2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：2.3 第1课时　等差数列的前n项和 Word版含解析

1、23等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和目标 1.体会等差数列的前n项和公式的推导过程；2.记住等差数列的前n项和公式，熟练等差数列前n项和公式的计算；3.会用等差数列前n项和公式解决一些简单的等差数列前n项和问题重点 等差数列的前n项和公式及应用难点 对等差数列前n项和公式的理解知识点一数列的前n项和 填一填1定义：对于数列an，一般地，我们称a1a2a3an为数列an的前n项和2表示：常用符号sn表示，即sna1a2a3an.3an与sn的关系：若数列的前n项和为sn，则通项公式an答一答1ansnsn1成立的条件是什么？提示：n2且nn*.2已知数列的前n项和sn，所求出的通项公

2、式an一定是分段的形式吗？为什么？提示：已知数列的前n项和sn，求通项公式an所用方法为an但当n1时，a1s1若适合于ansnsn1，通项公式可写为ansnsn1；当n1时，a1s1若不适合于ansnsn1，只能分段写知识点二等差数列的前n项和公式 填一填答一答3等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”，此方法主要适用于具备什么特征的数列求和？提示：主要适用于具有a1ana2an1a3an2特征的数列求和4等差数列an的前n项和sn的两个公式有什么异同点？我们应怎样选用公式？提示：分析两个公式可得，它们的共同点是需要知道a1和n，不同点是公式sn还需要知道an，公式snna1d还

3、需要知道d，解题时需要根据已知条件决定选用哪个公式：当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为方便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较为方便类型一等差数列前n项和的有关计算例1在等差数列an中，(1)已知a316，s2020，求s10.(2)已知a1，d，sn15，求n及a12.(3)已知a1a2a3a440，an3an2an1an80，sn210，求项数n.分析求数列的基本量的基本方法是建立方程组，或者运用数列的相关性质整体处理，以达到简化求解过程、优化解法的目的解(1)设等差数列an的公差为d，则有解得所以s1010×2020090110.(2)因为snn·

4、83;15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，所以a12(121)×4.(3)因为a1a2a3a440，an3an2an1an80，所以4(a1an)4080，即a1an30.又因为sn210，所以n14.等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值(2)利用等差数列的性质解题变式训练1(1)已知sn为等差数列an的前n项的和，a2a54，s721，则a7的值为(d)a6b7 c8d9解析：设an的公差为d，则解得所以a7a16d36×29，故选d.(2)已知sn为等差数列an的前n项的和，若a316，s2020，sn110，则n10或11.解析：设an的

5、公差为d，则a12d16,20a1d20，解得a120，d2，所以sn20n×(2)110，即n221n1100，解得n10或n11.类型二已知数列前n项和sn求通项公式an例2数列an的前n项和sn满足：snan2bn(a，br)，判断an是否为等差数列？并证明你的结论解数列an是等差数列，证明如下：当n1时，a1s1ab；当n2时，ansnsn1(an2bn)a(n1)2b(n1)an2(n1)2b2anba；因a1ab满足an2anba，故an2anba，根据等差数列的定义易证数列an是公差为2a的等差数列通过以上证明我们知道了数列an前n项和snan2bn(a，br)时，数列

6、an是等差数列，通过推导过程我们得到数列an是首项为ab，公差为2a的等差数列.变式训练2已知数列an的前n项和sn满足：sn3n28n4，则an.解析：当n1时，a1s17；当n2时，ansnsn13n28n43(n1)28(n1)46n5.所以an类型三等差数列an与sn的综合应用例3设各项均为正数的数列an的前n项和为sn，且sn满足s(n2n3)sn3(n2n)0，nn*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式分析(1)由条件式取n1即得a1；(2)先求sn，再求an.解(1)令n1，得a(1213)a13(121)0.解得a13(舍去)或a12.(2)由条件得sn(n2n)(s

7、n3)0.因为an>0(nn*)，所以sn>0，故snn2n.方法一：当n2时，ansnsn1(n2n)(n1)2(n1)2n，又2×12a1，所以an2n(nn*)方法二：由snn2n知数列an是等差数列又s2a1a2222，所以a24.于是得公差da2a12，故an2(n1)×22n(nn*)sn与an的关系式的应用(1)“和”变“项”首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式(2)“项”变“和”首先将an转化为snsn1，得到sn与sn1的关系式，然后求sn.变式训练3已知数列an的各项均为正数，前n项

8、和为sn，且满足2snan4.(1)求证：an为等差数列；(2)求出an的通项公式解：(1)令n1，得2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，2sn1an5，与2snan4相减，得2anaa1，即a2an1a，即(an1)2a，因此得an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11，而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾；若an1an1，即anan11，因此an为等差数列(2)由(1)知，an为等差数列，且a13，公差d1，所以an3(n1)n2，故an的通项公式为ann2.1已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项和s10

9、等于(c)a138 b135 c95 d23解析：a2a44，a3a510，(a5a4)(a3a2)2d6.d3.又a2a42a14d4，a14.s1010a1d4045×395.2已知等差数列an的前n项和为sn，若a418a5，则s8等于(d)a18b36 c54d72解析：a418a5，a4a518.s84(a1a8)4(a4a5)72.3有一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小角为100°，则边数n8.解析：n×100°×10°(n2)×180°，解得n8或n9.又an100&#

10、176;(n1)×10°<180°，n8.4设数列an的前n项和sn3n2n(nn*)，则数列an的通项公式为an6n4.解析：当n1时，a1s12；当n2时，ansnsn13n2n3(n1)2(n1)6n4.验证知a1符合上式，an6n4.5已知等差数列an(1)a1，a15，sn5，求n和d；(2)a14，s8172，求a8和d.解：(1)a15(151)d，d.又snna1·d5，解得n15，n4(舍)(2)由已知，得s8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.本课须掌握的问题等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及a1，d，n