外接球内切球问题答案

1、1球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题1.1 球与正方体如圏1所示.正方体朋GQrjVGR设正方体的棱长为I卫巒的中点.O沟球的球-卜常见组合方式有三熬一是球 为正片体的内切球】截面图为正JK EFQH和其内切园丨则 |的=心即 二是与正方体各様相切的璐Sffi图対正方形曲和 其外接團 则|«卜氏=#“三是球垢正方体的外接球，戡面圄先 长方形生鸥g和具外接圆，则o二尺二乎乩通过送三种粪型可啾发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合

2、的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题WUijM4tJLs6nZ4。例1 棱长为1的正方体ABCD ABiCiDi的8个顶点都在球 0的表面上，E, F分别是棱AAi , DDi的中点，则直线EF被球0截得的线段长为（)A 2 b . 1 C. 122 2D.2 33kMLuE<oDOKgNB« :由题意可知.球为正方偸的外捲球.平面隅如截面所得凰面的半径R = 1 = f I EF u-直箜EE被球0截得的线段为球的截面圆的頁徨22忑一2 21.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存

3、在外切球但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R -b一. ne4DbVF 7p8h43l2 2例2在长、宽、高分别为 2, 2, 4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为（）A.* B.4 n7nD. 9KEm28。uxztwkJ。外接球内切球问题答案毎：常Jffl运动的娈点分析在于球移动的过程中，进过部分的几何体.因半径为1的小球恰好为棱长芮2的正 方体的内切球，故小球经过空阊由上彳主下看两2半个小球、高汁2的画柱和半片小球，三

4、部分的即积处z xl3 X 丄 十 7TK12x2=7T.3231.3 球与正棱柱球2股的正棱柱的组合体常以外接形态居多.下面段正三棱柱 次例，介绍本类题目的解法构造直第三肃册法.谟正三棱柱 ABC-45ii的高为菟底面边长为宀 如图2所示，D和耳分别为 上下底面的中心根据几何饰的特埶 球心必落在高DD的中点6L斤QD二一二农月卫二、一氐借助直角三角形乂0D的勾股定理，可23求氏二*$ +号）'例3正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在半径为 R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值,解如图乳截面图淘长方形卫6瑯巧和其外接圆球心为码的中点0, 则R - 0A役正四棱柱的刨棱长为&

5、amp; 底茴边长为口 . SM巧hAC 二屁.AE 二gOE 二-.4R2 =2把+护加证四棱桂的侧面积:22£二4必二书- 2m屈莖強（卅+ 2护）二4罷丈,故侧面积有最尢區 次価# 当且仅肖“屉时等号威立.2球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种 形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问 题.p7d1Sli。CICQ1OT2.1球与正四面体正匹面悴作为一个规则的几何体.它既存在外接球*也存在內 切臻，并且两心合一，利用这点可II帧利解淒球的半径与正四而旅的 棱长的关系.如图

6、£设正四俞体的棱长为j內切球半径 沖厂，外接球的半径黄氏，取月0的中点背D, E为吕在底而的射 影,连捋C口血用E为止四面库的高在爺面三甬形血作一亍 写边皿和 尢相切,圆心在高阿上的13即为内切球的裁面因再 正四面体本身的对称性可知，外揍球和內切球的琼心同背O.此时, CO=O=R,OE = r .=弓务 则 有|a, R2 r2 |CE2二专，解得:R 乎a,r12a.这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心0为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.GLsyWk3 EYLUrDu例4将半径都为

7、1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为（）-3 26 B. 2+C. 4+空 D. 4 3 2 ；63333聲容器四面IV中的这四个小球，以四个出睡肯球心洵顶点构成了一个棱长次2的“球心正四面体A这个四面那的畐杲“单位正四面tr高（）的2倍."球心正四面悴“的底而到"容器正四33面体”的地面为小球半径1，而“球心正四面惦"顶点到"容器正四fifr"的顶邑的距禽为3小球半径的J倍），于是杯容器正四面体"闌高为迹+了+1,选择C.这个®卜球半径的3倍"最这样想的：做一个屮 3球的外切正

8、四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的 3倍.UV3ToOY 0108cpt。22球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形c；B.0c则正ATP3.HB球的半径正三棱锥补形为正方俶”二2庆/ M 代 丄 卩为长方体的体对甫线扶）.44例5 在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱 SC、BC的中点，且 AM MN,若侧棱SA 2.3 ,awRIVZz ueOBOlz2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上

9、，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球法，即把三藪锥床储咸正肓体或者按芳体.常见两种形式:三棱锥用-肋0外接球的表面积是解：如图6f正三棱谁对梗相互垂直即丄站，又是三棱锥的三条侧械互相垂直并且相弄，则可囚补形菊一介正方邮，它的外摟球的球心就是三棱锥的外摟球的球心-如图5,三棲锥4 - A的外接域的球心和正方体抠CQ人耳匚厲的外接球的球心重合.设勒 nSBfl MNr:. MN證M丄平面£40S = 4 兀F =于是 浙丄平面谢册丄肪 丄EC”从而 M丄SU/此对IE三棱的三条测棱互相垂直并且相慕 故将 綵讣弊二是如果三棱锥的三条

10、侧棱互相垂直井且不相等,则可以桂洵一个岳方库，它的外接球的球心就是三棱雄的外捲球的球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R .这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.lYikLYB。rLsiFX7。例6在三棱锥P ABC中，PA= PB=PC= 3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（h0zL5Pc。zDTjHTuB.-C. 43生0 =酹丹=屯.叙 A0=3S又山创 为需甫三甫舷，二AHAQ2OH+r 1,/. r=-/Tx23=r24球与特殊的槎律球写一些特殊的擾锥

11、进行组合，一定曼抓住祓锥的几何性质，可彖合利用話面法、补形法等世行求解.例如，四个面都是直毎三角形的三棱锥,可利用直用三甬形斜诅申点几何特征，巧定球心位直如图&三械锥丄面AB匚AB取的中点为O,由直珀三甫殛的性质可得.OA = OS = OB = OC所UAO点为三棱链S-ABC的外SC接球的球心，则R 3C2例7矩形ABCD中，AB 4,BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D ,则四面体ABCD的外接球的体积是（）A.125B空C空 D.129612534D.3解如图T所示，过P点作底垂线，垂泉掬O.设用为外揍球的球心，连因解*由题意分析可知，四面悴的外捋球的球心

12、落在占C的中点，mS_OA = OD = 08 = OGr3 球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需 掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化 平面问题求解 .a44W9aG kx9mN8Z例7在半径为宣的球内敢入大于相諄的4个小球，则小球羊径的最大值沟()A. / 1£B 一 Li】)丘匚+丘D, 4-J?-43幕要使得小球的半径最穴，需棲得4个小球的球心次一个正四面体的四个顶竄 如图？所示，此时正四面体A-BCD的外播球的球心再e 即泞F径为證的球的球心则M =几又因0対的

13、四分自故AOy=R-r)r在R£LABOr中,抠+加严彳见.肚-刁审=(汀-(|屈冗:r=(-2)Rr4球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位半：r.2a .4置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一图10例8把一个皮球放入如图 10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四梭惟形骨架内使皮球的表面与S根铁丝都有撇也為则皮球的半径为( )A. 10n/3 cmB. 10 cm嶄:如图11所示由题直球心在ap上.球心禹。过o柞册聞垂线绷垂凤为皿0沪略OM=It因为各个棱都为&#

14、163;0,所以AJT10, BP=203B110）AB=wV2 ,设灯R4二乩ROP，所 IHOP 二血.在 /AOAM 中，OM2 = AO-hAM2,所以，A3 = (102-)a+100,在总山吕pm中，胪=咧+血,所以10柘.在左沁p胡 中FMa = AM2 ,所UA pm迈在他避中.3=箸普乎，在应5中,黑愕哙切解鬲尺=10或！30（舍），所从氏=l（k隔故选氐综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通 过作截面来解决如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多 面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解

15、决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多 面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确.3TUN9A。uaLfQH61. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）PnvvFY7 8as91aSA 33B3C<3D答案 B434122.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA,2 , BAC120，则此球的表面积等于。解：在ABC 中 ABAC 2, BAC 120 ,

16、可得 BC2 3,由正弦定理，可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为O，在RT OBO中，易得球半径R ，5，故此球的表为 4 R2 20 . 7l7dGVi。ETHZkBx3正三棱柱 ABC AB1G内接于半径为 2的球，若 A,B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为答案 84. 表面积为2； 3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A.D 红2 答案 a3【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由23知,a 1，则此球的直径为 2，故选A。325. 已知正方体外接球的体积是一，那么正方体的棱长等于（3A.2 , 2 B.C.D.DMRwjOqu

17、 E43wVyB6. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）D. 1 : 9 答案Ce6aAfhZ。aeZfdBt。7. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱94的体积为一，底面周长为3,则这个球的体积为.答案 一 2oI3mTN IbZkLOU838. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1, 2, 3,则此球的表面积为.答案 14 nsfnvcn。rldL5WQ9. （一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 _cm 2.答案 24、. 2 Z9lsXlr。aL7x9dU10. 如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是11.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 答案-.212. 一个