2017-2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案新人教B版选修1-1

1、第二单元圆锥曲线与方程【学习目标】1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程2 掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法3 掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题 4 掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.Q知识梳理-知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点Fi,F2的距离之和等 于定长（大于|FiF2|）的点的轨迹平面内到两个定点Fi,F2的距离之差的绝对值等 于定值2a（大于 0 且小于 |FiF2|）的点的轨迹平面内到一个定点F和一条定直线1（F?l）距离相等的点的轨 迹标准方程2

2、 2 2 2x yy x孑 +b2= 1 1或a2+b2=1(ab0)2 2 2 2x yy xa2b2= i i或云于i(a0,b0)y2= 2px或y2= 2px或x2= 2py或x2= 2py(p0)关系式2 . 2 2ab=c2 ,J2a+b=c一图形封闭图形无限延展，但有渐近线yb亠a= 或y=X无限延展，没有渐近线变量范围|x|wa, |y|wb或|y|wa,|x|wb|x| a或 |y| ax0或xW0或y0或ywo对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率ce=：且 0eiae= i决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小知识点二

3、椭圆的焦点三角形2 2x y设P为椭圆二+2=1（ab0）上任意一点（不在x轴上），Fi,2为焦点且/FiPF2=a,则厶PFF2a b为焦点三角形（如图）.2焦点三角形的面积S=b2tana焦点三角形的周长L= 2a+ 2c.知识点三双曲线及渐近线的设法技巧1 由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1 换成 0，2 2 2 2即可得到两条渐近线的方程.如双曲线 云一y2= 1(a0,b0)的渐近线方程为a一 p= 0(a0,2 2 2 2y xy xb0)，即y =_；双曲线 話一b= 1(a0,b0)的渐近线方程为 寺一点=0(a0,b0),即y =_.2 .

4、如果双曲线的渐近线方程为Xy= 0,它的双曲线方程可设为a b知识点四求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.(1) 定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2) 定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mX+ny2= 1( m0,n0).(3) 定量一一由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.知识点五 三法求解离心率1.定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上,222222C都有关系式ab=c

5、(a+b=c)以及e=，已知其中的任意两个参数， 可以求其他的参数，a这是基本且常用的方法.2.方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式， 从而求出其离心率， 这是求离心率的十分重 要的思路及方法.3.几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线) 的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.3知识点六直线与圆锥曲线的位置关系1 直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行.2 直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面

6、的知识，形 成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结 合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.题型探究类型一圆锥曲线的定义及应用2 2X2X2例 1 已知椭圆m+y= 1(m1)和双曲线y= 1(n0)有相同的焦点Fi,F2,P是它们的一个 交点，则FiPR的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随 m, n 变化而变化反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.跟踪训练 1 抛物线y2= 2px(p0)上有A(xi,yi),B(X2,y2),C(

7、X3,y3)三点，F是它的焦点,若|AF, |BF, |CF成等差数列，则()A. X1,X2,X3成等差数列B. y1,y2,y3成等差数列C. X1,X3,X2成等差数列D. y1,y3,y2成等差数列类型二圆锥曲线的方程及几何性质命题角度 1 求圆锥曲线的方程2 2X y2例 2 已知双曲线 gb2= 1(a0 ,b0)的两条渐近线与抛物线y= 2pX(p0)的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2, AOB勺面积为,3,贝Up等于()3A. 1 B. C . 2 D . 3反思与感悟一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.4(1)

8、定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2) 定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mX+ny2= 1( m0,n0).(3)定量一一由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系.跟踪训练 2 设抛物线C：y2= 2px(p 0)的焦点为F,点M在C上，|MF= 5,若以MF为直 径的圆过点A(0,2)，则C的方程为()A. y2= 4x或y2= 8xB. y2= 2x或y2= 8xC. y2= 4x或y2= 16xD. y2= 2x或y2= 16x命题角度 2 求圆锥曲线的离心率xo例 3 如图，Fl、F2是椭圆C：

9、4 +y2= 1 与双曲线C2的公共焦点，A B分别是C、C2在第二、四象限的公共点.若四边形AFBB为矩形，则C2的离心率是 _.反思与感悟 求圆锥曲线离心率的三种方法(1) 定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2b2=c2(a2+b2=c2)以及e=二已知其中的任意两个参数，可以求其他的a参数，这是基本且常用的方法.(2) 方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式， 从而求出其离心率， 这是求离心率的十分重 要的思路及方法.(3) 几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参

10、数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.2x2跟踪训练 3 已知抛物线y= 4x的准线与双曲线y= 1 交于A B两点，点F为抛物线的a焦点，若FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是 _ .类型三直线与圆锥曲线的位置关系 例 4 已知椭圆x2+y2= 1(ab0)上的点P到左，右两焦点Fi,F2的距离之和为 2 迈，离心率a b丫56(1)求椭圆的标准方程;过右焦点F2的直线I交椭圆于A,B两点，若y轴上一点M0 , 直线I的斜率k的值.反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法:(1) 函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利

11、用求函数值域的方法求解.(2) 不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.跟踪训练 4 如图，焦距为 2 的椭圆E的两个顶点分别为 A, B,且AB与n= ( .2, - 1)共线.(1)求椭圆E的标准方程;若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q且原点0总在以PQ为直径的圆的内 部，求实数m的取值范围.当堂训练1 .在方程 mfmy=n中，若 mr0,n0)的右焦点与抛物线y= 8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(2 2x yD.-F64484 .有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2= 2px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A. 2

12、 3pC. 6 3pB. 4 3pD. 8 3p5.过抛物线3ny- 4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，0为坐标原点,则厶POQ勺面积等于_.厂规律与方法 - ,在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种 思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计 算的繁杂、琐碎问题.D.3A.2y_16x yB.16+悝2 2x yC.+48 6482.题型探究例 1 B 设P为双曲线右支上的一点.2X22对于椭圆一Fy= 1(m1) ,c=mi- 1, |PF| + |PF2| = 2 俯2X22对于双曲线一一y=

13、 1,c=n+ 1,n|PF|PF|=2 品iPF1|ym-Fn, iPFI=/m血2 2|F1F2I=(2c)=2(mFn),222而 |PF|+|PF|=2(mFn)=(2c)=IFF2|2,RPR 是直角三角形，故选 B.跟踪训练 1 A 如图，过A B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A,B线定义可知|AF= |AA| , |BF= |BB| , |CF= |CC|. 2|BF= |AF+ |CF, 2|BB| = |AA| + |CC|.合案精析知识梳理知识点三axbxC，由抛物9pp又/AA| =xi+2, IBB| =X2+ 2,pICCI =X3+ 2，ppp 2( X2+ )

14、=xi+ 十X3+ 222? 2x2=xi+X3,故选 A.b2py=-X,y= 2px的准线方程为X=-a2即b= -3，渐近线方程为y= 3x,J=WX，得曲由p得y=-*p,x=-2， IAB=,3p,SOAB=1 1X牛羽卩=诵，解得p= 2.跟踪训练 2 C 由抛物线C的方程为2y= 2px(p0),p知焦点F(2，0)设M(x,y)，由抛物线性质|MF=x+2= 5, 可得x= 5-2p.e=双曲线的离心率为 2,10因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为一 2=5由已知，得圆半径也为 2，据此可知该圆与y轴相切于点（0,2），故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为

15、 4,则M5 2， 4），代入抛物线方程得p 10p+ 16= 0，所以p= 2 或p= 8.所以抛物线C的方程为y2= 4x或y2= 16x.解析 由椭圆可知|AF| + | AB| = 4,|F1F2I = 2 3.因为四边形AFBF为矩形，所以 |AF|2+ |AFf= |FiE|2= 12,222所以 2|AF|AF2I = (IAF| + | AB|) (|AF| + |AFF) = 16 12= 4,2 2 2所以(|AF2I |AF|) =|AF| + |AF| 2|AF| A| = 12 4= 8,所以 |AF| |AF| = 2 德,因此对于双曲线有a=2,c=3,c y6所

16、以C的离心率e=；=.a2跟踪训练 3. 6解析 抛物线y2= 4x的准线方程为x= 1,又厶FAB为直角三角形，则只有/AFB=90,21如图，则A 1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2=5于是c= , a2+1故e=a=.611例 4 解（1）由题意知,12|PF| + |PF2| = 2a=2 車,所以a=2.又因为e=C=a2所以C= 2X-2= 1,所以b2=a2-c2= 2-1 = 1,2所以椭圆的标准方程为X- +y2= 1.已知 F2（1,0），直线斜率显然存在, 设直线的方程为y=k（x 1），A（X1，y1）,B（X2,y2）,化简得(1 + 2k2)x2 4k2x

17、+ 2k2 2= 0,y1+y2=k(X1+X2) 2k=当k0时，AB的中垂线方程为k12k2yi+2? =k( (x1+P+P) )，因为 IMA=|MB,所以点M在AB的中垂线上， 将点M的坐标代入直线方程得,3k2k+2 271 + 2k1 + 2k 即 2 3k2 7k+3= 0,解得k=,3或k =当k= 0 时，AB的中垂线方程为x= 0,满足题意.所以斜率k的取值为 0,.3 或 J.跟踪训练 4 解（1）因为 2C= 2,所以C= 1.又AB=( a,b)，且AB/ n,所以. 2b=a,所以 2b2=b2+ 1, 所以b= 1,a= 2.2x2联立直线与椭圆的方程得y=k xi賞y2= 1,所以X1+X2=4k21 + 2k2，所以AB的中点坐标为（2k21 + 2k2，k1+ 2k2) )2k21 + 2k -13所以椭圆E的标准方程为-+y2= 1.2x2(2)设P(X1,y1),QX2,y2)，把直线方程y=kx+m代入椭圆方程+y=