2018版高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质学案新人教A版必修3

1、3.1.3概率的基本性质学习目标1. 了解事件间的相互关系 2 理解互斥事件、对立事件的概念 3 会用概率的加 法公式求某些事件的概率.訴知识梳理_自主学耳知识点一事件的关系与运算1.事件的包含关系定义一般地，对于事件A与事件B,如果事件A发生，则事 件B一定发生，这时称事件B包含事件A或称事件A包 含于事件B）符号B?A或A?B)图示注意事项1不可能事件记作？，显然C? ?（C为任一事件）；2事件A也包含于事件A,即A?A;3事件B包含事件A,其含义就是事件A发生，事件B定发生，而事件B发生，事件A不 定发生2.事件的相等关系定义一般地，若B?A,且A?B,那么称事件A与事件B相等符号A=B

2、图示注意事项1两个相等事件总是同时发生或同时不发生；2所谓A=B,就是A,B是同一事件；3在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义3.事件的并（或和）定义若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为 事件A与事件B的并事件（或和事件）符号AU耳或A+B）图示注意事项1AUB=BUA;2例如，在掷骰子试验中，事件C2,C4分别表示出现 2 点，4 点这两个事件，则C2UC4= 出现 2 点或 4 点24.事件的交(或积)定义若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)符号An耳或AB图示注意事项1AnB=BnA；2例如，掷一枚骰子，

3、事件出现的点数为奇数n事件 出现的点数为偶数 = ?5.互斥事件和对立事件互斥事件定义若AnB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥符号AnB=?图示CD CZ)注意事项例如，在掷骰子试验中，记 G= 出现 1 点 ,C2=出现 2 点, 则C与C2互斥对立事件定义若AnB为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A与 事件B互为对立事件符号AnB=?,AUB= Q图示注意事项A的对立事件一般记作A思考(1)在掷骰子的试验中，事件A= 出现的点数为 1，事件 B= 出现的点数为奇数,事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答(1)因为 1 为奇数，所以A? B.(

4、2)看是不是互斥事件；看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.知识点二概率的几个基本性质1 .概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在01 之间，从而任何事件的概率在 01 之间，即 owP(A)wi.必然事件的概率为 1.不可能事件的概率为 0.32 .互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，AUB发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而AUB的频率fn(AUB) =fn(A) +fn(B)，则概率的加法公式为P(AUB) = RA) +P(B).3 对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则AUB为必然事件

5、，P(AUB)= 1.再由互斥事件的概率加法公式P(AUE) =P(A) +P(B)，得P(A) = 1 P(E).戸题型探究题型一事件关系的判断例 1 从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110 各 10 张)中，任取一张.(1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.解(1)是互斥事件，不是对立事件.理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的， 所以是互斥事件.同时，不能保证其中

6、必有一个发生， 这是由于还可能抽出“方块”或者“梅 花”，因此，二者不是对立事件.(2) 既是互斥事件，又是对立事件.理由是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.(3) 不是互斥事件，当然不可能是对立事件.理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大 于 9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为 10,因此，二者不是互斥事件，当然不可 能是对立事件.反思与感悟1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果

7、，看它们之间能不能同时发生在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而 可判断是否为对立事件.2 .考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用Venn 图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析.跟踪训练 1 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么下列各对事件中，互斥 而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球車点突破4D.恰有一个红球与恰有两个红球答案 D解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断. A 中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是 红球”是两事件的交事件； B 中两事件是对

8、立事件； C 中两事件能同时发生， 如“恰有一个红 球和两个白球”，故不是互斥事件；D 中两事件是互斥而不对立事件.题型二 事件的运算例 2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件例如，事件G = 出现 1 点，事件 C2= 出现2 点，事件C3=出现 3 点，事件C4= 出现 4 点，事件C5= 出现 5 点，事件出现 6 点 ，事件D= 出现的点数不大于 1，事件D2=出现的点数大于 3，事件D3= 出现的点 数小于 5 ，事件E= 出现的点数小于 7，事件F= 出现的点数为偶数，事件 G= 出现的 点数为奇数 ，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1) 请举出符合包含关系、相等关系的事件；

9、(2) 利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解(1)因为事件C,C2,C3,C4发生，则事件D3必发生，所以G?D3,C2?D3,C3?D3,C4?D3. 同理可得，事件E包含事件C,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,G;事件F包含事件C,C4,C6;事件G包含事件C,C3,C5.且易知事件C与事件D相等，即C=D.因为事件 D = 出现的点数大于 3 = 出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点,所以D=C4UC5UC6(或C4+C5+C6).冋理可得，D3=C+C2+C3+C4,E=C+C2+C3+C+C5+C6,F=C2+C4+C6,G= C+G+C5.

10、反思与感悟 事件间运算方法：(1) 利用事件间运算的定义. 列出同一条件下的试验所有可能出现的结果， 分析并利用这些结 果进行事件间的运算.(2) 利用 Venn 图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把 这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练 2 盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件A=3 个球中有一个 红球，两个白球 ，事件B= 3 个球中有两个红球，一个白球 ，事件C= 3 个球中至少有一 个红球 ，事件D= 3 个球中既有红球又有白球 .则：(1) 事件D与事件A,B是什么样的运算关系？(2) 事件C与事件A的交事件是什么事件？解(

11、1)对于事件D,可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球，故 D=AUB.对于事件C可能的结果为 1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球或 3 个红球，故CPA=A.5题型三 对立事件、互斥事件的概率例 3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5 点或 6 点的概率.解 方法一 设“至少有一个 5 点或 6 点”为事件 A,同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下 表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(

12、4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有 36 种不同的结果，其中至少有一个5 点或 6 点的结果有 20 个，205所以 RA*=36=9.方法二 设“至少有一个 5 点或 6 点”为事件A,至少有一个 5 点或 6 点的对立事件是既没有 5 点又没有 6 点，记为 A .如上表，既没有 5 点又没有 6 点的结果共有 16 个，16则既没有 5 点又没有 6 点的概率为P(A)=364所以至少有一个 5 点或 6 点的概率为 RA) = 1 R A) =

13、1 -反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(AUE) =P(A) +RE).2 .对于一个较复杂的事件， 一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.3 .当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过 求其对立事件，然后转化为所求问题.11跟踪训练 3 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是2，甲获胜的概率是孑，则甲不输的概率为()6A.6C.6答案 A解析 先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算事件“甲不输”包含“和棋”115和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为1+1= .236题多群求复

14、杂事件的概率例 4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共 12 个，从中任取 1 球，设事件A为“取出 1 个红球”，事件B为“取出 1 个黑球”，事件C为“取出 1 个白球”，事件D为“取出 1 个5111绿球已知 RA)= 12，P(B)= 3,P(CC= 6，P(D)=乜.(1) 求“取出 1 个球为红球或黑球”的概率；(2) 求“取出 1 个球为红球或黑球或白球”的概率.分析 事件A,B, C, D为互斥事件，AUB与CUD为对立事件，AUBUC与D为对立事件， 因此可用两种方法求解.解 方法一(1)因为事件代B, C, D彼此为互斥事件，所以“取出 1 个球为红球或黑球”的概率为51

15、3P(AUB=P(A)+P(B)=12+3=4.(2) “取出 1 个球为红球或黑球或白球”的概率为51111P(AU BUC)=P(A)+P(B+RC)=12+3+6=石.方法二(1) “取出 1 个球为红球或黑球”的对立事件为“取出 1 个球为白球或绿球”，即113AUB的对立事件为CUD所以RAUB)= 1 RCUD) = 1-R C) P(D) = 1 - - = 4,即“取出 1 个球为红球或黑球”的概率为3.4(2) “取出 1 个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出 1 个球为绿球”，即AUBUC的对立事件为D,1 11所以RAUBUC) = 1 P(D) = 1 石=石，B

16、.51D.37即“取出 1 个球为红球或黑球或白球”的概率为解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P(A)= 1 R B)(B是A的对立事件).自查自纠1. 给出以下结论：互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立；事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；事件A与B互斥，则有P(A)= 1 P(B).其中正确命题的个数为()A. OB. 1C. 2D. 3答案 C解析 对立必互斥，互斥不一定对立，正确，错；又当AUB=A时，RAUE) =P(A), 错；只有事件A与B为对立事件时，才有P(

17、A) = 1 P(B)，错.2.对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系 是()A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.不互斥、不对立答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.3 .对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A= 两弹都击中飞机，事件B= 两弹都没击中飞机,事件C- 恰有一弹击中飞机,事件D= 至少有一弹击中飞机, 下列关系不正确的是()A.A?DB.BAD=?C. AUC=DD. AUB=BUD答案 D解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有 一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，AUBMBUD4.从集合a,b,c,d,e的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合a,b,c的子集的3概率是-，则该子集恰是集合a, b,c的子集的概率是()3211代 5 吁.卩 8 答案 C31解析 该子集恰是a, b,c的子集的概率为P= 1 4 =玄.85 .从几个数中任取实数 x,若x (a, 1的概率是 0.3 ,x 是负数的概率是 0.5，则x (1,0)的概率是_ .答案 0.2解析 设“x (a, 1 ”为事件A,“x