2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案文

1、8. 3 圆的方程J考纲解读1仲:握痢定恻的几何塑索，關的标雅启程与一姙方程.陡根琳不同的加件，采臥标恋式或一脱武求Ml的 方幣匕芈拥点-讪11的何嘗瓷系.能求胖与闘有关的机述方禅.考纲要求探11考向预测从近=年来看.本讲为富婷屮的热点.预漢now年将会時说：求関的方祥；棍am的厅程壊岫値：念与闘冇兀的轨迹问懸一试酬嘗观趣的厢戌氓现，以屮档题空呈现.H基础知识过关知识梳理1圆的方程2 2 2标准方程：(xa) + (yb) =r(r 0)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F= 0(D+E2 4F 0)2.点与圆的位置关系平面上的一点Mxo，yo)与圆C：(xa)2+ (yb)2=r2之间存在着

2、下列关系：设d为点Mxo,yo)与圆心(a,b)的距离dr?M在圆外，即(xoa)2+ (yob)2r2?M在圆外:2 2 2(2)d=r?M在圆上，即(xoa) + (yob) =r?M在圆上:(3)dr?M在圆内，即(xoa) + (yob) 0.()答案V(2)X(3)VV2.教材衍化(1)(必修 A2P120例 3)过点C( - 1,1)和D(1,3)2 2A.x+ (y- 2) = 102 2C. (x+ 2) +y= 10答案 D解析依据题意知圆心为CD的垂直平分线与的方程为x+y- 2= 0，即圆心为(2,0)，所以半径为 2 + 12+ 1=10,故所求圆的方程为2 2(x-

3、2) +y= 10.故选 D.2 2 2(2)_(必修 A2P124A 组)动圆x+y- 6mx-2( m- 1)y+ 10m-2m- 24 = 0 的圆心的轨迹方 程是_.答案x 3y 3= 0解析 圆的方程可化为(x- 3m)2+ y- (m- 1)2= 25.不论m取何实数，方程都表示圆x0= 3m设动圆圆心为(xo,yo)，则/yo=m- 1,轨迹方程为x 3y- 3 = 0.3小题热身(1)(2018 西城区期末)圆x2+y2 2x+ 4y+ 3= 0 的圆心到直线xy= 1 的距离为 ( )A. 2C. 1答案 DD.求圆心在直线x 2y 3 = 0 上，且过点A(2 , 3),氏

4、2, 5)的圆的方程.解 设点C为圆心，因为点C在直线x 2y 3 = 0 上， 所以可设点C的坐标为(2a+ 3,a).又该圆经过代B两点，所以 |CA= |CB，即，2a+ 3 22+a+ 32=Q(2a+ 3+ 22+(a+ 52，解得a= 2，所以圆心C的坐标为(一 1, 2)，半径r=10. 故所求圆的方程为(x+ 1)2+ (y+ 2)2= 10.S经典题型1巾关题型 1 求圆的方程,圆心在x轴上的圆的方程是()2 2B.x+ (y+ 2) = 102 2D. (x-2) +y= 10 x轴的交点.由已知可得CD的垂直平分线消去参变量得X0 3y 3 = 0,即动圆圆心的B.解析已

5、知圆的圆心是(1 , 2)，到直线xy= 1 的距离是|1+22_1L 屮+1=,2.故选4(1)半径为 5 且与x轴交于A(2,0),耳 10,0)两点;典例根据下列条件求圆的方程.5(2) 圆心在直线 4x+y= 0 上，且与直线I:x+y 1 = 0 切于点 R3 , - 2);(3) 已知圆满足：截y轴所得弦长为 2;被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3 : 1;圆心到直线I:x 2y= 0 的距离为求该圆的方程.5解设圆方程为(xa)2+ (yb)2= 25,如图，T|AB=102=8,|AD= 4.T|AQ=5,|CD=3.a= 6,b= 3.所求圆的方程为(x 6)2+ (y 3

6、)2= 25 或(x 6)2+ (y+ 3)2= 25.(2) 过P(3 , 2)与直线I:x+y 1 = 0 垂直的直线方程为xy 5 = 0,与 4x+y= 0联立解得圆心坐标为(1 , 4),所求圆的方程为(x 1)2+ (y+ 4 广=8.(3) 设圆方程为(xa)2+ (yb)2=r2,r= |,2b| ,|a 2b| 亠 5 由题息$ 寸 5=肯,2r2a2= 2.2 2 2 2圆的方程为(X+ 1) + (y+ 1) = 2 或(x 1) + (y 1) = 2.方法技巧求圆的方程的两种方法1 直接法：根据圆的几何性质， 直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.见典例(2).2.待

7、定系数法(1) 若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值.见典例(1)(3).(1)(3)用待定系数法；(2)用直接法.pa= 1,j_a= 1,解得b=1, 或b=1,r=2r=一 2.6(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关7于D, E,F的方程组，进而求出D, E,F的值.冲关针对训练(2017 甘肃模拟)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点， 且A(2a,2) ,B( 4,a), q2a+ 2,2)，则ABC勺外接圆的方程是()2 2 2 2A.x+ (y 3) =

8、 5B.x+ (y+ 3) = 52 2 2 2C. (x 3) +y= 5D. (x+ 3) +y= 5答案 D解析由题意，2a= 4,.a= 2,圆的半径为 曙=亠土= 5，圆心为(3,0),. . 2 2圆的方程为(x+ 3) +y= 5.故选 D.题型 2角度 11 名角探究与圆有关的最值问题与圆几何性质有关的最值问题（多维探究）典例（2018 抚顺模拟）已知实数x,y满足方程x2+y2 4x+ 1= 0,则-的最大值为xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设x=k，即y=kx. z.z.如图所示，当直线y kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 智I= 3,解得k= 3

9、.所以y的最大值为3，最小值为.3.x结论探究 1若本例中条件不变，求y-x的最大值与最小值._，最小值为_.方法占拨】y 0求k=口解析原方程可化为（x 2）2+y2= 3,表示以（2,0）为圆心,3 为半径的圆.8解yx可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，如图所示，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2-节b|=击，解得b= 2Q6.V2所以yx的最大值为2+6，最小值为26.结论探究 2若本例中条件不变，求x2+y2的最大值与最小值.解 如图所示，x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点 和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.

10、又圆心到原点的距离为.2 02+ 0 02= 2,所以x2+y2的最大值是(2 +3)2= 7+ 4 3,x2+y2的最小值是(2 3)2= 7 4 3.角度 2 建立函数关系求最值答案 B2 2已知圆 C：(x 3) + (y 4) = 1 和两点典例存在点P,使得/AP*90A. 7C. 5| 【方法点拨J的最大值转化为求半径 IOP的最大值.,贝 U m 的最大值为(Am0) ,m,0)(m0).若圆C上B. 6D. 4/APB-90，点P在以AB为直径的圆上，求m941 a3/A(-mS)01 2 3 如 Op解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4),半径r= 1

11、,且|AEB= 2m1因为/APB=90,连接OP易知|OP= 2IAE=m要求m的最大值，即求圆C上的点P到 原点O的最大距离.因为|OC= 32+ 42= 5，所以|OPmax=|OC+r= 6,即卩m的最大值为6.故选 B.方法技巧求解与圆有关的最值问题的方法1.借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助 数形结合思想求解.(1) 形如卩=口形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；见角度1 典例.x-a(2) 形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规 划问题；见结论探究 1.(3) 形如(x-a

12、)2+ (y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.见结论探究 2.2建立函数关系式求最值根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、 基本不等式求最值.冲关针对训练1. (2018 福建师大附中联考)已知圆O的半径为 1，PA PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA- PB的最小值为()A. 4+ 2B. 3+ ,2C. 4+ 2 2D. 3+ 2 2答案 D解析 设 |PQ=t，向量PA与PB的夹角为0,则 |PA= |PB= ,t2 1,S in00=1,cos0=1 2sin1022 = 1 严 二PA- PB=|PA|PBcos0=

13、(t2 1) 1 孑(t 1)，二PA- PB= t211+右一 3(t 1),利用基本不等式可得PA-PB的最小值为2 羽3,当且仅当t= 了 2 时，取等 号.故选D. . 2 2、 -2 2 . .2.已知圆C： (x 2) + (y 3) = 1,圆C2： (x 3) + (y 4) = 9,M N分别是圆C,C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM+1PN的最小值为()A. 5 2 4B. 17 1G. 6 2 2D. 17答案 A解析圆C,C的图象如图所示.设P是x轴上任意一点， 则|PM的最小值为 IPG| 1,同理， |PN的最小值为 IPG| 3, 则|PM+ IPN的最小值

14、为 IPG| + |PG| 4作G关于x轴的对称点Ci(2， 3)，连接GiG, 与x轴交于点P,连接PG，可知|PG| + |PG|的最小值为|CiC2|，则|PM+ |PN的最小值 为 5 2 4.故选 A.题型 3 与圆有关的轨迹问题. . 2 2(2014 全国卷I)已知点P(2,2)，圆C:x+y 8y= 0,过点P的动直线I与圆G交于A,B两点，线段AB的中点为M O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;解(1)圆G的方程可化为x2+ (y 4)2= 16,所以圆心为C(0,4)，半径为 4.设Mx,y)，则GM=(x,y 4) ,MP=(2 x,2y).由题设知CM- MP=0,故x

15、(2 x) + (y 4)(2 y) = 0，即(x 1)2+ (y 3)2= 2.由于点P在圆C的内部，典例当|OP= |OM时，求I的方程及厶【矛去惑】POM勺面积.由圆的性质可知:GML MP由直接法可解得(1).12所以M的轨迹方程是(x 1)2+ (y 3)2= 2.由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2 为半径的圆.由于|OP=|OM，故O13在线段PM勺垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONLPM1因为ON的斜率为 3，所以I的斜率为一 3,故I的方程为x+ 3y 8= 0.又 IOM=IOP=2 2,。到1的距离为写，所以|PM=竽，竽，&PO=2x竽竽16故厶

16、POM勺面积为芈.5方法技巧与圆有关的轨迹问题的 4 种求法找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满 足的关系式的方法求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应不同.若求轨迹方程, 则把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么曲线.冲关针对训练1.(2017 南平一模)平面内动点P到两点A B距离之比为常数入(入0,入工 1)，则1动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A( 2,0) ,B(2,0),入=?,则此阿波尼斯圆的方程为()22 22A.x+y 12x+ 4 = 0B.x+y+ 12x+ 4 = 022202220C. x+y x +4=0D. x

17、+y+ x+4=033答案 D解析 由题意，设P(x,y)，则x+22+y2= p(x-2)+y2直接法定义法几何法代入法(相关点法)直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法根据圆的定义列方程求解的方法利用圆的几何性质，得出方程的方法14化简可得x2+y2+2x+ 4 = 0,故选 D.2.已知圆x2+y2= 4 上一定点A(2,0) ,B(1,1)为圆内一点，P, Q为圆上的动点.(1) 求线段AP中点的轨迹方程；(2) 若/PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.15解(1)设AP的中点为Mx,y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2X 2,2y).因为P点在圆X2+y2= 4 上，所以(

18、2x 2)2+ (2y)2= 4.故线段AP中点的轨迹方程为(x八22“1) +y= 1.(2)设PQ的中点为N(x,y).在 RtPBQ中 |PN=|BN设O为坐标原点，连接ON则ONL PQ所以 |OP2=|ON2+IPN2TON2+|BN2,所以x2+y2+ (x 1)2+ (y 1)2= 4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2xy 1 = 0.题型 4 与圆有关的对称问题解析 圆C的圆心坐标为(一 1,1)，半径为 1，设圆C2的圆心坐标为(a,b)，由题意得a= 2,解得 所以圆 C2的圆心坐标为(2 , 2)，又两圆的半径相等，故圆 G 的方b= 2,程为(x 2)2+ (y+

19、2)2= 1.故选 B.方法技巧1. 圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称.2. 圆关于点对称(1) 求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.(2) 两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.3. 圆关于直线对称(1) 求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.见典例.(2) 两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.已知圆G: (x+ 1) + (y 1) = 1,圆C2与圆G关于直线xy 1 = 0 对称，则典例圆C2的方程为()A. (x+ 2)2+ (y 2)2= 12 2C. (x+ 2) + (y+ 2) = 1| 【方法点拨J对称问题

20、.B. (x 2)2+ (y+ 2)2= 12 2D. (x 2) + (y 2) = 1圆与圆关于直线对称问题转化为圆心关于直线a1b+12=1,1 = 0,16冲关针对训练1.(2018 锦州期末)若曲线x2+y2+a2x+ (1 a2)y 4= 0 关于直线y=x对称的曲线仍17是其本身，则实数a为（）V 1A.2 或-2答案 B242a22a 2a+174，解析 曲线x2+y2+a2x+ (1 a2)y 4=0,即曲线x+ 22+y+曲线x2+y2+a2x+ (1 a2)y 4= 0 关于直线y=x对称的曲线仍是其本身，212 2a在直线y=x上，故有一 号=1?a，求得a=故曲线的中

21、心故选 B.2. 已知圆x2+y2= 4 与圆x2+y2 6x+ 6y+ 14= 0 关于直线I对称，则直线I的方程是( )A.x 2y+ 1 = 0B. 2xy 1 = 0 xy+ 3= 0答案 DC.D. xy 3= 0解析 解法一：圆心分别为（0,0） , （3 , 3），其中点为p|, 3应在直线I上，经检验答案为 D.解法二：两圆方程相减得xy 3= 0，即为l的方程.故选 D.E真题模拟顾关2 21.（2016 全国卷n）圆x+y 2x 8y+13= 0 的圆心到直线ax+y 1 = 0 的距离为 1, 则a=（）4A43B.-4D. 2C. 3答案 A解析圆的方程可化为（x 1）

22、2+ （y 4）2= 4,则圆心坐标为（1,4），圆心到直线ax+y1 = 0 的距离为乜11= 1,解得a= 故选 A.ja+132 22. （2018 山东青岛一模）已知两点A（0， 3）,巳 4,0），若点P是圆C：x+y 2y=0 上的动点，则ABP勺面积的最小值为（）A. 611C. 821答案 B1819解析X2+y2 2y= 0 可化为x2+ (y 1)2= 1,则圆C为以(0,1)为圆心，1 为半径的圆.如 图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,连接BR AR这时ABP的面积最小，直线ABX y16的方程为 4-3 = 1，即 3x 4y 12 = 0,圆心C到直线AB的距离

23、d=亏,又 AB= ,3 + 4 =解析由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0),耳 0, 2) ,C(0， 2)，易知线段AB的垂直平分线的方程为2xy 3= 0.令y= 0,得x= |，所以圆心坐标为 |, 0，则半径3 5 ,、 一32225r= 4 2= 7 故该圆的标准方程为X 2y=4.4. (2017 全国卷川)已知抛物线C: y2= 2x,过点(2,0)的直线I交C于代B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明：坐标原点O在圆M上;设圆M过点P(4 , 2)，求直线I与圆M的方程.(1)证明：设A(X1,屮),B(X2,y2),l:x=my+ 2,x=my+2,2由2可

24、得y 2my-4 = 0,贝 U yy = 4.y= 2x2故X1X2=yy= 4.4因此OA的斜率与OB的斜率之积为三艾=宁=-X 所以OALOB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2= 2m2X1+X2= n(y1+y2)+ 4 = 2m+ 4 ,5,.厶ABP勺面积的最小值为1-X5X22 23.(2015 全国卷I) 一个圆经过椭圆 16+七=1 的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为_答案32225L 刃+y=2又X1=号,X2= 2,202故圆心M的坐标为(m+ 2,m,圆M的半径r=, m+ 22+m.由于圆M过点P(4, - 2)，因此AP- BF=

25、0,故(Xi 4)(X2-4) +(yi+2)(y2+ 2) = 0,即X1X2 4(xi+X2)+yiy2+ 2(yi+y2)+ 20= 0.由(1)可知yiy2= 4，X1X2= 4,所以 2n2 m- 1 = 0,解得 m= 1 或 m= g当 m= 1 时，直线I的方程为Xy 2= 0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10,2 2圆M的方程为(X 3) + (y 1) = 10.当 m= *时，直线I的方程为 2x+y 4 = 0,圆心M的坐标为 4,1，圆M的半径为85,基础送分提速狂刷练、选择题)圆(X 2)2+y2= 4 关于直线y= x 对称的圆的方程是(A.(X 3)2

26、+ (y 1)2= 4B. (X .2)2+ (y ,2)2= 4 22C.x+ (y 2) = 4D (x 1)2+ (y .3)2= 4答案 D解析 设圆(x 2)2+y2= 4 的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),2.(2017 湖南长沙二模,_,22)圆x+y 2x 2y+ 1 =0 上的点到直线值是()A. 1 + 2B.2C.2D.2 + 2 . 2=4.故选 D.xy= 2 距离的最大1.(2017 豫北名校联考则有丄-a 2b32= 3a+ 22 ,解得a= 1,b= 3,从而所求圆的方程为(x 1)2+ (y , 3)2圆M的方程为、=852 =21A.

27、3n43nC.-25nD.答案 A. 2 2 2解析将圆x+y+kx+ 2y+k=k223k2x+2 +（y+1） = 1 0 化成标准方程，得4，3k2半径r满足r2= 1 4当圆取得最大面积时，k= 0,半径r= 1.因此直线y= (k 1)x+ 2 即y=x+ 2.得直线的倾斜角a满足 tana= 1,3n.直线的倾斜角a 0 ,n) , a=.故选 A.6.若方程16x2xm= 0 有实数解，则实数m的取值范围()A.4pj2 m42B.4 m42答案 A解析 将圆的方程化为(x 1)2+ (y 1)2= 1,圆心坐标为(1,1)，半径为 1,则圆心到11 一 1 一 2|直线xy=

28、2 的距离d=-= 2,故圆上的点到直线xy= 2 距离的最大值为d+ 1V2= 2 + 1,故选 A.3. 圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()2222A. x+y+ 10y= 0B. x+y 10y= 02222C. x+y+ 10 x= 0D. x+y 10 x= 0答案 B解析 设圆心为(0 ,b)，半径为r,则r= |b| ,圆的方程为x2+ (yb)2=b2.点(3,1)在圆上， 9+ (1 b)2=b2,解得b= 5.圆的方程为x2+y2 10y= 0.故选 B.4.(2018 山西运城模拟)已知圆(x 2)2+ (y+ 1)2= 16 的一条直径通过

29、直线x 2y+ 3=0 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A. 3x+y 5 = 0B.x 2y= 0C.x 2y+ 4 = 0D. 2x+y 3 = 0答案 D解析 直线x 2y+ 3= 0 的斜率为已知圆的圆心坐标为(2 , 1)，该直径所在直线的斜率为一 2，所以该直径所在的直线方程为y+ 1 = 2(x 2)，即 2x+y 3= 0,故选 D.5. (2018 唐山期末)若当方程x2+y2+kx+ 2y+k2= 0 所表示的圆取得最大面积时，则 直线y= (k 1)x+ 2 的倾斜角a=()22答案 B解析由题意知方程16x2=x+m有实数解，分别作出y= 16 x2与y=

30、x+m的图象，如图，若两图象有交点，需一 4W m0,b0）1 3对称，则F匚的最小值是（）a bC. 4答案 D解析 由圆x2+y2+ 2x 6y+ 1 = 0 知其标准方程为(x+ 1)2+ (y 3)2= 9，：圆x2+y2+ 2x 6y+1 = 0 关于直线axby+ 3 = 0(a0,b0)对称，该直线经过圆心(一 1,3),即一131a 3b+ 3 = 0, a+ 3b= 3(a0,b0) .a+b=(a+ 3b)& （2018 唐山一中调研）点P（4 , 2）与圆x2+y2= 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是()22A. (x 2) + (y+ 1) = 122C. (

31、x+ 4) + (y 2) = 4答案 AX1= 2x 4,=2y+ 2,代入x2+y2= 4,得(2x 4)2+ (2y+ 2)2= 4，化简得(x 2)2+ (y+ 1)2= 1.故选 A.9. （2017 山东荷泽一模）已知在圆M x2+y2 4x+ 2y= 0 内，过点 日 1,0）的最长弦和 最C.4w4D. 4m0,所以圆心到直线 2x-y=0 的距离d= J，解得a= 2,所以圆C的半径r= |CM= 4+ 5 = 3，所以圆C的方程为(x- 2)2+y2= 9.2412 . (2017 广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x- 3y= 0 上，且在直线y=x上截得的弦长为2申，则该圆的方程为 _ .2 2 2 2答案(x 3) + (y 1) = 9 或(x+ 3) + (y+ 1) = 9解析所求圆的圆心在直线x 3y= 0 上，设所求圆的圆心为(3a,a),又所求圆与y轴相切，半径r= 3|a|又所求圆在直线y=x上截得的弦长为 2 7,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=,d2+ ( 7)2=r2，即 2a2+ 7= 9a2,.a= 1.2222故所求圆的方程为(x 3) + (y 1) = 9 或(