0, k)，且 k0, PO k.v抛物线 y x2 k 与 x 轴交于 A, B 两点，且J3 ABP 是正三角形， OA OB, / OPB 30 OBk，点 B 的坐标为c.、四象限、四象限,0，点 B 在抛物线 yx2 k 上, 将点 B 的坐标代入 yx2 k,得 02 k,整理得即k 0,解得 k1 0(不合题意舍去),k2 3.6. 2018 遵义中考如图， 抛物线 y x2+ 2x 3 与 x 轴交于 A,

24、B 两点，与 y 轴交于点 C,点 P 是抛物线对 称轴上任意一点，若点 D, E, F 分别是 BC, BP, PC 的中点，连结 DE, DF，贝 U DE + DF 的最小值为【解析】 如答图，连结 AC,交对称轴于点 P,贝吐匕时 PC+ PB 最小,点 D, E, F 分别是 BC, BP, PC 的中点，fL 11 DE = 2PC, DF = 2PB，2抛物线 y=x + 2x-3 与 x 轴交于 A, B 两点，与 y 轴交于点 C,当 y= 0 时，0 = x2+ 2x-3,解得 xi= 3,X2= 1,贝 U AO = 3,当 x= 0 时，y= 3,故 CO = 3, A

25、C = 3 2, DE+ DF = PC + PBPC + 2PA=推=誉，即卩 DE+ DF 的最小值为3,22.【思维拓展】27.如图，二次函数 y=x + bx+ c 的图象过点 B(0,82),它与反比例函数 y=-的图象交于点 A(m, 4),入则这个二次函数的表达式为(A )22A. y=x x 2B. y=x x+ 222C. y=x2+ x 2D . y = x2+ x+ 28.荆州竞赛题已知抛物线 y = ax2+ bx+ c（a 0）的图象的顶点在第一象限, 且过点（0, 1）和点（一 1, 0）,则 s= a+ b+ c 的值的变化范围是（B ）A. 0s1B . 0s2

26、C.1s2D . - 1s0 且 a0.又Ib= a+ 1, a0,2b= 2a + 22,二 0saa2,那么 0vav1 ；a2如果 a2aa 那么 a 1 ；3如果 a a2 a,那么-1vavo；214如果 a2_ a 时，那么 av- 1,则（A ）aA .正确的命题是B. 错误的命题是C 正确的命题是D.错误的命题只有【解析】 由三个函数的图象得，易求 x= 1 时，三个函数的函数值都是 1,三个函数的交点坐标为（1,1）.1根据对称性，y= x 和 y=x 在第三象限的交点坐标为（1, 1）.121如果 aa，那么 Ovav1,故正确；a12如果 a aa，那么 a 1 或1va

27、v0，故错误；a123如果-a1 4a，那么 a 的值不存在，故错误；a214如果 a2aa 时，那么 av 1，故正确.a综上所述，正确的命题是 .10. 德阳中考若抛物线 y= ax +n（na1axn（n： 1）与 x 轴交于 An，Bn两点（a 为常数，a 0，n 为自然数，n1），用 Sn表示 An，Bn两点间的距离,贝US1+S2 019_2 019 -2 020.nn+1【解令 y= 0,可以得到 An和 Bn的坐标分别为 An*, 0 .Bn1 n+1,11. 2017 浦东新区校级自主招生抛物线 y_ax2+ bx+ c,抛物线上两点S1+ S2+ + S2 019= 1 2

28、 + 2 3+1 1 _2 0192 020_1_ 2 0192 020_ 2 020.答图A( 5, yi), B(3, y2)，抛物线顶点是(xo, yo)，当 yiy2yo时，求 xo的取值范围解：抛物线顶点是(xo, yo),且 yiy2yo,抛物线的开口向上， ( 5, 0)与(3, 0)关于(1, 0)对称，抛物线的对称轴为 x= 1 时，此时 yi= y2,xo 1.12. 浙江省竞赛题已知二次函数 y=x2+ 2(m+ 1)x m+ 1.(1) 随着 m 的变化,该二次函数图象的顶点 P 是否都在某条抛物线上？如果是,请求出该抛物线的函数表达式；如果不是,请说明理由；(2) 如

29、果直线 y=x+ 1 经过二次函数 y=x2+ 2(m+ 1)x m+ 1 图象的顶点 P, 求此时 m 的值.解：(1)该二次函数图象的顶点 P 都在某条抛物线上求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得 y= (x+ m+ 1)2 m2 3m,顶点坐标是 P( m 1, m? 3m),22令 m 1 = x,贝卩 m= x 1, 将其代入一 m 3m, 得一(一 x 1) 3(x1)= x2+ x+ 2.即抛物线的函数表达式是 y= x2+ x+ 2；如果顶点 P( m 1, m2 3m)在直线 y=x+ 1 上,贝 U后一 3m= m 1 + 1,即卩 m2= 2m,答图 m= 0 或 m

30、= 2,当直线 y= x+ 1 经过二次函数 y= x2+ 2(m+ 1)x m+ 1 图象的顶点 P 时, m的值是一 2 或 0.13. 2017 衢州中考定义：如图 1,抛物线 y= ax2+ bx+ c(a0)与 x 轴交于A, B 两点，点 P 在抛物线上(P 点与 A, B 两点不重合)，如果 ABP 的三边满足 AP2+ BP2= AB2，则称点 P 为抛物线 y= ax2+ bx+ c(a 0)的勾股点.(1) 直接写出抛物线 y= x2+1 的勾股点坐标；(2) 如图 2,已知抛物线 C: y= ax2+ bx(a0)与 x 轴交于 A, B 两点，点 P(1,.3)是抛物线 C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式；(3) 在(2)的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 8ABQ=压ABP的 Q 点(异 于点 P)的坐标.解：(1)勾股点的坐标为(0, 1);(2)抛物线 y= ax2+ bx 过原点，即点 A(