第二章2.2.1(一)《椭圆及其标准方程(一)》

1、2. 2.1椭圆及其标准方程(一)【学习 L1标】1了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆 标准方程的推导与化简过程 2掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.问题导学知识点一椭圆的定义思考 1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一 个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的 距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.思考 2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件， 笔尖运动时形成的轨迹是否为椭圆？答案笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若 在移动过程中绳长发生

2、变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若 绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.梳理 我们把平面内与两个定点FF，b b的距离的和等于常数(大于 1尺門)的点的 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2) 椭圆的定义用集合语言叙述为：P P = = MWMFxMWMFxI +MFMF2 2=2a,=2a, 2aFx2aFx FAFA.(3) 2“与 1 尺鬥 1的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论锥曲线与方程2aFF2aFF动点的轨迹是椭圆2a=IF|F2l动点的轨迹是线段鬥鬥2b0),表示中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆的标准方程， 其

3、中形式二：5+|=1(/70),表示中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程， 其中b b2 2=a=a2 2(r.(r.(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位十置oo F.)F.) x x7标准方程a2+$_l(b0)1 (/?0)焦点坐标Fi(c,0), F2(G0)Fi(0, -c),鬥(0,C)a,a, b,b,c 的关系题型探究b b2 2=cr=cr(r(r类型一椭圆定义的应用例 1点卩(一 3,0)是圆 C：疋+),2一 61一 55=0内一定点，动圆 M与已知圆相内切 且过 P点，判断圆心M M的轨迹.解 方程壬+尸一 6 尤一 55=0化标准

4、形式为：(兀一 3)2+y2=64,圆心为(3,0),半径 =&因为动圆 M 与已知圆相内切且过 P点，所以 IMCI+IMPI= =8,根据椭圆的 定义，动点 M到两定点 C, P 的距离之和为定值 86=ICPI,所以动点 M的轨迹 是椭圆.反思与感悟椭圆定艾的双向运用(1) 判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的 点的轨迹为椭圆.(2) 求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a.2a.跟踪训练 1(1)已知 A(-5,0), B(5,0).动点 C满足 L4CI + IBCI=10，则点 C的轨迹是()A.椭圆B.直线C.线段

5、D.点(2)已知定点 A(0, 1),点 B在圆 F：疋+1)2=16上运动，F为圆心，线段ABAB的垂直平分线交BFBF于 P.则动点P P的轨迹E E为_.答案(1)C (2)以 A, F为焦点的椭圆解析(1)因为 L4CI+IBCI=1O=L4BI,所以点 C的轨迹是线段 A3,故选 C.由题意PAPA = = PB.PB.所以 IP1I + IPF1 = IPBI + IPFI=4L4F1 = 2,所以动点P P的轨迹 E是以 A, F为焦点的椭圆.类型二求椭圆的标准方程例 2求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P P 百,|), 0(0, 扌)的椭圆 的标准方程.解方法一当椭圆焦

6、点在 x轴上时，可设椭圆标准方程为：牙+$=1(/0).=1,依题意有 V(|)2(护由ab0ab0知不合题意，故舍去当椭圆焦点在 y轴上时，可设椭圆的标准方程为:缶 +恭 =1（方0）（1?1 ,（3）2（3）戸+PT，依题意有0,m0,n0,m m = = 5.5.解得屮=4 所以所求椭圆的方程为 5壬+4护=1,=1,反思与感悟求椭圆的标准方程的方法:C.射线D.圆(1) 定义法：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹 是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定，b的值.(2) 待定系数法：如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的 椭圆方

7、程一定是标准形式，就可以利用待定系数法先建立方程，然后依照题设条 件，计算出方程中 G,的值，从而确定方程.当不明确焦点在哪个坐标轴上时, 通常应进行分类讨论，但计算较复杂，此时，可设椭圆的方程为mxmx2 2-ny-ny2 2=(mO=(mOt t“0,加 H”)，不必再考虑焦点的位置，用待定系数法结合题目给出的条件求出加,fifi的值即可.跟踪训练 2已知 P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P到两焦点的距离分别为缚和芈过点P P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的 方程.解设椭圆的两个焦点分别为,F2,F2,十4 托2525不妨取卩尺 1 =于，屮鬥 1=于，由椭圆的定义，

8、知 2“=IPFil + lPF2l = 20.即a=y/5.a=y/5.由 IPF1ZPF2I知，PE垂直于长轴.在 RtAPF2Fi 中，4c2=IPFil2-IPF2卩=罟， c -3*又所求的椭圆的焦点可以在 X轴上，也可以在 y轴上，故所求的椭圆方程为专+需=1或需+=】类型三椭圆中的焦点三角形问题例 3已知点P P是椭圆*+宁=1上的一点，Fi, E分别是椭圆的两个焦点，且ZFIPF2= 30,求厶FPFiFPFi的面积.解 由椭圆方程*+= 1可得=伍 b=2,b=2, c=yjac=yja2 2b b2 2=.=.XlFiFzl2=IPFil2+PFiPFi卩一 2PFPFl

9、IPF2I cos ZFF PF2PF2= =(PF(PFI+IPF2I)2一 2IPFi PF2-2PFI PF2-COS30, 4 = (2 侗 2 一(2+羽)|阳|.庶 1, IPFill2l=16(2V). S S jPFjPF、=IPFil-IPF2l-sin 30=8-43.反思与感悟由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，焦点三角 形常和椭圆的定义、正(余)弦定理、内角和定理及而积公式等综合考查.跟踪训练 3已知椭圆的方程为于+号=1，椭圆上有一点P P满足ZPFIF2=90(如图).求 ZPFIF2 的面积解 由已知得“=2,所以c=yjac=yja2 2b b2

10、2=y4=y43 3= 1.从而 IFIF2I=2C=2.在PF1F2中，由勾股定理可得IPF2l2=IPFil2+IFiF2l2,即 IPF2|2=IPF|2 + 4.又由椭圆定义知 IPFil + IPF2l=2X2=4,所以 IPF2l=4IPF】l.从而有(4-IPFi I)2= = PFPF卩+4.3解得 IPFil=z11333所以PF1F2的面积 S=0PFl IF|F2l=X jX2=j,即的面积是孑当堂训练1.如图所示，一圆形纸片的圆心为 0, F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使 M与 F重合，然后抹平纸片，折痕M为 CD,CD,设 CDCD 与 OMOM 交于点

11、 P,P,则点 P的轨迹是(A.椭圆B.直线A.椭圆C.射线D.圆答案 A解析连接 FP,OF,OF, MF,MF,如图,由题意知，CD是线段 MF的垂直平分线， IMPI = IPF1, PFPF + + PO=PMPO=PM + + PO=PO=IMOI（定值）.又MOFO.MOFO.根据椭圆的定义可推断出点P P的轨迹是以 F, 0两点为焦点的椭圆.2.已知方程（5-rnxrnx2 2+ （/-2 2）y y2 2= =8（/GR）表示焦点在 y 轴上的椭圆，则加的取值范围是（）77A.2m22m2B，5/H5C.2m52m0,解得 2sq.3.已知 L4BI=2托， M是线段 A3的中

12、点， 点 P在平面内运动且 I 必 l+IPBI=6,则 IPMI的最大值和最小值分别是（）A. 3,y5y5B. 3,2 C. 3,书D. 4,2答案 B解析 由题意，知点 P的轨迹是以点 A, B为焦点的椭圆，其长轴长为 6,焦距为 2诟，所以短轴长为 4,易知 IPMI 的最大值为 3,最小值为 2? 24. 已知椭圆 C：话+右=1(小0)的左，右焦点分别为 Fi(4,0), F2(4,0),线段0鬥(0 为坐标原点)的中点为 5，椭圆与 y轴上半轴的交点为 A,且AO5为等 腰直角三角形，则椭圆 C的标准方程是_ 答案疋+疋=1戸木 204解析 由题意，得 c=4.又点为线段 OFi

13、的中点，A为上顶点，/AOBi/AOBi为等腰直角三角形，所以力=1041=1051=2,所以 a2=b2+c2=20, 所以椭圆 C的标准方程为話+=1.5. 已知椭圆的方程为：去+=1，若 C为椭圆上一点，F,F,尺分别为椭圆的左,右焦点，并且|CF|I = 2,则 ICEI=_.答案 8解析根据椭圆的定义，椭圆上的点到两定点的距离之和为 10,因为 ICCI=2, 所以 ICF2l =&(-规律与方法-)(1)椭圆的定艾式：IPF1I+PFPF2 2 = =2a(2aFi2a(2aFiF2I).在解题过程中将PFPF +PFA+PFA看成 一个整体，可简化运算.(2) 椭圆的定狡

14、中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出 现“两定点” “距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定艾 来解决.(3) 凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定 5CIMFil + lMF2l = 2a(M为椭圆上的点， Fi, E为椭圆的焦点)， 一般进行整体变换， 其次要考虑该 点的坐标 M(M,yo)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.40分钟课时作业憑化训练拓展提升一、选择题1.已知椭圆上一点 P到一个焦点的距离为 2,则 P 到另一个焦点的距 离为（）A. 1 B. 4 C. 3 D. 25-2答案 B解析 由椭圆的定义知 P到两焦点的距离之和

15、等于 2“ = 6,故所求距离为 62=4,故选 B.2.已知椭圆 5W+幼 2 = 5的一个焦点坐标是（0,2）,那么 R的值为（）A. -1 B. 1 C.5 D.一书答案 B解析原方程可化简为疋+=1， 因 c2=|1=4,得 k=l.3.已知椭圆卡+= 1的一个焦点为（2,0）,则椭圆的方程是（.v2,y y2 2B亍+亍=1答案 D解析由题意知 2=4,“2=6,所求椭圆的方程为+=】4.“1SV3”是“方程一一+严=1表示椭圆”的（）m m13 3niniA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 Binin 1 0,3心 0,?一 1 工 3 7

16、,且加 H2；当m m = = 2 2时，方程变为壬+于=1,它表示一个圆.5.设 ae（O,号），方程计花+县 =1表示焦点在 y轴上的椭圆，则 a 的取值范 围为（）A.（0,扌B.（扌，号）所以 lvv3itit7rn nC.（0,4）D.玄，2）答案 C解析 由题意知，cos asina0a0, , tanaa1,VaG（0,彳），0ctIO 102I=6.由椭圆的定义知 M在以 Oi, 6 为焦点的椭圆上，且。=5, c=3,: :.b.b2 2=a=a2 2-c-c2 2=259=6.=259=6.12.已知点 p是椭圆 j+r=i上的一点，Fi,鬥是椭圆的两个焦点.(1) 当 Z

17、F1PF2=6O时，求 ZF|PF2 的面积；(2) 当ZFiPFiZFiPFi为钝角时，求点P P横坐标的取值范圉.解(1)由椭圆的定义，得 IPFil + IPF2l=4,且 Fi(-V3, 0), F2(V, 0).在F1PF2 中,由余弦定理得 IF02卩=PFPFI2+PFPF2 2 2 2-2IPF11-IPF2IC0S 60. _ 4由得 IPFil IPF2l=亍I伍所以S.E= = PFPFI-IPF2lsinZF1PF2(2)设点 P(心必由已知 ZFiPF?为钝角，得命尸 AvO, 即(X+A/3, y)-(x/3, y)vO, 又尸=1-手,所以討2， 解得一娈普 所以点 P横坐标的取值范围是一学 OV学.13.已知椭圆的中心在原点,两焦点 FI,F2在 x 轴上,且过点4(-4