《概率论与数理统计教程》沈恒范著-期末复习重点

1、概率论与数理统计教程期末复习提要第一章随机事件与概率1 事件的关系A B A B AB A B A AB2运算规则(1 )ABBA AB BA(2) (AB) CA (B C)(AB)CA(BC)(3) (AB)C (AC) (BC)(AB)C(AC)(B C)(4) ABA BAB A B3概率P( A)满足的三条公理及性质：( 1) 0 P(A) 1 ( 2) P( ) 1nn( 3)对互不相容的事件A1 ,A2 , , An，有P( Ak)P(Ak) ( n 可以取)k1k1(4) P( )0( 5)P(A) 1 P(A)(6) P(AB)P(A)P(AB)， 若 A B， 则 P(BA

2、)P(B) P(A) ，P(A)P(B)(7) P(AB)P(A)P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率( 1 )定义：若P(B ) 0 ，则P( A | B ) P(AB)P(B)( 2) 乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若 B1 , B2 , Bn 为完备事件组，P(Bi ) 0，则有n( 3) 全概率公式：P(A)P(Bi)P(A| Bi )i1( 4) Bayes公式：P(Bk |A)nP(Bk)P(A|Bk)P(Bi)P(A|Bi) i17事件的

3、独立性：A, B 独立 P(AB) P(A)P(B) (注意独立性的应用)1 离散随机变量：取有限或可列个值，P(X xi )pi 满足(1) pi 0 ， ( 2)pi =1( 3)对任意D R， P(X D)pii:xi D2 连续随机变量：具有概率密度函数f (x) ，满足(1) f (x) 0, f (x)dx 1 ；-b( 2) P(a X b) f (x)dx； ( 3)对任意a R， P(X a) 03 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布B(1, p)P(X 1) p， P(X 0) q 1 pppq二项式分布B(n, p)P(X k) Cnkpkqn k

4、,k 0,1,2, n，npnpqPoisson 分布P( )kP(X k) e,k 0,1,2,k!几何分布G( p)P(X k) qk 1p,k 1,2,1pq2 p均匀分布U (a,b)1f (x), a x b ，baab2(b a)2 12指数分布E( )f (x) e ( 6) 对连续随机变量，F (x) f (t)dt为连续函数，且在 f(x) 连续点上，F '(x) f (x)5 正态分布的概率计算以 (x) 记标准正态分布N(0,1) 的分布函数，则有2x( 1)(0) 0.5；( 2)( x) 1(x)；( 3) 若 X N( , 2)， 则 F(x) (x )；

5、, x 0112正态分布N ( , 2 )1(x )2f(x)e 2 2224 分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质( 1) F () 0, F( ) 1； ( 2)单调非降；( 3)右连续；( 4) P(a X b) F(b) F(a)，特别 P(X a) 1 F(a)；( 5)对离散随机变量，F (x) pi ；i: xi x4)以u 记标准正态分布N (0,1) 的上侧分位数，则P(X u )1 (u )6 随机变量的函数Y g(X )( 1 )离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；( 2) X 连 续 ， g(x) 在 X 的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 ， 且 有 一

6、 阶 连 续 导 数 ， 则fY(y)fX (g 2 exp 1 2 (x 21)2(y) | (g 1(y)' |，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章 随机向量1 二 维离 散随 机 向 量 ，联 合 分 布列 P(X xi ,Yyj )pij， 边 缘 分 布 列P(Xxi ) pi， P(Yyj) p j 有( 1) pij 0； ( 2)pij1； ( 3) pipij ， pj pijijji2 二维连续随机向量，联合密度f (x, y)，边缘密度fX (x), fY(y)，有1) f(x,y) 0； ( 2)f(x,y) 1； ( 3) P(X,Y) G) G f(x,

7、y)dxdy；4) fX(x) f (x,y)dy， fY(y)f(x,y)dx, ( x, y) G3 二维均匀分布f(x, y) m(G)，其中m(G)为 G 的面积0, 其它22f (x, y)(x 1)(y2)26)对二维连续随机向量，4 二维正态分布(X,Y) N( 1, 2, 1 1 2 12(1)1且 X N ( 1 ,12 ), Y N ( 2 ,22 ) ；5 二维随机向量的分布函数F(x,y) P(X x,Y y) 有( 1 )关于x, y 单调非降；( 2)关于x, y右连续；( 3) F(x, ) F( ,y) F( ,) 0；4) F( ,) 1， F(x, ) FX

8、(x)， F( , y) FY(y)；5) P(x1 X x2,y1 Y y2) F(x2,y2) F(x1,y2) F(x2,y1) F(x1,y1)；2 F (x, y)f ( x, y)xy, 22, ) ，其密度函数(牢记五个参数的含义)6随机变量的独立性X,Y独立 F(x,y) FX (x)FY(y)( 1 )离散时X,Y 独立pij pi p j( 2) 连续时X,Y独立f(x,y) fX(x)fY(y)22( 3) 二维正态分布X,Y 独立0，且 X Y N( 12, 1222)7随机变量的函数分布( 1 )和的分布Z X Y的密度 fZ (z) f (z y, y)dy f (

9、x, z x)dx( 2)最大最小分布第四章 随机变量的数字特征1 期望(1) 离散时 E(X)xi pi ， E(g(X)g(xi ) pi ；(2) 连续时 E(X) xf(x)dx， E(g(X) g(x)f(x)dx；(3) 二维时 E(g(X,Y)g(xi,yj)pij ， E(g(X,Y)g(x, y)f (x,y)dxdyi,j(4) E(C) C ； ( 5) E(CX) CE(X)；( 6) E(X Y) E(X) E(Y) ；( 7) X,Y 独立时，E(XY) E( X)E(Y)2方差( 1)方差 D(X) E(X E(X)2 E(X2) (EX)2，标准差(X) D(X

10、) ；( 2) D(C) 0, D(X C) D(X)；2( 3) D(CX) C2D(X)；( 4) X,Y 独立时，D(X Y) D(X) D(Y)3协方差1) Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)；2) Cov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)；3) Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y)；4) Cov(X,Y) 0时，称 X,Y 不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；5) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)45相关系数XY Cov(X,Y) ； 有 |

11、XY | 1， | XY | 1 a,b, P(Y aX b) 1(X) (Y)kkk 阶原点矩k E(X k) ， k 阶中心矩k E(X E(X)k第五章 大数定律与中心极限定理1Chebyshev 不等式P| X E( X ) |2或 P| X E(X) | 1D(X)2大数定律3中心极限定理1）设 随 机 变 量 X1,X2, ,Xn 独 立 同 分布 E(Xi), D(Xi)2ni1Xi21n2N(n ,n )， 或Xi N( ,)近似n i 1 近似nnXi ni 1 N (0,1)，n 近似2）设 m是 n次 独 立 重 复 试 验 中 A发 生 的 次 数 ，P（A） p ，

12、则 对 任 意 x ，X 近似 N(np,npq)lim Pm np x ( x)或理解为若X B(n, p) ，则n npq第六章 样本及抽样分布1 总体、样本（ 1 ）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）（ 2）样本数字特征：1n1n222样 本 方 差S2(Xi X)2 ( E(S2)2 ) 样 本 标 准n 1i1样本均值XXi ( E(X) ， D(X) ) ；ni1n1n1(Xi X)i1nn1k1k样本 k 阶原点矩kXik ，样本k阶中心矩k (Xi X)kni1ni12统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定

13、义）（ 1）2分布 2 X12 X22Xn2 2（n）， 其中 X1 , X2 , , Xn 独立同分布于标准正态分布N (0,1) ，若 X 2(n1), Y 2 (n2) 且独立，则X Y 2(n1n2) ；X22) t分布 tt(n)，其中X N(0,1), Y 2 (n)且独立；Y/n2 F(n1,n2) ，其中 X 2(n1),Y 2（n2 ） 且独立，有下面的X / n13) F 分布 FY/n21性质 F (n2 , n1 ),1F1 (n1 ,n2)F (n2,n1)4正态总体的抽样分布（ 1） X N（ , 2/n）；1222)2 (X i ) (n) ；i13）(n 1)S22 2（n 1） 且与 X 独立；X4) t t(n 1)；S/ n5）(X Y) ( 12 )n1n2tSn1 n2 t(n1 n2 2)，S2S22 (n1 1)S12 (n2 1)S22n1 n22S2/ 26）FS12/ 12 F(n1 1,n2 1)S22 / 22第七章 参数估计1 矩估计：（ 1 ）根据参数个数求总体的矩；（ 2）令总体的矩等于样本的矩；（ 3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（ 1 ）写出极大似然函数；（ 2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（