知识点一基本概念

1、知识点一：基本概念1. 二元一次方程: 含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程.要点诠释：(1)二元一次方程是整式方程 . 如方程 x10 ，就不是二元一次方程，因为 x1y0 不y是整式 .(2)二元一次方程必须含有两个未知数如y + 3 = 0 ，3x + 5y + 2z = 0都不是二元一次方程 .(3)二元一次方程中的“ 一次”是指含未知数的项的次数，而不是未知数的次数. 如方程xy + 2 = 0 ，虽然含有两个未知数，而且未知数的次数都是“ 1”，但整个xy 这一项是二次，所以它不是二元一次方程 .2 二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未

2、知数的值叫做二a元一次方程的解，通常用x的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的by一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值， 而不是一个数值， 一般要用大括号联立表示 .一般情况下，一个二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程.3 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 .此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.要点诠释：(1) 由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用

3、“”把这些方程联合在一起；(2) 整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；(3) 方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，如： 4x x2 y32xy1y 13x y 1,等都是二元一次方程组。xy22x2x4 y64 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 .要点诠释：（ 1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程， 若两个方程同时成立， 才是方程组的解， 而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解 .（ 2）方程组的解要用大括号联立；2 xy5（ 3）一般地，

4、二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无2 xy6xy1解，而方程组的解有无数个 .2x2y25 会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解检验方法： 把一对数值分别代入方程组的 (1) 、(2) 两个方程， 如果这对未知数既满足方程(1) ，又满足方程 (2) ，则它就是此方程组的解。知识点二：理解解二元一次方程组的思想消元二元一次方程组一元一次方程转化1. 消元思想： 二元一次方程组中有两个未知数， 如果消去其中一个未知数， 那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数， 然后再求出另一个未知数 .这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消

5、元思想.2. 消元的基本思路：未知数由多变少.3. 消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点三：基本方法1. 由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法 .2. 用代入法解决二元一次方程组的一般过程：（ 1）从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或 y ）的代数式表示y （或x ），即变成yaxb （或xayb ）的形式；（ 2）将yaxb （或xayb ）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去 y （或 x ），得到一个关于x

6、 （或y ）的一元一次方程；（ 3）解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；（ 4）把x （或y ）的值代入yaxb （或xayb）中，求y （或x ）的值；（ 5）用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(1) 用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单和代入后化简比较容易的方程变形；(2) 变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3) 要善于分析方程的特点，寻找简便的解法。如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示， 代入另一个方程， 或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法。

7、 整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一， 它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率。3. 加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，加减消元法是通过将两个方程相加( 或相减 ) 消去一个未知数， 将二元一次方程组转化为一元一次方程来解， 这种解法叫做加减消元法，简称加减法。4. 用加减法解二元一次方程组的一般过程：（ 1）根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0 的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；（ 2）根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到

8、一个一元一次方程；（ 3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（ 4）把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（ 5）将两个未知数的值用“”联立在一起即可 .要点诠释：一般来说，当方程组中有一个未知数的系数为 1（或一 1）或方程组中有 1 个方程的常数项为 0 时，选用代入消元法解比较简单； 当同一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单。知识点四：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.要点诠释：(1) 寻找等量关系的

9、方法有：画出示意图分析；列表分析；信息的分类处理等等(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称(3) 一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组(4) 最后的结果必须使实际问题有意义知识点五：列方程解应用题中常用的基本等量关系1. 行程问题：(1) 追及问题 : 追及问题是行程问题中很重要的一种， 它的特点是同向而行。 这类问题比较直观， 画线段图便可理解、 分析，其等量关系式是： 两者的行程差开始时两者相距的路程；时间路程路程；路程速度×时间；速度。时间速度(2) 相遇问题 : 相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。 这类问题也比较直观，因而也画线段图

10、帮助理解、 分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3) 航行问题 : 船在静水中的速度水速船的顺水速度。船在静水中的速度水速船的逆水速度。顺水速度逆水速度注意： 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、题类似。2×水速。逆水航行问2.工程问题： 解这类问题的基本等量关系式为：工作量工作效率×工作时间.一般分为两类，一类是一般的工程问题；一类是工作总量为1 的工程问题 .3.浓度问题 ：溶液×浓度 =溶质 .4.银行利率问题：(1) 基本概念本金：顾客存入银行的钱叫做本金。利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。本息知：本金与利息

11、的和叫做本息和。期数：存入银行的时间叫做期数。利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：征收利息的20的税款叫做利息税。(2) 基本关系式利息本金×利率×期数本息和本金利息本金本金×利率×期数本金×利息税利息×20本金×利率×期数×20。税后利息利息×(1 20 ) 利息× 80年利率月利率×12(1 利率×期数)月利率年利率×1。125. 形积变化中的方程(1) 相关公式长方体体积长×宽经高。圆柱体体积底面积×高。长方形面积长

12、×宽；长方形周长 2× ( 长宽 ) 。圆的面积 ×半径 2；圆的周长直径× 。(2) “等积变形”中常见的情况形状发生了变化，而体积没变。形状、面积发生了变化，而周长没变。形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系。形状、周长不同，但概括题意能找出周长之间的关系，求面积。(3) 形积变化问题形积变化，即图形的形状改变时，面积也随之发生变化。注意：在形积变化时， 图形的形状和面积都发生了变化， 应注意在已知题目中找出不变的量，也就是找出等量关系列出方程。知识点六：列二元一次方程组解应用题的一般步骤列一次方程组解应用题， 是本章

13、的重点， 也是难点。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：（ 1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系；（ 2）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x、 y，设未知数要带好单位名称） ；（ 3）找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；（ 4）列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组；（ 5）解：解所列方程组，得未知数的值；（ 6）答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）归纳为 6 个字：审，设，找，列，解，答。要点诠释：(1) 解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，。检查求得的结果是否合理，不

14、符合题意的解应该舍去。(2) “设”“答”两步，都要写清单位名称。(3) 一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组。(4) 列方程（组）解应用题的注意事项:列方程 （组）解应用题的步骤可简记为审、设、列、解、检、答，其中审题是前提，列方程组是关键，二列方程组的关键是找出相等关系。设元的方式有两种：一是直接设元，问什么，设什么。另一种是间接设元，所“设”不是所“求”，而是一个中间元，通过中间元，得到所求的未知量。检验应带着两个目的，一是检验所求的未知数是否满足所列方程组，二是检验在未知数的值满足方程组的前提下，考虑未知数的值是否满足生活实际。特别需要注意的是：设未知数时，未知量的单位必须明确写出；列方程组时，务必使等式两边的代数式所表达的意义相同，单位一致，但方程中不出现单位。规律方法指导学习本章要注意转化、化归的思想方法.对于二元一次方程组的定义要特别注意，必须满足如下三个条件：整式方程； 含有两个未知数；未知数的次数是1，三者缺一不可.二元一次方程和二元一次方程组有很多类似的地方，学习时可运用类比的思想方法，比较二者有关概念的相同点和不同点，这样，不但能加深对概念的理