2022届高三数学一轮复习（原卷版）第一节 平面向量的概念及线性运算 教案

1、1第五章第五章平面向量、复数平面向量、复数第一节第一节平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养2结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养3结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养理清主干知识理清主

2、干知识1向量的有关概念向量的有关概念名称名称定义定义备注备注向量向量既有大小又有既有大小又有方向方向的量的量；向量的向量的大小大小叫做向量的长度叫做向量的长度(或称模或称模)平面向量是自由向量，可在平面平面向量是自由向量，可在平面内自由平移内自由平移零向量零向量长度为长度为0的向量的向量记作记作 0，其方向是任意的，其方向是任意的单位向量单位向量长度等于长度等于1个单位的向量个单位的向量非零向量非零向量 a a 的单位向量为的单位向量为a a| a a |平行向量平行向量方向方向相同或相反相同或相反的非零向量的非零向量(又叫做又叫做共线向量共线向量)0 与任一向量平行或共线与任一向量平行或共线

3、相等向量相等向量长度相等且方向长度相等且方向相同相同的向量的向量两向量只有相等或不相等，不能两向量只有相等或不相等，不能比较大小比较大小相反向量相反向量长度相等且方向长度相等且方向相反相反的向量的向量0 的相反向量为的相反向量为 02向量的线性运算向量的线性运算向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律加法加法求两个向量和的运算求两个向量和的运算(1)交换律交换律： a ab bb ba a；(2)结合律：结合律：(a ab b)c ca a(b bc c)2减法减法求求 a a 与与 b b 的相反向量的相反向量b b 的和的运算叫的和的运算叫做做a a 与与 b

4、b 的差的差a ab ba a(b b)数乘数乘求实数求实数与向量与向量 a a 的的积的运算积的运算|a a|a a|，当当0 时时，a a的方向与的方向与 a a 的方向的方向相同相同；当当1，因为因为 oc oa ob，所以所以 m od oa ob，即即 odmoamob.又知又知 a，b，d 三点共线，三点共线，所以所以mm1，即，即m，所以所以1，故选，故选 b.二、创新考查方式二、创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新动向1已知平面上点已知平面上点 o 与线段与线段 ab，若线段，若线段 ab 上有上有 n(n1)个异于端点个异于端点 a，b 的互异动点的互异动点 p1，11p2，

5、 ， pn， 且满足且满足 opkkoakob， k， kr,r,1kn， kz z， 则则(12n)(12n)的取值范围是的取值范围是()a(0，12n)b(0，14n)c(0，14nd14n，)解析：解析：选选 b因为因为(ab2)2aba22abb24 ab 240，所以所以 ab(ab2)2对任意对任意 a，br r 均成立，并且当且仅当均成立，并且当且仅当 ab 时等号成立时等号成立由于由于 pk，a，b 共线，所以共线，所以kk1，由于由于 pk在线段在线段 ab 上且异于端点上且异于端点 a，b，结合，结合 opkkoakob以及平行四边形法则以及平行四边形法则可知可知k0，k0

6、.若若kk12，此时，此时 pk为线段为线段 ab 的中点，仅有的中点，仅有 1 点，但点，但 n1，所以，所以 0(12n)(12n)(11)(22)(nn)(112)2(222)2(nn2)214n，故选故选 b.2.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀年，赵爽为周髀算经算经一书作序时一书作序时，介绍了介绍了“勾股圆方图勾股圆方图”，亦称亦称“赵爽弦图赵爽弦图”(以弦为边以弦为边长得到的正方形长得到的正方形由由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的的)类比类

7、比“赵爽弦图赵爽弦图”，可构造如图所示的图形可构造如图所示的图形，它是由它是由 3 个全等的三角个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 df2af，则，则()a ad213ac913abb ad29ac127abc ad313ac913abd ad213ac613ab解析：解析：选选 c由题意知由题意知 ad3 af， cf3 ce， be3 bd，则则 ad3 af3( ac cf)3 ac9 ce3 ac9 cb9 be3 ac9( ab ac)27 bd6 ac9 ab27( ad ab)6 ac18 ab27

8、 ad，所以所以 ad313ac913ab.3.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征常常运用象征、隐喻隐喻、借借12景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境从窗的外形看，常见的景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等如图，在平面直角坐标系有圆形、菱形、正六边形、正八边形等如图，在平面直角坐标系 xoy 中，中，o 为正八边为正八边形形p1p2p8的中心的中心，p1p8x 轴轴，现用如下方法等可能地确定点现用如下方法等可能地确定点 m：点点 m 满足满足 2om

9、opiopj0(其中其中 1i，j8 且且 i，jn n*，ij)，则点则点 m(异于点异于点 o)落在坐标轴上的概率为落在坐标轴上的概率为()a.35b37c.38d27解析：解析：选选 d由题意可知由题意可知opiopj所有可能结果有：所有可能结果有：op1op2，op1op3，op1op4，op1op5，op1op6，op1op7，op1op8，op2op3，op2op4，op2op5，op2op6，op2op7，op2op8，op3op4，op3op5，op3op6，op3op7，op3op8，op4op5，op4op6，op4op7，op4op8，op5op6，op5op7，op5o

10、p8，op6op7，op6op8，op7op8，共有共有 28 种种点点 m(异于点异于点 o)落在坐标轴上的结果有落在坐标轴上的结果有：op1op4，op1op8，op2op3，op2op7，op3op6，op4op5，op5op8，op6op7，共有，共有 8 种，种，所以点所以点 m(异于点异于点 o)落在坐标轴上的概率为落在坐标轴上的概率为 p82827.故选故选 d.课时跟踪检测课时跟踪检测一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度1(多选多选)设设 a a，b b 是非零向量，记是非零向量，记 a a 与与 b b 所成的角为所成的角为，下列四个条件中，使，下列四个条件中，使a|

11、a|b|b|成立的成立的充要条件是充要条件是()aa ab bb0ca a2b bd解析：解析：选选 bca|a|b|b|等价于非零向量等价于非零向量 a a 与与 b b 同向共线，即同向共线，即0，故，故 b 正确对于选项正确对于选项 c，a a2b b，则，则 a a 与与 b b 同向共线，故同向共线，故 c 正确正确2设设 d，e，f 分别为分别为abc 的三边的三边 bc，ca，ab 的中点，则的中点，则 eb fc()a adb12ad13c.12bcd bc解析解析：选选 a由题意得由题意得 eb fc12( ab cb)12( ac bc)12( ab ac) ad.3设设

12、a a 是非零向量，是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是是非零实数，下列结论中正确的是()aa a 与与a a 的方向相反的方向相反ba a 与与2a a 的方向相同的方向相同c|a a|a a|d|a a|a a解析：解析：选选 b对于对于 a，当，当0 时，时，a a 与与a a 的方向相同，当的方向相同，当0 时，时，a a 与与a a 的方向相反；的方向相反；b 正正确确；对于对于 c，|a a|a a|，由于由于|的大小不确定的大小不确定，故故|a a|与与|a a|的大小关系不确定的大小关系不确定；对对于于 d，|a a 是向量，而是向量，而|a a|表示长度，两者不能比较大

13、小表示长度，两者不能比较大小4.如图，在正六边形如图，在正六边形 abcdef 中，中， ba cd ef()a0b bec add cf解析：解析：选选 d由题图知由题图知 ba cd ef ba af cb cb bf cf.5在在abc 中，中，o 为为abc 的重心，若的重心，若 bo ab ac，则，则2()a12b1c.43d43解析：解析：选选 d如图，延长如图，延长 bo 交交 ac 于点于点 m，点点 o 为为abc 的重心，的重心，m 是是 ac 的中点，的中点， bo23bm2312ba12bc13ba13bc13ab13( ac ab)23ab13ac，又又 bo ab

14、 ac，23，13，243，故选，故选 d.二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度141已知两个非零向量已知两个非零向量 a a，b b 互相垂直，若向量互相垂直，若向量 mm4a a5b b 与与 n n2a ab b 共线，则实数共线，则实数的的值为值为()a5b3c.52d2解析：解析：选选 ca a，b b 是非零向量，且互相垂直，是非零向量，且互相垂直，4a a5b b0，mm0.mm，n n 共线，共线，n nmm，即，即 2a ab b(4a a5b b)，24，5.解得解得52.2设平面向量设平面向量 a a，b b 不共线，若不共线，若 aba a5b b， bc2a

15、a8b b， cd3(a ab b)，则，则()aa，b，d 三点共线三点共线ba，b，c 三点共线三点共线cb，c，d 三点共线三点共线da，c，d 三点共线三点共线解析解析：选选 a aba a5b b，bc2a a8b b，cd3(a ab b)， ad ab bc cd(a a5b b)(2a a8b b)3(a ab b)2(a a5b b)2 ab， ad与与 ab共线共线，即即 a，b，d 三点三点共线共线3已知点已知点 o，a，b 不在同一条直线上，点不在同一条直线上，点 p 为该平面上一点，且为该平面上一点，且 2 op2 oa ba，则则()a点点 p 在线段在线段 ab

16、上上b点点 p 在线段在线段 ab 的反向延长线上的反向延长线上c点点 p 在线段在线段 ab 的延长线上的延长线上d点点 p 不在直线不在直线 ab 上上解析：解析：选选 b因为因为 2 op2 oa ba，所以，所以 2 ap ba，所以点，所以点 p 在线段在线段 ab 的反向延的反向延长线上长线上4(多选多选)在在abc 中中，点点 e，f 分别是边分别是边 bc 和和 ac 的中点的中点，p 是是 ae 与与 bf 的交点的交点，则有则有()a ae12ab12acb ab2 efc cp13ca13cbd cp23ca23cb解析：解析：选选 ac如图，如图，根据三角形中线性质和平

17、行四边形法则知，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，15ae ab be ab12bc ab12( ac ab)12( ac ab)，a 是正确的是正确的；因因为为ef 是中位线是中位线，所以所以 ab2 fe，b 是错误的是错误的；设设 ab 的中点为的中点为 g，则根据三角形重心性质则根据三角形重心性质知知，cp2pg，所以所以 cp23cg2312(ca cb)13(ca cb)，所以所以 c 是是正确的，正确的，d 错误错误5设向量设向量 a a，b b 不共线，不共线， ab2a apb b， bca ab b， cda a2b b，若，若 a，b，d 三点共三点共线，则实数线，则

18、实数 p 的值为的值为()a2b1c1d2解析解析：选选 b因为因为 bca ab b，cda a2b b，所以所以 bd bc cd2a ab b.又因为又因为 a，b，d 三点共线，所以三点共线，所以 ab， bd共线设共线设 ab bd，所以，所以 2a apb b(2a ab b)，所以，所以 22，p，即，即1，p1.6(多选多选)已知向量已知向量 oa(1，3)， ob(2,1)， oc(t3，t8)，若点，若点 a，b，c 能能构成三角形，则实数构成三角形，则实数 t 可以为可以为()a2b12c1d1解析解析：选选 abd若点若点 a，b，c 能构成三角形能构成三角形，则则 a

19、，b，c 三点不共线三点不共线，故向量故向量 ab，bc不共线不共线由于向量由于向量 oa(1，3)，ob(2,1)，oc(t3，t8)，故故 ab ob oa(3,4)， bc oc ob(t5，t9)，若，若 a，b，c 三点不共线，则三点不共线，则3(t9)4(t5)0，t1.7已知点已知点 o 为为abc 的外接圆的圆心的外接圆的圆心，且且 oa ob co0 0，则则abc 的内角的内角 a 等于等于()a30b45c60d90解析解析：选选 a由由 oa ob co0 0，得得 oa ob oc，由由 o 是是abc 外接圆的圆心外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形结合向

20、量加法的几何意义知，四边形 oacb 为菱形，且为菱形，且cao60，故，故cab30，选选a.8已知向量已知向量 a a，b b 不共线，且不共线，且 c ca ab b，d da a(21)b b，若，若 c c 与与 d d 共线反向，则实数共线反向，则实数的值为的值为()16a1b12c1 或或12d1 或或12解析解析：选选 b由于由于 c c 与与 d d 共线反向共线反向，则存在实数则存在实数 k 使使 c ckd d(k0)，于是于是a ab bka(21)b，整理得整理得a ab bka a(2kk)b b.由于由于 a a，b b 不共线，所以有不共线，所以有k，2kk1，

21、整理得整理得 2210，解得，解得1 或或12.又因为又因为 k0，所以，所以0，故，故12.9在在abc 中，中，d 为为abc 所在平面内一点，且所在平面内一点，且 ad13ab12ac，则，则sbcdsabd()a.16b13c.12d23解析解析：选选 b如图如图，由已知得由已知得，点点 d 在在abc 中与中与 ab 平行的中位线上平行的中位线上，且在靠近且在靠近 bc 边的三等分点处边的三等分点处，从而有从而有 sabd12sabc，sacd13sabc，sbcd11213 sabc16sabc，所以，所以sbcdsabd13.10.如图如图，点点 o 是正六边形是正六边形 abc

22、def 的中心的中心，在分别以正六边形的顶点和中在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量心为始点或终点的向量中，与向量 oa相等的向量有相等的向量有_个个解析解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量易知与向量 oa相等的向量相等的向量有有 cb， do， ef，共，共 3 个个答案：答案：311.如图如图， 在在abc 中中， 点点 d， e 是线段是线段 bc 上两个动点上两个动点， 且且 ad aex aby ac，则，则1x4y的最小值为的最小值为_解析：解析：易知易知 x，y 均为正数，均为正数，17设设 adm abn a

23、c， ae ab ac，b，c，d 共线，共线，mn1，同理，同理，1. ad aex aby ac(m) ab(n) ac，xymn2.1x4y121x4y (xy)125yx4xy 1252yx4xy 92，当且仅当，当且仅当 y2x 时等号成立时等号成立，则则1x4y的最小值为的最小值为92.答案：答案：9212在在abc 中中，p 为为 bc 的中点的中点，内角内角 a，b，c 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，若若 c aca pab pb0，则，则abc 的形状为的形状为_解析：解析：在在abc 中，中，p 为为 bc 的中点，的中点， pa12( ab ac)，又又c aca

24、 pab pb0， pb12cb12( ab ac)，c ac12a( ab ac)12b( ab ac)0，cab2acab2ab0，即即cab2acab2ab，又又 ab， ac不共线，不共线，ab20，cab20，解得解得 abc，abc 为等边三角形为等边三角形答案：答案：等边三角形等边三角形13在直角梯形在直角梯形 abcd 中中，a90，b30，ab2 3，bc2，点点 e 在线段在线段 cd 上上，若若 ae ad ab，则，则的取值范围是的取值范围是_解析：解析：由题意可求得由题意可求得 ad1，cd 3， ab2 dc.点点 e 在线段在线段 cd 上，上， de dc(01) ae ad de，18又又 ae ad ab ad2 dc ad2de，21，即，即2.01，012，即即的取值范围是的取值范围是0，12 .答案：答案：0，1214如图如图，o，a，b 三点不共线三点不