2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题教学案文含解析

1、1 数列的综合问题 【2019 年咼考考纲解读】 1. 数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式 2. 以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围 3将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力. 【重点、难点剖析】 一、 利用Sn, an的关系式求an 1 .数列刘中，an与Sn的关系 S, n= 1, an= v SnSn1, n2. 2 求数列通项的常用方法 (1) 公式法：利用等差(比)数列求通项公式. 在已知数列an中，满足an+1 a = f(n),且f(1) + f(2) + f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 an

2、. n +1 在已知数列an中，满足 =f(n)，且f(1) f (2) . f ( n)可求，则可用累乘法求数列的通项 an. an (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列 (等差、等比数列). 二、 数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 Sn的 表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条 件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题. 三、 数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型一一数

3、列模型，弄清所构造的数列是等差模型还 是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题求解时，要明确目标，即搞清是求 和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问 题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果. 【高考题型示例】 题型一、利用Sn, an的关系式求an 例 1、已知等差数列an中，a2= 2, a3+ a5 = 8，数列bn中，b= 2,其前n项和Sn满足：bn+1 = S+ 2( n N*). 2 (1) 求数列an , bn的通项公式；3 设Cn= b，求数列Cn的前n项和Tn. 解 (1) a2= 2, a3+ a5

4、 = 8, 2+ d+ 2+ 3d= 8 ,. d= 1， an= n( n N ). bn+1= $+ 2( n N )， bn= S1 i + 2(nN , n2). 由一，得 bn+1一 bn= Sn一 Si = bn( nN , n2), .bn+1= 2bn( n N , n2). bi = 2, b2= 2b, .bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列， n * bn= 2 ( n N ). 两式相减，得 1 _1 1 1 n 2+ 斤=+p+帀-K 二 ?1+ 丁 .忑二乜一(；D 【感悟提升】给出S与an的递推关系，求an,常用思路：一是利用Sn Sn 1= dn( n2)转

5、化为 G 的递推关系, 再求其通项公式；二是转化为 S的递推关系， 先求出Sn与n之间的关系，再求 an. 【变式探究】已知数列an的前n项和S满足：a= S+ Sn. (1)求数列an的通项公式； 若an0,数列 log 2 32 的前n项和为Tn,试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值. 解 (1)由已知a1an= S + Sn, 可得当n= 1 时，a1 = a1+ a1,解得 a= 0 或a = 2, 当n2时，由已知可得 aan1= S+ S1， 一得 a an an1) = 若a1 = 0,贝U an= 0，此时数列a，的通项公式为 an= 0. 若 a1 = 2,则 2( an

6、 an1) = an,化简得 an = 2an 1 ,得&二g + + 黑彳 = -= 4 4 即此时数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列, 故 an= 2 (n N ). 综上所述，数列an的通项公式为 an= 0 或an= 2n. (2) 因为 a0,故 an= 2n. an 设bn= log 2 32，则bn= n 5,显然 bn是等差数列， 由n 50,解得n5,所以当n= 4 或n= 5 时，Tn最小, 最小值为 T4= T5 = 5( 4+ 0) 2 =10. 5 题型二数列与函数、不等式的综合问题 X 例 2、已知函数 f (x) = ln(1 + x)- (1

7、)若A0W 111 1 (2) 设数列 an的通项 an= 1 +： + ；+，证明：a2n an+ ln 2. 2 3 n 4n / f (x) = ln(1 二 f ( X)= 2 入 x入x2 2 1 + x (0) = 0. 若入W0,则当x0 时，f (x)0, f(x)单调递增, f (x) f (0) = 0，不合题意； 1 若 0入2， 1 2 入 则当 0 x0, f(x)单调递增, A 1 2 入 .当 0 xf(0) = 0,不合题意; X 1 若入 2, f 当x0时，f(x) W f (0) = 0,符合题意. 综上，入 1 实数入的最小值为 2 1111 1 1 1

8、 证明 由于a2n an+ = - + + + +c + n n+1 + 2 + n 6 (1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视. 解题时准确构造函数，利 用函数性质时注意限制条件. (3) 不等关系证明中进行适当的放缩. 【变式探究】已知等比数列 an的前n项和为 S(nN*)，满足S = 2a 1, Ss= 2as- 1. (1)求an的通项公式； * 1 1 1 记bn= log 2( an an+1) (n N )，数列 bn的前n项和为Tn,求证：+匚+2. h |2 I n (1)解 设an的公比为q. 由 S S= a4, S= 2a4

9、 1 得, 2 a4 2a3 = a4,1 x 2+ x 若入=2，由（1）知，f（x）=ln（1 + x） - 2 + 2x 即 % 2+J 门（1 + x）， 1 2n+1 令 x= n，则 2n n+ n 2n n+ 1 1 :2n+ n+ ln ln n+ 1 n 1 n+ + n+ ln 1 1 n+ + n+ ln n+ 1 n ， n+ 2 n+ n+ 3 n+ 2， 1 :n- 1 + 4nln 2n 2n- 1 1 1 1 1 2n+ n + + n+ n + 十 n+ 1 n+ 2 n+ ln + + ln + l n n+ 1 n+ 刚 1 1 1 1 1 1 即 + +

10、 + + + + n+ n+ 2 n+ 3 2n- 2n 4 1 1 1 1 n+ + n+ + n- + 4n 2n 2n- 1， n+ 1 n+ 2 n+ 3 n n+1 n+2 2n-1 2n =In 2 , n 1 -a2n-an+ 4nln 2. 【感悟提升】解决数列与函数、不等式的综 合问题要注意以下几点 以上各式两边分别相加可得 7 a4 所以=2,所以q= 2.又因为 2as- 1, a3 所以 ai + 2a + 4ai = 8ai 1,所以 ai = 1, 所以 an= 2nT(nN*) 证明 由(1)知 bn = log 2( an+1 an) n n 1 =log 2(

11、2 X2 ) = 2n 1, 1+ n 2 所以 Tn= 2 n= n , 1 1 所以T + T + 1 1 1 Tn= 12+ 22+ 1 1 1 n21+ 1X2+ 2X3 1 n n 8 1 1 1 =1 + 1 2+ 2 3 + =2 0). (1) 求A市 2019 年的碳排放总量(用含m的式子表示)； (2) 若A市永远不需要采取紧急限排措施，求 m的取值范围. 解 设 2018 年的碳排放总量为 a1,2019 年的碳排放总量为 比， (1) 由已知，8 = 400X0.9 + m, a2= 0.9 X ( 400X 0.9 + n) + m 2 =400X 0.9 + 0.9

12、 m= 324+ 1.9 m (2) a3= 0.9 X ( 400X 0.9 2+ 0.9 n) + m 3 2 =400X 0.9 + 0.9 0.9 m an= 400X 0.9 n+ 0.9 n 1m+ 0.9 n 2m+ 0.9 m n n 1 0.9 n / * c 小 n =400X 0.9 + m = 400X 0.9 + 10n( 1 0.9 ) 1 0.9 1 =(400 10n) X 0.9 n+ 10m 由已知？ nN , anW550, (1)当 400 10m= 0,即卩 m= 40 时，显然满足题意;1 n 9 当 400 10n0,即 m40 时， 由指数函数的

13、性质可得 (400 10m x 0.9 + 10mc 550,解得 me 190. 综合得n40; (3) 当 400 10n40 时， 由指数函数的性质可得 10ne 550, 解得ne 55,综合得 40mc 55. 综上可得所求 m的范围是(0, 55. 【感悟提升】常见数列应用题模型的求解方法 (1)产值模型：原来产值的基础数为 N,平均增长率为p，对于时间n的总产值y= N(1 + p)n. 银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a元，每期的利率为r,存期为n,则本利和y n =a(1 + r). (3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r,存期

14、为n,则本利和y= a(1 + nr). (4)分期付款模型： . n r 1 -L r a a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则 b 【变式探究】2018 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2019 年起，在今后 的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2018 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的 年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长 50%.记 2018 年为第 1 年，f(n)为第 1 年至此后第 n(nN*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润=累计净收入一累计投入，单位：千万元 )，且当f(n) 为正值时，认为该项目赢

15、利. 参考数值： 3 7 17, 3 25, ln 3 1.1 , ln 2 0.7 (1)试求f(n)的表达式； (2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. 解(1)由题意知，第 1 年至此后第n(n N*)年的累计投入为 8 + 2(n 1) = 2n+ 6(千万元)， * 1 1 ；3、 1 第 1 年至此后第n(nN )年的累计净收入为+x $丿+ ?x -f(n) = |) 1 (2 n+ 6) =3 n 2n 7(千万元).2J- 3n 1 - 3 =3 n 1(千万元). 10 方法一 / f(n+1) - f(n)= ig一 2 n+l -7压)-2n-7 =

16、I/4， 当 n3 时，f (n+1) f (n)4 时，f( n+ 1) f (n )0 , 故当n4时，f ( n)递增. 15 又 f (1) =- 2 0， f (7) = 3 7 21 17- 21 =- 40. 该项目将从第 8 年开始并持续赢利. 答：该项目将从 2025 年开始并持续赢利. 方法二设f(x)= 2x-2x-7(x-1)， 则 f( x) = xln |- 2，令 f ( x) = 0, 2 2 5, -In 2 1.1 - 0.7 x 4. 从而当x 1,4)时，f(x)0, f(x)单调递增. 15 又 f(1) =- 2 0, f (7) = 2 - 21

17、17- 21 =- 40. 该项目将从第 8 年开始并持续赢利. 答：该项目将从 2025 年开始并持续赢利. 题型四与数列相关的综合问题 1 例 4、设f(x) = 2x2+ 2x, f(x)是y = f(x)的导函数，若数列an满足少+1 = f2，M 得 _2 _ 得 2 = 3= in 3 In 2 (an)，且首项 a1 = 1. 11 (1) 求数列an的通项公式； 数列刘的前n项和为S，等比数列 bn中，bi = ai, 比，数列 bn的前n项和为Tn，请写出适合条 件TnW S的所有n的值. 1 2 解(1)由 f(x) = 2x + 2x，得 f (x) = x + 2. an+1= f ( an)，且 ai = 1. an+1 = an+ 2 贝y a+1 一 an = 2, 因此数列an是公差为 2,首项为 1 的等差数列. .an= 1 + 2(n 1) = 2n 1. (2) 数列%的前n项和弘=字门+ ?： 1=梓 等比数列律月中，合=如=1加=2=3, 1 V 1 :数列仙的前播项和Tn= | = YZyS- 1 乙空)1可化为一牙W 酹 又冇 N* 7 打=1 ?或K 2 故适合条件丁恳乩的所有鬥