2018届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数教

1、第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1. 了解任意角的概念；2. 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化；3. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。2016,四川卷，3,5 分(诱导公式)本部分很少直接考查，往往结合三角函 数的其他公式及三角函数的图象及性质 间接考查。微知识小题练自|主|排|查1 .角的有关概念(1) 从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角_(2) 从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。若B与a是终边相同的角，贝 UB用a表示为B=2kn+a,k乙2 .弧度与角度的互化(1)1 弧度的角长度等于半径的弧所对的圆

2、心角叫做1 弧度的角。角a的弧度数如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I,那么角a的弧度数的绝对值是 Ia| =丄。丄(3) 角度与弧度的换算n180i11=nrad : 1 rad =。180 nJ(4) 弧长、扇形面积的公式1设扇形的弧长为I，圆心角大小为a(rad)，半径为r,则I= IaIr，扇形的面积为S=：lr=2|a|3 任意角的三角函数（1）定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Rx,y）,那么 sina=y, COSay=x,tana =（XM0）ox（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都

3、是（1,0）。如图中有向线段MP OM AT分别叫做角a的正弦线，余弦线和正切线。微点提醒1 “小于 90的角”“锐角”“第一象限的角”的区别如下：小于90的角的范围：-m,寺，锐角的范围：|0,nn，第一象限角的范围：i2kn,2kn+专（k Z），所以说小于 90的角不一定是锐角；锐角是第一象限角，反之不成立。2 角的概念推广到任意角后，角既有大小之分又有正负之别。3 角度制与弧度制在一个式子中不能同时出现。4 在判定角的终边所在的象限时，要注意对k进行分类讨论。小|题|快|练一、走进教材1 （必修 4PoA 组 T10改编）单位圆中，200的圆心角所对的弧长为（）A.10nB.9n10临

4、n=-，所以I=乎冗。故选 Dbr9【解单位圆的半径r= 1,200。的弧度数是200X卷=n,由弧度数的定义知10n95，【答案】D2.（必修 4Pi5练习 T6改编）若角0满足 tan00, sin00 知，0是一、三象限角，由 sin00,所以m=6。故选 C。【答案】C4半径为R的圆的一段弧长等于 2Q3R,则这段弧所对的圆心角的弧度数是 _。【解析】圆心角的弧度数a=2-R3R= 2 _ 3。【答案】2 35 .已知角a和角3的终边关于直线y=x对称，且3=3，贝ysina =_。3【解析】角a和角3的终边关于直线y=X对称，a+3= 2kn+*（* Z）。又n5n13=，二a= 2

5、kn+-（k Z） , sina=。1【答案】微考点大课堂考点一象限角及终边相冋的角的表示a【典例 1】（1）已知角a的终边在第二象限，则2的终边在第 _ 象限。（）A. 或二B.二或三C. 一或三D.二或四与一 2 015。终边相同的最小正角是 _。n【解析】（1）由角a的终边在第二象限，所以 +k2nan +k，2n,kZ,nkank, _ _所以+T n气气+ 2 T 冗，k Z,冗an当k= 2n, rr Z 时， + m-2 n+ m-2 n,n Z,所以02 在第一象限；当k= 2m 1, m Z 时，汙+m-2 n扌守+m-2 n, m Z,所以亍在第三象限。综上，；的终边在第一

6、或三象限。故选Co(2)因为一 2 015 = 6X360+ 145,所以 145与一 2 015。终边相同，又终边相同的两个角相差360的整数倍,所以在 0360中只有 145与一 2 015。终边相同，所以与一 2 015。终边相同的最小正角是145。【答案】(1)C (2)145 反思归纳 1.判断角3所在的象限，先把3表示为3=2kn+a, a0,2n) ,k Z, 然后判断角a的象限即可。a*2 .确定角ka, (kN)的终边的位置：先用终边相同角的形式表示出角a的范围,【变式训练】(1)若a=k 180+ 45(k Z)，则a在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四

7、象限D.第三或第四象限已知角a= 45,在区间720, 0 内所有与角a有相同的终边的角3为【解析】(1)当k为偶数时，a在第一象限；当k为奇数时，a在第三象限，故选 Ao所有与角a有相同终边的角可表示为：3= 45+kx360(k Z),则令一 720 45 +kX360 0。得765kX360 45o76545解得360wkw 360，从而k= 2 或k= 1,代入得3= 675 或3= 315o【答案】 (1)A (2) 675 或315考点二扇形的弧长公式及面积公式母题发散【典例 2】 若扇形的周长为 10,面积为 4，则该扇形的圆心角为 _【解析】设圆心角是0，半径是r,12r+r0

8、 =10,r= 1,r=4,则 12?(舍)，1Ir=40 =80= 2,故扇形圆心角为 1o【答案】12【母题变式】1.若去掉本典例条件“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？再写出ka或a的范围，然后根据kk的可能取值讨论确定ka或+的终边所在位置。【解析】 设圆心角是0，半径是r,则 2r+r0 =10(0r0 时，r= 5a, sina= , cosa=匚，tana= 二；考点三三角函数的定义多维探究【典例 3】554【答案】(1) 5(2)见解析角度二：根据定义求点的坐标【典例 4】 顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角a,3的终边与圆心在原点的单B两点，若a=

9、 30,3= 60，则弦AB的长为由三角函数的定义得A(cos30 , sin30 ),=2#2 =。【答案】6-2角度三：三角函数线的应用【典例 5】(2017 郑州模拟)函数y= lg(2s inx 1) + _ 1 2cosx的定义域为反思归纳1.三角函数定义的应用问题的解题思路(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离, 确定这个角的三角函数值。(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出参数的方程，求参数的值。2三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解。当a0,1 2cosx 0,1

10、sinx2， 即1cosxw2，如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知, 原函数的定义域为n2kn +亍，2knk Z)。【答案】2kn 5n+ 3，2kn+ 百(k Z)所以|AB=答案 A+k360 a180+k360(kZ)，则 180a180 (90 +k 360),即一k 360 180微考场新提升11 .设a是第二象限角，Rx,4）为其终边上的一点，且COSa=-x，则5tana =()4A.33B.43C41解析 因为a是第二象限角，所以 COSa=-x 0,即XV0。又 COSa51x=5x=x2+ 16解得x= 3，所以 tana44x=-3。故选 d答案 D2.已知扇

11、形的周长是4 cm,则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是A. 2B.1C.2D.解析 设此扇形的半径为r,弧长为I，则 2r+1= 4,面积S=3rl=y(4 2r) =r2+2r= - (r 1) + 1，故当r= 1 时S最大，这时I= 4 2r= 2。从而ar= 1= 2。故选 A。3 .已知角x的终边上一点的坐标为5n5nsin,cos孑，则角x的最小正值为（）”5nA.一6r 5nB.c.11nD.2n解析sin 65n15nCOS-2角x的终边经过点5x= 2kn+ n,k Z,.角x的最小正值为5n一一。（也可用同角基本关系式tanx=沁得出。)cosx故选 B。答案 B4 .已知a是第二象限的角，则 180a是第象限的角。解析由a是第二象限的角可得 90(180 +k 360 )180,tanx=.；3