第1章实数重点

1、第一章 实数集与函数§1 实数 一 实数及其性质有理数可用分数形式（为整数，）表示，也可以用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数。规定：对于正有限小数(包括正整数)，当时，其中为非负整数，记；而当为正整数时，则记。对于负有限小数(包括负整数)，则先将表示为无限小数,再将所得无限小数之前加负号。又规定数0表示为。于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。定义1 给定两个非负实数，其中为非负整数，为整数，。若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得而，则称大于，记为或。对于负实数与，当时，规定；当时，规定（或）。规定任何

2、非负数实数大于任何负实数。定义2 设为非负实数。称有理数为实数的位不足近似，而有理数称为实数的位过剩近似，。对于负实数其位不足近似与位过剩近似分别规定为与。注 ，而。命题 设与为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数，使得。这时有理数满足。记为实数。实数有如下一些主要性质：1. 任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。2. （有序性）任意两个实数必满足下述三个关系之一：。3. （传递性）若，则有。4. （Archimedes性）对任何，若，则存在正整数，使得。5. （稠密性）任何两个不相等的实数之间必有另一个实数。6. 任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一

3、地代表一个实数。于是，实数集与数轴上的点有着一一对应关系。常把“实数”与“数轴上的点”这两种说法看作具有相同的含义。例题 设。证明：若对任何正数有，则。证 用反证法。若结论不成立，则根据实数的有序隆，有。令，则为正数且，这与假设相矛盾。从而必有。二 绝对值与不等式实数的绝对值定义为 从数轴上看数的绝对值就是点到原点的距离。实数的绝对值有如下一些性质：1. ，当且仅当；2. ；3. ；4. 有三角不等式:；5. ；6. 。§2 数集、确界原理一 区间与领域设，称数集为开区间；称数集为闭区间；称数集和为半开半闭区间，以上区间统称为有限区间。以下数集称为无限区间：，。有限区间和无限区间统称

4、为区间。设。的领域：；的空心领域：；的右领域：；的左领域：；的空心右领域：；的空心左领域：。设，领域：；领域：；领域：。二 有界集、确界原理定义1 设S为R中的一个数集。若存在数M（L），使得对一切，都有，则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的上界（下界）。若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。例1 证明数集为正整数有下界而地上界。定义2设S为R中的一个数集。若数满足：（i）对一切，有，即是S的上界；（ii）对任何，存在，使得，即是S的最小上界，则称数为数集S的上确界，记作。 定义2设S为R中的一个数集。若数满足：（i）对一切，有，即是S的下界；（

5、ii）对任何，存在，使得，即是S的最大下界，则称数为数集S的下确界，记作。上确界与下确界统称为确界。注1 由上（下）确界的定义可见，若数集S存在上（下）确界，则一定是唯一的。又数集S存在上、下确界，则有。例2 设，验证。注2 从上面的例子可见，数集S的确界可能属于S，也可能不属于S。例3 设数集S有上确界。证明。证 设，则对一切有，而，故是数集S中最大的数，即。设，则，（i）对一切有，即是数集S的上界；（ii）对任何，只须取，则。从而满足的定义。定理1.1 （确界原理）设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明。

6、为叙述的方便起见，不妨高S含有非负数。由于S有上界，故可找到非负整数，使得1） 对于任何有；2） 存在，使得。对区间作10等分，分点为，则存在中的一个数，使得1） 对于任何有；2） 存在，使得。对区间作10等分，则存在中的一个数，使得1） 对于任何有；2） 存在，使得。继续不断地10等分在前一步骤中所得的半开区间，可知对任何存在中的一个数，使得1） 对于任何有；2） 存在，使得。 （1）将上述步骤无限一进行下去，得到实数。以下证明。为此只需证明：（i）对一切有；（ii）对任何，存在使。倘若结论（i）不成立，即存在有，则可找到的位不足，使从而得但这与不等式（1）相矛盾。于是（i）得证。现设，则存

7、在的位不足，使，从而由（1）式存在使。这说明（ii）成立。例4 设A、B为非空数集，满足：对一切和有。证明：数集A有上确界，数集B有下确界，且。 （2）证 由假设，数集B中任一数都是数集A的上界，A中任一数都是B的下界，故由确界原理推知数集A有上确只是，数集B有下确界。现证不等式（2）。对任何，都是数集A的一个上界，由上确界的定义有，而此式又表明数是数集B的一个下界，故由下确界定义得。例5设A、B为非空有界数集，。证明：（i）；（ii）。证 由A、B为非空有界数集知S为非空有界数集，因此S的上、下确界都存在。（i）对任何，有或，从而或，于是，故得。另一方面，对任何，有；类似有。所以。综上证得。

8、（ii）可类似地证明。注 若数集S无上界，则定义；若数集S无下界，则定义。推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界。§3 函数概念一 函数的定义定义1 给定两面三刀个实数集D和M，若有对应法则，使对D内第一个数，都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在数集D上的函数，记为 （1）数集D称为函数的定义域，所对应的数称为在点的函数值，常记为。全体函数值的集合称为函数的值域。(1)中第一式“”表示按法则建立数集D到M的函数关系；第二式“”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为“”。习惯上，我们称此函数关系中的为自变量，为因变量。关于函数的定义，我们作如下几点说明：1定义1中的实数集

9、M常以R来代替，于是定义域D和对应法则就成为确定函数的两个主要因素。所以，我们也常用表示一个函数。由此我们说某两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。如果两个函数对应法则相同而定义域不同，那么这两个函数仍是不相同的。例如和是不相同的两个函数。另一方面，两个相同的函数，其对应法则的表达式可能不同,例如和。2我们在中学数学中已经知道，表示函数的主要方法是公式法，即用数学运算式子来表示函数。这时，函数的定义域常使该运算式子有意义的自变量值的全体，通常称为存在域。在这种情况下，函数的定义域（即存在域）D可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数，此时可简单地说“函数”或“函数”。3函数给出了轴上

10、的点集D到轴上点集M之间的单值对应，也称为映射。对于称为映射下的象，则称为的原象。4在函数定义中，对每一个，只能有唯一的一个值与它对应，这样定义的函数称为单值函数。若同一个值可以对应多于一个的值，则称这种函数为多值函数。在本书范围内，我们只讨论单值函数。二 函数的表示法在中学课程里，我们已经知道函数的表示法主要有三种，即解析法（或称公式法）、列表法和图象法。有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数。例如，符号函数函数可用集合来表示，G是这个函数的图形。R上的Dirichlet函数，上的Riemann函数，三 函数的四则运算给定两个函数和，记，并设。我们定义与在D上

11、的和、差、积运算如下：令，可在上定义与的商运算如下：。注 若，则与不能进行四则运算。以后为叙述方便，函数与的和、差、积、商常分别写作：四 复合函数设有两函数 记。若，或，称为函数与的复合函数，并称为外函数， 为内函数，为中间变量。函数与的复合运算也可简单地写作五 反函数设函数 满足：对于值域中的每一个值，中有且只有一个值使得，则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作或注1 函数有反函数，意味着是与之间的一个一一映射。我们称为映射的逆映射。与互为反函数，并有。注2 在反函数的表示中，为自变量，为因变量。若按习惯仍用作为自变量的记号，作为因变量的记号，则反函数可改写为。因为

12、与的定义域与对应法则都相同，所以它们表示同一个函数。只是所用变量的记号不同而已。六 初等函数在中学数学中，读者已经熟悉基本衽函数有以下产类：常量函数 为常数）；幂函数 为实数）；指数函数 ；对数函数 ；三角函数 （正弦函数），（余弦函数）， （正切函数），（余切函数）；反三角函数 （反正弦函数），（反余弦函数）， （反正切函数），（反余切函数）。这里我们要指出，幂函数和指数函数都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给出了有理数乘幂的定义。下面我们借助确界来定义无理指数幂，使它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理指数幂的基本性质。定义2 给定实数。设为无理数，我们规定注1 对任一无理数，必有有理

13、数，使，则当有理数时有，从而由有理数乘幂的性质，当时有。这表明非空数集为有理数有一个上界。由确界原理，该数集有上确界。同理，当时，为有理数的下确界存在。注2 当为有理数时，此定义与我们以前所熟知的有理数乘幂的概念是一致的。定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数统称为初等函数.不是初等函数的函数,称为非初等函数.如在本节第二段中给出的Dirichlet函数和Riemann函数,都是非初等函数.§4 具有某些特性的函数一 有界函数定义1 设为定义在D上的函数。若存在数M（L），使得对每一个有,则称为D上的有上(下)界函数，M（L）称为在D上的一个上（下）界。定义2

14、设为定义在D上的函数。若存在正数M，使得对每一个有则称为D上的有界函数。关于函数在数集D上无上界、无下界或无界的定义，可按上述相应定义的否定说法来叙述。例如，设为定义在D上的函数，若对任何M，都存在，使得，则称为D上的无上界函数。作为练习，读者可自行写出无下界函数与无界函数的定义。例1 证明 为上的无上界函数。例2 设为D上的有界函数。证明：（i）；（ii）。证 （i）有从而 。（ii）可类似地证明。注 例2 中的两个不等式，其严格的不等到号有可能成立。二 单调函数定义3 设为定义在D上的函数，若对任何，当时，总有（i），则称为D上的增函数，特别当成立严格不等式时，则称为D上的严格增函数；（i

15、i），则称为D上的减函数，特别当成立严格不等式时，则称为D上的严格减函数；增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。定理1.2 设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数。证 设为D上严格增函数。，有使。下面证明这样的只有一个。事实上，由在D上的严格增性，当时，当时，总之，从而函数存在反函数。现证也是严格增函数。设，则。由及在D上的严格增性，显然有，即。所以也是严格增的。例2 函数在上是严格减的，有反函数；函数在上是严格增的，有反函数。例3 证明：当时在R上严格增；当时在R上严格减。证 设。给定。由有理数的稠密性，可取到有理数，使，故有这就证明了当时在R上严格增。类似地可证当时在