第二讲格林公式ppt课件

1、格林格林GreenGreen公式公式2.2.平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件 格林公式及其应用格林公式及其应用3.3.原函数与全微分方程原函数与全微分方程 如果平面区域如果平面区域D D内任一闭曲线所围成的部分都于内任一闭曲线所围成的部分都于D D， 则称则称D D为单连通区域；为单连通区域； 否则称为复连通区域。否则称为复连通区域。复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD1 1、单连通区域和复连通区域、单连通区域和复连通区域封闭曲线封闭曲线L L的正向的正向: :D2L1LD组组成成与与由由21LLLL当观察者沿曲线当观察者沿曲线L行走时，行走时，L所围区域所

2、围区域D总在此人左边。总在此人左边。2L1LD组组成成与与由由21LLL一一. 格林公式格林公式在格林公式中：DDxOy的面积为面上有界闭区域记xQyP,取LDyQxPyxyPxQdddd)(LDxyyxyxdddd2LxyyxDdd21则：.sin,cosDbyax所围成图形的面积椭圆求解解例LxyyxDdd21d )sincos(212022ababd 220abab.dd,:22222LyxyxyxayxL取逆时针方向，计算设解解例Lyxyxyxdd22DyxyPxQdd)(Dyxyxdd)(222003ddrra421a，顺时针方向。为顶点的三角形的边界、求 )2 , 3( )0 ,

3、3( )0 , 0( : ,d)653(d)42( LyyxxyxL原式。记相应三角域为 DDyxyPxQdd)(Dyxdd4|4 D12)0 , 0(O)0 , 3()2 , 3(D例解解。 (0,0)(0,2)到从为沿右半圆周求OA yxLyxyexyexLxx1)1( ,d)3sin(d)cos(222解解用格林公式。原式OAD。记右半圆域为 DDyxyPxQdd)(OADyxdd3OA. 12cos23| 3 D20d sinyyDLAO例二二. .平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件)()(21ddddABLABLyQxPyQxP与路径无关：曲线积分LyQxP

4、dd那么，下面四条等价：，、开区域，单连通为设 (D),(),( 1CyxQyxPD用格林公式导出的四个等价结论用格林公式导出的四个等价结论 1)；内，在yPxQD 0dd 2)；有，闭路对LyQxPDL ),( dd 4)的全微分，是某个函数内，在yxuyQxPD dd 3)；内，在与路径无关AByQxPDDyxyQxPu),(,ddd即：证明证明）内，（在 1)yPxQD 0dd 2)）有，闭路（对LyQxPDL dd LyQxP dd)(*DyxyPxQ格林公式；0所围有界闭区域。为其中，LD* ) dd ( 3)与路径无关AByQxPD内，在）有，闭路（对 0dd 2)LyQxPDL

5、12LL的路径，、终点为起点为中是、设BADLL 21，12LLLLyQxPdd 0 2) ，由12 LL dd ；内，在与路径无关AByQxPD 12LL21 LL1LAB2L的全微分）是某个函数（),( dd 4)yxuyQxP dd 3)）内，（在与路径无关AByQxPD dd ),(),(),(00yxyxyQxPyxu记D),(00yxA),(yxB),(1yxxB ),(),( yxuyxxu则 ),(),(00yxxyx),(),(00yxyx),(),(yxxyxxyxxP),(1BBxxxdxyxP),(),(lim),(0yxxPyxuxx),(yxP)(1DC)(,1DC

6、Quy同理;ddd yQxPu 1)）内，（在yPxQD的全微分）是某个函数内，（在),( 4)yxuQdyPdxD证毕。, ddd yQxPu记Pxu 则Qyu， (D)1C， (D)1CyxuyP2 则xyu2.xQ那么，下面四条等价：，、开区域，单连通为设 (D),(),( 1CyxQyxPD用格林公式导出的四个等价结论用格林公式导出的四个等价结论 1)；内，在yPxQD 0dd 2)；有，闭路对LyQxPDL ),( dd 4)的全微分，是某个函数内，在yxuyQxPD dd 3)；内，在与路径无关AByQxPDDyxyQxPdu),(,dd即： 解解 这里P2xy Qx2 选择从O(

7、0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线 11102dy 因为xxQyP2 所以积分 Ldyxxydx22与路径无关 例的一段弧。到从为抛物线其中计算) 1 , 1 ()0 , 0(,dd222BOxyLyxxxyL则 ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx222222 用参数法。原式,cos ,dd 322taxAByxxyyxAB为星形线求2023233333)sin()cos()cos(dsin)sin(dcostatatatatatatttttdsincoscossin3206622ttttandtan1tan32062.2)arctan(tan0 203

8、t例解法一解法一的弧段。到从上 2 0 sin3ttay ,cos ,dd 322taxAByxxyyxAB为星形线求例解法二解法二的弧段。到从上 2 0 sin3ttay 原式20d,yPxQ),0,0(),(yx上积分与路径无关。在 0: yxD, ),0( )0 ,( 0)0,( : 222的弧段到上从取aBaAyxayxLLyxxyyx22dd Lxyyxadd1 2220:,sin,cos:ayaxL,cos ,dd 322taxAByxxyyxAB为星形线求例解法三解法三的弧段。到从上 2 0 sin3ttay 改变积分路径。原式ayaya022d, ),( , : aaCCBAC

9、l其中取ACyaya22d2CBaxxa22d022daaxxaayaya022d2积分？到顺时针从能否沿 222BAayx积分？到从能否沿 BAOBAO问：问：ayaxAC0:,:0:,:axayCB三三. .原函数与全微分方程原函数与全微分方程 表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出这个二元函数呢？ 二元函数u(x y)的全微分为du(x y)=ux(x y)dxuy(x y)dy v原函数原函数 如果函数u(x

10、 y)满足du(x y)=P(x y)dxQ(x y)dy 则函数u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数.v定理定理 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通开区域G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分在G内恒成立 xQyP的充分必要条件是等式 v求原函数的公式求原函数的公式 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0 验证 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全

11、微分 并求出一个这样的函数 这里Pxy2 Qx2y 解解 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有yPxyxQ2 所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 ),()0 , 0(22),(yxydyxdxxyyxu202202yxydyxy 取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数为202202yxydyxy 例例.d1d2d),(222yxyxxyxuxyyxu时，有使得当求 解解 这里 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有 yPyxxyxQ22222)( 22yxyP 22yxxQ 所以在右半平面内 22yxydxxd

12、y 是某个函数的全微分 ),()0 , 1 (22),(yxyxydxxdyyxu 取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线yyxxdy0220 xyarctanyyxxdy0220 xyarctan 则所求函数为例半平面内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 验证:22yxydxxdy在右 v全微分方程全微分方程的的左端是某个函数若方程),(0ddyxuyQxP全微分，即yQxPuddd程。则称该方程为全微分方为该方程的通解。Cyxu),(例解解 0d)2(2d)(22。求全微分方程xxyxyyx)2(2),( xyxyxP令xQxyP 2)(),(22yxyxQ程

13、。可知该方程为全微分方)0 , 0(),(00yx取yxyyxQxxPyxu00d),(d)0 ,(),(yxyyxxx0202d)(d42yxyyxxx0202d)(d4234332yxyxCyxyx34332故方程的通解为练解解 0dd)2(。求全微分方程xeyyxeyyyeyxP),( 令xQeyPy yxeyxQy2),(程。可知该方程为全微分方)0 , 0(),(00yx取yxyyxQxxPyxu00d),(d)0 ,(),(yyxyyyxexe00d)2(d2yxeyCyxey2故方程的通解为解解(1) 当D) 0, 0 (时, , xyOLDLyxxyyx0dd22例L1DrlyxOlLyxydxxdy2210Ddxdy0lLyxydxxdy22drrr22222sincos20.2(注意格林公式的条件)1D LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非