2018年高考数学专题10.4圆锥曲线的综合应用试题文

1、2圆锥曲线的综合应用【三年咼考】1.1.【20172017 山东，文 2121】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆22小x yC:22=1( (a b0)0)的离心率a b为_2_2 , ,椭圆C截直线 y=1y=1 所得线段的长度为 2 2 . .2 2( (I) )求椭圆C的方程;( (n) )动直线I: :y= =kx+nm0)0)交椭圆C于AB两点，交y轴于点M点N是M关于O的对称点，圆N的半径为| |NO设D为AB的中点，DE DF与圆N分别相切于点E F, ,求.EDF勺最小值. ./1Jr、I .i_5F)丿【解析】(I)由椭圆的离心率为2，得a2=2(a2-b2),2222a又

2、当y= =1 1 时，x = a2,b得a22 2a22x=2=2，所以a =4,b =2，因此椭圆方程为 一b42工 y = kx m / 口2(n)设A(x-y1)-B(x2,y2)，联立方程A+2y2=4得2k)x24 kix 2m 4 0由：0得m2：4k22(* )且x-14kmx2一2k21 因此y1丨，所以D(-羊2k 12k 1册)，又N-m,所以NFNDkm=(一2k21)2(2k21-m)2，整理得:ND224_ 4m (V 3k k )(2k21)2，因为，所以ND4(k43k21)NF8k2+32 2= 1 +2 2(2 k 1)(2 k 1)2，令t =8k 3,t

3、-3，故2-3 -2t +1ND16t16人112k +1=，所以=1 +- =1+-.令y = t+-，所以y = 1飞.4NF（1+t）t+S2ttt11 10当t _3时，y .0, ,从而y =t在3,v）上单调递增，因此t，等号当且仅当t=3tt 32NDLL时成立，此时k=0，所以2兰1+3 = 4，由（* *）得返m-，所以得最小值为 -.从而Z EDF的最小NF 2ND 26值为，此时直线的斜率时. .综上所述：当k=0，m(-一2,0) .(0,、,2)时，.EDF取得3最小值为一. .32 22.2.【20172017 天津，文 2020】已知椭圆 与占=1(a b 0)的

4、左焦点为F (-c,0)，右顶点为A，a bh厶点E的坐标为(0, c)，EFA的面积为 . .2(I)求椭圆的离心率；3(IIII )设点Q在线段AE上,|FQ H-c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M,N在轴2上，PM/QN，且直线PM与直线QN间的距离为，四边形PQNM的面积为3c. .(i i )求直线FP的斜率；(iiii )求椭圆的方程. .1rl【解析”I)设椭圆的高心率为农由巳可得-(7 + = .又由b2= /可得 2 +M ,22即021 = 6又因为解得“丄所儿 椭圆的离心率为丄.2 2(II)( i )依题青，设直线胛的方程为则直线胛的斜率为丄-由(1 )知口 =2,m

5、可得直线 A的方程为 + ? =即 + 2y-=0,与直线冲的方程联立，可解得x=(2m-ey =Jc?即点的坐标为严-笃空由已知吨卜丰，有m+2m+2朋+2糊 +22-4 - b00)的长轴长为 4 4,焦距为 2 2( (n) )过动点M0 0 ,m)()(n0)0)的直线交x轴与点N,交C于点A, P( (P在第一象限) )，且M是线段求椭圆C的方程;(I)-6 -_ 2 2a =2,b = a=.,2，所以椭圆 C C 的方程为1. .42( (n)(i)(i)设P xo,yoxo0,y。 0，由M 0,m，可得P Xo,2m ,Q Xo,-2m .所以直2m - m m2m - m3

6、m k线 PMPM 的斜率k，直线 QMQM 的斜率k. .此时3，所以XoXoXoXokk 为定值-3.-3.k(ii)设A Xi, y-i, BX2, y2，直线 PAPA 的方程为y = kX m，直线 QBQB 的方程为y = -3kX - m. .y = kx m2IJ2222m -4联立x2y2，整理得2k 1 x - 4mkx - 2m - 4 = 0. .由x0X|2可得i2k2+1.422 22 m -22k m-2x12，所以= kx1m2m，同理2k 1 X02k 1 X02 m2-2-6k m2-2x22, y22m. .所以(18k +1)x0(18k +1风2 m2

7、-22 m2-2-32k2m2-2x2 _X12 2 2 2，(18k2+1)x0(2k2+1)x018k2+1 )2k2+1 )x02222七k(m -2)2(m -2)-8k(6k +1)(m-2) ”、2一屮二- 2-m -2-_m二-2- 2-，所以(18k +1 )x0(2k +1 )x0(18k2k +1 )X02 2X y4 4.【20162016 高考四川文科】已知椭圆E：二2= 1(a b 0)的一个焦点与短轴的两个端点a by2由m0,X00，可知k0,所以6 - -2.6，k纶口当且仅；6m 614k时取得. .此时即m，符号题意. .所以直线64-8m267ABAB 的

8、斜率的最小值为、 、66k214k-7 -是正三角形的三个顶点，点P(、-3,丄)在椭圆E上. .2( (I) )求椭圆E的方程;-8 -1 1( (n) )设不过原点O且斜率为 2 2 的直线I与椭圆 E E 交于不同的两点直线 OMOM 与椭圆 E E 交于 C C, D,D,证明:MA MB = MC MD.【解析】(I I )由已知，a=2=2b. .又椭圆22x y22=1(a b 0)过点a b心1)，故134彳2 2 1，4b2b2解得b2=1. .2xo所以椭圆E的方程是y2=1. .41(II(II )设直线l的方程为y x m(- 0),A(X1,yJ,B(X2,y2),由

9、方程组2Lx227y1y x m,22 2 2 2得x 2mx 2m -2 =0， 方程的判别式为上=4(2 - m )，由八，即2-m 0,解得一-：迈：:m八2 .由得 X2二-2m, X1X2二2m2- 2 .所以M点坐标为(-m,)，直线21OM方程为yx，由方程组22+ y2= 1,厂厂4得C(一，2, -), D(2, -一).所以122y x,2MC MD5(mr2)50 2 m)=(2m2). .又224212252(X1-X2)(%-丫2)(X1X2)-4X1X241652252II= 4m24(2m22)= (2m2). .所以MAMB = MC MD. .1645 5.【

10、20162016 高考上海文科】有一块正方形菜地EFGH, ,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜MA MB4AB可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域S,和S2，其中S,中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1,01,0 ),如图(1) 求菜地内的分界线C的方程8(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到3面积的“经验值”为 -。3设M是C上纵坐标为 1 1 的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边A A, B,B,线段 A

11、BAB 的中点为 M M-9 -10 -形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S面积的经验值【解析】(1 1)因为C上的点到直线丁I：与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以门为准线的抛物线在正方形1-FGI内的部分，其方程为y2=4x(0：y：2).(2 2)依题意，点二I的坐标为1,1.所求的矩形面积为 -，而所求的五边形面积为11.矩(4丿245一8=丄，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值23611 Qi为-=一，所以五边形面积更接近于 3 3 面积的“经验值”.43126 6.【20152015 高考新课标 1 1,文 5 5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为1,E的右焦点与

12、抛2物线C : y2=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，贝UAB =()()(A A)3(B B)6(C C)9(D D)12【答案】B B【解析】丁抛物线C:/ =的焦点为九 准线方程为一2,滞圆E的右焦点为( (2,0),二椭圆E的焦点、在K轴上，设方程为与+刍c=2,a b*. = =A/.o = 4, /.=G1ca=12 ,椭圆E方程为+ =1fa216122 27.7.【20152015 高考山东，文 2121】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：务+七=1（ b0）口b形面积与“经验值”之差的绝对值为-11 -3一1的离心率为亍，且点(3，2)在椭圆C上. .(I)

13、求椭圆C的方程;2 2(n)设椭圆E:二+ =1,4a24b2(i)求器的值;(ii)(ii)求:ABQ面积的最大值. .2方程为y2= 1.42 2x y1. .1642(i)设P(x, y), Q -,由题意知Q(二乂0,-%0).因为 况，y2=1.又|OP |4(ii(ii )设A(Xi,yJ, B(X2, y2),将y = kx m代入椭圆E的方程，可得2 2 2 2 2(1 4k )x 8kmx 4m -16 =0,由0,可得m b 0）的左右焦点分别为Fi, ,F2, ,且过F2的直线交椭圆于 P,QP,Q 两点，且 PQ_PQ_PF1. .【解析】（1 1）由椭圆的定义，( (

14、I) )若 I IPF1|=2|=2+ +2, | |-14 -2a=|PF| + |PF2|=(2 + V?)+(2- 72)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF八PF2，因此2c =| FF2|=J|PF |2+|PF2I2(2/2)+(2/2)=23,即c= J3.从而_ 222X2b=、a - c =1,故所求椭圆的标准方程为+y =1. .4-15 -( (I) )求椭圆E的方程;【解析】( (I) )由已知，点 C,C,D的坐标分别为(0(0，-b) ) , (0(0 ,b) )，又点P的坐标为(0(0 , 1)1)，且如题(21)(21)图，由PF人PQ,| PQ|=I

15、 |PF I，得IQF F J|PF I2+|PQ|2= Jl+I2|PF |,由椭圆的定义，|PFi| + |PF2|=2a ,| QFiI + IQF2|= 2a, ,进而| PF | +|PQ| + |QFi|= 4a，于是(1 + I + .1 +l2) | PF1| = 4a. .解得| PF, |=-_ ，故| PFd= 2a- | PF |=2a(I +1+I -1).由勾股定理得1+I +訥+丨24a1 + I +1 +| PF1|2+ |PF2|2=| PF2|2= (2 c)2= 4c2, ,从而骣琪I桫+ 1 +J1 + I4a2+|a(l +年匚1=4c2, ,两边除以

16、4a2，得 琪1 +1 +._ 2+l + .1 + 122 _i_乏二e2, ,若记t =1+I +J1 + I2，则上式变成1+I+.1+ 丨2)+(I + J1 + I2-1)2e2_4+(t-2)i=r得3?t9 9t24，即，进而- b0)0)的离心率是a bP(0(0,( (n) )设0为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点. .是否存在常数 入，使得入的值；若不存在，请说明理由OB PA卩B为定值？若存在，求-16 -1/ = 1PC PD=- 1 1,于是-= ，解得a= 2 2,b=J2，所以椭圆E方程为 +-=1. .a 2422 .2 2a -b =c( (n)

17、)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+ 1 1,A,B的坐标分别为( (X1,yj,( (X2,-2 2x+y _1y2) )，联立 0 0，所y =kx+1以xx242k, x.x22，从而OAOB PA PB=X1X2+y1y2+ 入 X1X2+ ( (y12k212k211)(1)(y2 1)1)【20172017 考试大纲】【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题，由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与 圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中档题或难题， 主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间

18、的联系，直线 与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆 的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高， 尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目【20182018 年咼考复习建议与咼考命题预测】 由前三年的高考命题形式，椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题考查方面离心率是重点，其它利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角=(1(1 + 入)(1)(1.2 .+k) )X1X

19、2+k( (X1+X2) )+ 1 12(-2, -4)k(-2, -1)22k 122，所以,2k 1当入=1 1 时,22= 3 3，此时,2k21AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD此时OAO PAPB=OCOD PC PD= 2 21 1 = 3 3,故存在常数入=1 1，使得OA OBPA PB为定值3.3.PB= 3 3 为定值，当直线-17 -形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等从 近三年的高考试题来看，小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大 多为选择题、填空题，难度为中等偏低，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本

20、运算 能力及等价转化思想，而椭圆、抛物线的性质一般，一道小题，一道解答题，难度中等，有 时作为把关题存在，而且三大曲线几乎年年都考，故预测20182018 年求曲线的方程和研究曲线的性质、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等仍是高考的热点，题型大多为解答题，难度为 仍中档题或难题，仍主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥 曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题 等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系仍是考查的重点和热点，考查的 知识点仍然较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，仍 是高考中

21、区分度较大的题目，在备考时，熟练掌握求曲线方程的常用方法，掌握直线与圆锥 曲线问题的常见题型与解法，加大练习力度，提高运算能力和综合运用知识分析解决问题能 力，要特别关注与向量、导数等知识的结合，关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想 等数学思想在解题中的应用.【20182018 年高考考点定位】高考对圆锥曲线综合问题的考查有三种主要形式：一是考查求曲线方程；二是考查圆锥曲线 间的知识运用；三是直线与圆锥曲线的位置关系，这是高考中考查的重点和难点，主要涉及 的题型为中点弦问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题、探索性问题，从涉及的知识 上讲，常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识相联

22、系，考查知识点多，运算量大， 能力要求高，难度大是这种题型的一大特征【考点 1 1】求轨迹方程【备考知识梳理】1曲线与方程在平面直角坐标系中， 如果某曲线q看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x, y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)(1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做这条曲线的方程；这条曲线 叫做这个方程的曲线 2直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)(1)建系一一建立适当的坐标系.(2)(2) 设点一一设轨迹上的任一点Rx,y) ).-18 -(3)(3) 列式列出动点P所满足的关系式.(4)(

23、4) 代换一一依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简.证明一一证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.【规律方法技巧】1.1. 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先 根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数一一待定系数法；另一类是不知曲 线类型常用的方法有：(1)(1) 直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F( (x,y) ) = 0 0;(2)(2) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨 迹方程；代入法( (相关点法) )：动点P( (x,y) )依赖于另一动点

24、Qxo,yo) )的变化而变化，并且Qxo,yo) ) 又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示xo,yo,再将xo,yo代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)(4)参数法：当动点F( (x,y) )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量( (参数) )表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.2.2. 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等【考点针对训练】1.1.【湖南省衡阳市 20172017 届高三第三次联考】已知对任意平面向量启二x,y，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转 二角得到向量A

25、P二xcosv - ysin,xsiyco，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P. .设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4后得到点的轨迹是曲线x2-y2=2，则原来曲线C的方程是()A.A.xy =-1B.B.xy=1C.C.y2-x2=2D.D.y2- x2= 1【答案】A A-19 -【解析】设平面内曲线c上的点p(x.y),则其绕熄点沿逆时针方向旋转壬后得到点42.2.【福建省三明市 20172017 届 5 5 月质量检查】已知直线y =x m与抛物线X2=4y相切，且与x轴的交点为M，点N -1,0. .若动点P与两定点M ,N所构成三角形的周长为 6 6.(I)(I

26、)求动点P的轨迹C的方程；1( (n) )设斜率为1的直线I交曲线C于A,B两点，当PM _ MN，且A,B位于直线PM的两2侧时，证明：.APMtBPM. .【解析】( (I) )因为直线y = x m与抛物线X2=4y相切，所以方程x4 x m有等根，则16 16m =0，即m = -1，所以M 1,0.又因为动点P与定点M 1,0 ,N -1,0所构成 的三角形周长为6,且|MN|=2，所以|PM|+|P叫=4A|MN| = 2,根据椭圆的定义，动点P在以M ,N为焦点的椭圆上，且不在x轴上，所以2a = 4,2c = 2，得a = 2 cT，则b=J3,2 2即曲线C的方程为x y=1

27、431( (n) )设直线I方程y = x +t2=-3-3t2+120+120,所以-2：t 2,此时直线I与曲线C有两个交点A, ,B，设Ax),y1,2X1X2二t -3, /PM _ MN，不妨取P33y1_2y2_2-APM = BPM恒成立，即证明kAP kBP=0，即证 2=0，也就是要证X1X2(乂一(芷+刃，丁点、F在曲线= 2, /.-y)t-1，联立1yxt,22243,1,3，要证明2BX2, y2，则为X2 =t,-20 -y1一2 X2 Ty2一2 X,-1 =0,-21 -即证X1X2tX2-2 XiX23-21 =0,由韦达定理所得结论可得此式子显然成立，所以.

28、APM二/BPM成立【考点 2 2】圆锥曲线间的综合【备考知识梳理】1.1. 要熟记椭圆的定义、标准方程与几何性质 2.2. 要熟练掌握双曲线的定义、标准方程与几何性质3.3. 要熟练掌握抛物线的定义、标准方程与几何性质【规律方法技巧】1.1. 解圆锥曲线间的综合问题时，要结合图像进行分析，理清所涉及到圆锥曲线间基本量之间的关系，实现不同曲线间基本量的转化. .2.2. 熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质是解题的关键. .【考点针对训练】模】已知双曲线E:2-2=1(a0,b 0)的右顶点为A,率的取值范围是【答案】B BAP PF 0=C2X。2-3ax。2a2=0,

29、 ,因为在E的渐近线上存在点P，则- 0，即a22C222293 29a2axg9a8c二e气二，又因为E为双曲线，则1Z3 24,故选 B.B.1.1.【20172017 届四川省资阳市高抛物线C : y2=8ax的焦点为F若在E的渐近线上存在点P,使得A.A.1,2B.B.C.C.342D.D. 2,:2,:【解析】由题意A(a,0),F(2a，0 )，设P x0, x0I a，由，得-22 -2 245且过抛物线Ci的焦点，直线I被抛物线Ci截得的线段长是 1616,双曲线C2:X2一y2a b的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线I与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是( )A

30、.A. 2 2 B.B.3C.C.2D.D. 1 1【答案】D D【解析】抛物线的焦点为由弦长计算公式有器尹=16 = 16 = 1,所以抛物线的标线方程为b = g 准纟訪程为x = -2,故双曲线的一个焦点坐标为(竝4),即z 4所以b =耐二忑腐近线方程为，二土的兀,直线/方程为卩二兀一2所以点尸(Q-2),点P到双曲线的一条渐违戋的距离为生=1,选D 3+7【考点 3 3】直线与圆锥曲线位置关系的综合问题【备考知识梳理】1 1 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程mx2 nx p = 0. .(1)若m工 0 0,当厶 0 0 时，直线与圆锥曲线有两个交点. .当厶=0

31、=0 时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切当0,n0)，双曲m n2 2线方程可设为 -=1=1 ( (mn 0) ).这样可以避免繁琐的计算.m n利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程.2.2.最值或范围问题的解决方法解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：(1)(1) 利用函数，尤其是二次函数求最值；(2)(2) 利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；-26 -(3)(3) 利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4)(4) 利用判别式求最值；-i27 -(5)(5)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值.

32、3 3 求定值问题的方法定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题.4.4.有关弦的问题(1)(1) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长 问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.1斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点R( Xi, yi),P2(X2, y2)，则所得弦长| RP2 1 k2| Xi-X2|或丨P1P2E.1J1丫2 -丫11，其中求| Xi-X2|与|丫2 -旳|时通常使用根与系数的关系，

33、即作如下变形：|Xi-X2 IXiX22-4XiX2,卜2- yi|=. % 丫2-4y2. .2当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算( (利用两点间距离公式) ).(2)(2) 弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.5.5. 圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础 因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求PFi+|PFFiF2,双曲线的定义中要求 | PF2| c FiF2. .6.6. 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)(1) 设方程及点的坐标；(2)(2) 联立直线方程与

34、曲线方程得方程组，消元得方程( (注意二次项系数是否为零 ) )；(3)(3) 应用根与系数的关系及判别式；(4)(4) 结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解7.7. 解析几何解题的基本方法解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的 综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识 解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断 常用的

35、-28 -给出以下情形之一：AB/ AC;存在实数,使AB二 AC;若存在实数:,且一1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线；- OA OB_ _给出1，等于已知P是AB的定比分点，为定比，即APPB；(7)给出MA MB =0, ,等于已知MA _ MB, ,即.AMB是直角，给出MA MB =m：0, ,等于已知.AMB是钝角，给出MA -MB二m 0, ,等于已知.AMB是锐角;方法：数形结合法，以形助数，用数定形 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合( (如角平分线的双重身份一一对称性、利用到角公式) )、“方程与函数性质”化求变量范围构造不等关系”等等

36、8.8.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求 所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算. .所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则. .因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.9.9.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:(1)给出直线的方向向量u = 1,k或u = m,n；(2)给出OA OB与AB相交，等于已知OAOB过A

37、B的中点；(3)给出PM - PN =0, ,等于已知P是MN的中点；(4(4) 给出AP AQ二，BP BQ, ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线; ;(5(5)(8(8)给出MA . MB=MP, ,等于已知MP是AMB的平分线;MAMB(9(9)在平行四边形(10(10)在平行四边形-29 -ABCD中，给出(AB AD) (AB-AD) =0，等于已知ABCD是菱形；- - - ABCD中，给出|AB AD|=|AB-AD|，等于已知ABCD是矩形；2 - 2(11(11 )在ABC中，给出OA =OB =OC，等于已知O是BC的外心(三角形外接圆-30 -的圆心，三角形的外心是三角

38、形三边垂直平分线的交点）（1212）在.ABC中，给出0A 0B 0C =0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）（1313）在.ABC中，给出OAOB =OBOC = OC OA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）（1414）在ABC中，给出OP =OA （AB+_4刍）仏R+）等于已知AP通过AABC的|AB| |AC|内心;（1515）在厶ABC中，给出a OA b OB c QC二0,等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；-1（1616）在UABC中，给出AD =：AB AC, ,等于

39、已知AD是ABC中BC边的中线. .21010定点、 定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量， 那么就可以用变化的量表示问 题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影 响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数 表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的 量.1111 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标 函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系.建 立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则

40、是这个变量能够表达要解决的问 题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处 理. .A.A.3 - 2 2B.B.2 -2C.C.-J3：2D.D.2-1【答案】D D【解析】由已知，F （0,1 ）,Q（0, T ），过点P作PM垂直于准线，则PM = PF.记1.1.【20172017 届云南省师范大学附中高三适应性（五）】已知抛物线X2=4y的焦点为F,准线为I，抛物线的对称轴与准线交于点Q,P为抛物线上的动点,PF = m|PQ|，当m最小时，点P恰好在以F,Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（-31 -抛物线相切于点P设P冷，卫，可得P（2,1卜所

41、以|PQ|=2j2,|PF|=2，则1),从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC、1625，则椭圆的离心率为(2x2ma由题意知，外层椭圆方程为2ymb1，设切线AC的方程为2 2.2223242. 2y得：a +b )x -2mk(ax + mk(a ab =0由b2,同理得k222m2T ,所以3J5c .e =5 a选 A.A.-35 -36 -为 ，A、B为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为 2 2,p、Q为椭圆E上异于A、2224 kb2k21x24kbx 2b2-4 =0，设Px1,y1,Qx2,y2，则x1x222k 17.7.【20172017 届安徽省宣城市高三二模】如图

42、，已知椭圆a b2=1(a b 0)的离心率(H)求三角形APQ的面积S的最大值.2 2【解析】（I）x y-142，故kBPkBQ =_1(n)当直线PQ的斜率存在时，设丨PQ:kx b与x轴的交点为M，代入椭圆方程得2b2-4x1x222k 1由BP BQ =0，得y1y2XjX2-2为x24=0，得k21 XjX2kb2 x,x24 b2= 0,4k28kb 3b2=0,得b 2k或b = -2k.3y = kx - 2k或y = kxk，所以过定点3点2,0为右端点，舍去,1SJAPQ= S也PM+ SAQM= ?沃OM xyi一y22(I)求证：直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值;斜

43、率的 2 2 倍.-37 -上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B,D两点斜率分别为k1,k2. .(1) 求椭圆C的方程；(2) 当r变化时，求k,k2的值；试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由12 2 2T2a，又a-b=c,解得af2故所求椭圆C的方程是 +y1. .8k2(8k2_2b2+4 )162 - 2k (16k +9)一31|(2k2+1 )9j(2k2+1 )-1 1 2+-22k+12(2k2+1)1t(0 : t : 1)，2k21SAPQ= 9当直线IPQ的斜率k不存在时，P xuyi,1Qx1, -y1I，kAP= 2kBQ，S32

44、SAPQ九92y1y1418 8y1，SAPQ -32一32，所以S23 39APQ的最大值为328.8.【黑龙江省大庆学 20172017 届高三考前得分训练】已知椭圆x22yC : 2 2= 1(a b 0)的离a b心率为22，四个顶点构成的菱形的面积是4,圆M :(x+1 )2 2y = r (0：r：1)(不同于点A)，直线AB, AD的【解析】(1 1)由题设知,169捲2x1-220 :：t t : 1，-38 -42 2 2AD : y - k2x 1，同理有1-r k22k20，于是k1, k2是方程1-r2k2-2k，1-r2=0的两实根，故& k? =1. .考虑

45、到r 1时，D是椭圆的下顶点，By = k1x 1趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上. .由x22，得y =14(2)，化简得1 -r2k12-2k1r0,对于直线AB : y二kX 1，则有4-39 -2y-4匕+1丄匕+k28k1y2 24k11-3 4k11故直线BD过定点0,一5V 3丿2 2x2y2=1(a b 0)的离心率是a b(I)求椭圆C的标准方程;(i(i )求圆 D D 的标准方程;(ii(ii )若直线I；过定点3,0,与椭圆C交于不同的两点E、F，与圆D交于不同的两点M、N，求|EFI |MN I的取值范围.【解析1( I由已知得直线百过定点(“)

46、,扌十又纟二芈，空=歹+几解得扌=4,a2酹二1 ,故所求椭圆C的标准方程为Z + b = 1 (H) (i)由(I )得盲线厶的方程碍+p = l, 01x+2y-2=O,又EID的标准方程为jj3+2x22厂(x-3) +(j-2) =13-叭J.圆心为(3,2),圆的半径=,圆。的标准方程为VI3+ 21(ii(ii )由题可得直线l2的斜率存在，设l2:y=k x-3,与椭圆C的两个交点为E为，、y =k(x+3 ),F x2,y2，由x22消去丫得1 4k2x2-24k2x 36k2-4 = 0，由0，得y =1,2 24匕1 x 8k(x=0，于是有B_8k14k；fk；*T 4宀

47、1 ,D2-8k2-4k214k；4k；1. .直线BD的斜率为kBD=kJ，直线 BDBD 的方程为 V V-8k1x_ 4k厂1,令x = 0，得9.9.【20172017 届山东省济宁市高三3 3 月模拟】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:(n)若直线i1与圆D:x2y2-6x -4y m = 0相切:2_ 20 k15_5-3 4k；1一3二，且直线h:rr1被椭圆C截得的弦长为-40 -设t =1+4k2w k，9I, k2=口，则IL 540心1250 1 -25 216,It丿It丿2 2已知椭圆C :x2y2-1(a b 0)的离心率为a b和抛物线y2=x交于M , N两点，

48、且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点F,(1(1)求椭圆 C C 的标准方程;(2 2)经过F的直线I和椭圆C交于A,B两点，交抛物线于C, D两点，P是抛物线的焦点，是否存在直线l，使得S.OCD= 9S.PAB,若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。0 k21:,524k2x.x221 4k2x.x2口EF1 k2fx x2$ 4x1X2236k 421 4k(仆2)224 k1 4k22心也2411 +4k2j=42 21 k 1 -5k1 4k2 2又圆D的圆心3,2到直线12:kx-y-3k=0的距离d =3k-2-3k 2.k21. k21，二圆D截直线l2所得弦长|MN|=2j

49、r2-d5k2+1k21EF MN =42 21 k 1 -5k1 4k41 -25k1 4k2 y - -9x - 50 x -25的对称轴为x=，在15,1上单调递增，990： ： ：y二0 v|EF| MN兰810.10.【重庆市 20172017 届高三二模】， 椭圆C-41 -【解析】(1 1)由知，可设a = 2紅c =九,b =,其中九0,由已知M (c,),a 2-42 -(2)(2)易知，直线I的斜率存在。设直线l为y二kx-2 , Ax1,y1,B x2,y2,C x3, y3,2 2+ =12 2 22由 84= 1 2k x-8kx8k-8=0=20y = k x -2

50、2 28k8k -8x1+X2=2, Ex?二-21+2k1+2ky=kx-2 2 222C2= k x - 4k 1 x 4k =010y =x22x丄=184椭圆方程为21代入椭圆中得：C2：=1即1a2b2222=1，解得，=.2，从而a=2、2,b = 2,c=2，故D X4,y4f f 1 1 S。由条件知P4，F 2，。F7SncnSOCD8SOCDS pAB 7SOAB8 CD7SAB7AB，故CD9AB8AB=；1 k242 1 k2x1_X221 2k24k十1X3+&二一,x3x4=4,CD=Ji +k2|x3_x4|二1 k21 8k2k21 k218k2I AB

51、 8k24.21 k21 2k2、1 8k2972k21 k24 .281k41 k21 2k2-2=2 1 2k21 8k2=64217k69k -24k -0，O-43 -.k2-1 17k426k22=Qk2=1二k二1。存在直线I:满足条件。【山西省榆林市高三第二次模拟】已知抛物线y2=4x的准线与双曲线占=1 b 0交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若=FAB为直角三角形，则双b曲线离心率为(11114x2-44 -A A亘B B.主C C.玄233【答案】C C【解析】由题意得：.32,b曲线的离心率为(【答案】C C2 2 2 2 2 2 2 2= c-a, 上式化简为(c -

52、a )c = a (2c -a ),整理3厶15得c4-3a2c2，a4=0两边都除以a4，得e4- 3e20,解之得e2,双曲线2233,55 1的离心率e 1,e，可得e，故答案为 C.C.2V 221a=一257，选 C.C.312.12.【20162016 年山西省四校高三联考】22已知双曲线 笃-每=1(a0,b 0)的两顶点为A，a b虚轴两端点为BB2，两焦点为Fi,F2. .若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,则双A.A.口B.B.2壬C.C.2【解析】 双曲线的虚轴两端点B1、B2，两焦点为F2. F1(c0)Bd0,b),可得直线F1B1的方程为y x c,c

53、即bx 0 .(1)若yd =3, ,求抛物线的标准方程;(2(2)若AMAB=0, ,求证：直线AB的斜率的平方为定值. .【解析】(1 1) 丫y1二d, ,设抛物线的焦点为F,二|AF = %,即AF丄x轴，二为=卫，即2pr3, ,得心，所以抛物线的方程为即直线AB的斜率的平方为定值. .【一年原创真预测】(2)设B X2, y2, ,直线AB的方程为y = k x，将直线AB的方程代入I 22y得k2x2 pk_2x寸乜由:0得k21.4.故选D.4【入选理由】本题考查直线与双曲线的位置关系等基础知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力本题是双曲线与圆结合

54、，体现学科内综合A.A.mm c0B.B.m m a 4C.C.m0cmv4D.D.m-cmc0，或4【答【解联立y kx mx22，得(3k2-1)x26kmx 3(m21) = 0，首先应有y 13y.:=(6km)2紊十0，即_4(3k2gm2+1)03k2十0、22(探)，设点m-3k210C(xyJ,D(X2,y2),线段CD的中点为M (x, y),由根与系数的关系得x1x2,3k -13km一m十，-3km -m十，亠八“所以x02,y kx0m2，所以点M (2,2)，所以直线AM的3k -13k -13k -1 3k -1m1斜率为kAM二筮1-3km3k2-13k2- m

55、-1兰也,由题意应有直线I与直线AM垂直，所以-3km23k - - mkAMk,即-121k工1,化简得3k2-3km=4m T,因为3k2 0,所以4m 1 0,12解得 m -.将3k2=4m +1代入(探)式得丿44m 1八，解得 m：0 或m 4故-(4m 1) 10, ,故选此-50 -3 3已知一抛物线的焦点为F(0,1)，其对称轴与准线的交点为A,P在抛物线上且满足-51 -|PA|=m|PF|,当m取最大值时，点P恰好在以A,F为焦点的双曲线上， 则双曲线的渐近 线为(Ay =晅;x(B)y =2x(0(D)y = j2(V2+1)x【答案】C C【解析】由题意得抛物线的标准方程为x2= 4y，过点P