最新概率论第二版杨振明课后题答案资料

1、精品文档2.1. 习题1 ?设随机变量 ' 的分布函数为F（x），证明 =e 也是随 机变量，并求 的分布函数 .证明：由定理随机变量的Borel 函数仍为随机变量，故=?也是随机变量 .的分布函数为F（y）=P : y二 Pe ： y当 y 乞 0 时， e: ： y= ，故F （ y） = 0 ;当y .0时，F （y） =P : y二 Pe ： y二 P ： Iny = F（ y）因此，的分布函数为F (y) 二t(ln y),03?假定一硬币抛岀正面的概率为p（0 ：p ： 1） ，反复抛枚硬币直至正面与反面都岀现过为止 ,这的密试求：（ 1）抛掷次数度阵；（ 2）恰好抛偶数次

2、的概率.解：（ 1） 二 k表示前 k -1 次都出现正仮）面，第 k 次出现反（正）面，据题意知，P二 k二 p2(1 -P ) (1 - p)2 p ， k =2,3,4,所以，抛掷次数 ?的密度阵为'23 川k(2P -2p 2 p - p 2 川 pk 1(1 - p) + (1 - p) k °plH 恰好抛掷偶数次的概率为：pq -qp -1p(1 + q)(1 p)q4. 在半径为 R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到2R圆心之距离 的分布函数及 P3解：此点到圆心之距离' 的分布函数为F （ x）二P : xln当 X E O 时， ： x二

3、 ，F x=0；当 0：F (x) = P : x 土2x ： R 时 ,R故 ' 的分布函数为0,x"x2F (x)= 丿一 2 ,0 v x v R ?R21, x 土 R2R22R 、 (2R/3)33P VF( )=1 宀R5?在半径为 1 的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度 ' 的分布函数 .P =2 P =4 P =6P =2nx(1：xpq qp p 3q q 3p p 5q q5 ppx（ 0 ： :x： :1）=pq(1 p2p4) qp(1 q2q4)解：当x 噫 0时，: ：x二，F x = 0；精品文档精品文档当裂纹距离地面高度为

4、1 时，分布函数为F x =F ： , 1 >P ： 1?二1 慮一 arccos(1-x)当裂纹距离地面高度为 x 0 . x ： 1 时，分布函数为F x 二 F ,x ,P xJarCCOSX" Rarccos x -1二-arccos 1 -xJI当裂纹距离地面高度为 x(1 ： x : 2) 时，分布函数为2 蔥 -2arccos 1 -xF x ；=F -： ,x 1 = P ： x心当 x 2 时， F x =1 ;则的分布函数为x _0 :- arccos 1 -x6?已知随机变量 ?的密度函数为px =2_x试求： (1)?的分布函数， ( 2) P20.2

5、：解：( 1 ) 当 x 乞 0 时， F(x) 二 _.p(t)dtx当 0 ： x 乞 1 时， F(x) 二 _p(t)dt二tdt01 ： x 辽 2xx2 tdt-x 2 2x -1 ;F(x) 二； p(t)dt 1tdt 1一02012当 x 2 时， F(x)2 -tdt -1 ;i则 . 的分布函数为x _00 ：F (x)才 x2 2x 1x 乞 11 ：2x 乞 2(2) P 0.2 : ：:： 1.2 ；： 12-P ：0.2-F 1.2 - F 0 2=0.667 . 设e(x _a)P(x) =e(2 ) 若 . 以此 p(x) 为密度函数，求b 使 P ? b 二

6、 b.解： ( 1) 由密度函数的性质，知oO一 -e(x -a)-e( x _a)11 二 _.p(x)dxe dxeaee解得， a Je(2 ) 【法一】根据概率的非负性 ,b_ 0 ，当 b = 0P ? b = 1，显然 P bb 不成立 ;时, 1:-e(x ) e11-e(tP b=；p(x)dxedx= e-e(x )ee二bee而 P b = b ，即一 e e1解得， b=-.e【法二】 ' 的分布函数为I0,X兰0F( x) 二 1 I 1 1+_e i 丿 +e , x>0L. eeP41_P ： b、 1_F b = b精品文档精品文档当 b 空 0 时

7、， F b =0 , 上式不成立 .1 1当 b _0 时， F b ；=e e -eee丄|则 1 e e e = b ,ee1解得， b .e8. 设 F(x) 是连续型分布函数，试证对任意a c b 有I.F (x b) -F (x a) dx 二 b -a . :x 川 b证：等式左边 =p(t)dtdxx 亠 a :x b:： xa d ( F( t)d x因 F (x) 是连续的分布函数则上式积分可以交换.亠： x “b则上式交换积分次序得. 一.d(F(t)dx_： _ x ax -b : xa *d(F(t)dxx： b=扛( F(+)-F(q)dxx ： ub=f 1dx =

8、b-a .x 亠 a2.2 习题1 ?向目标进行20 次独立的射击，假定每次命中率均为0.2 . 试求： ( 1) 至少命中 1 次的概率； ( 2) 至多命中 2 次的概率； ( 3) 最可能命中次数 .解：令 表示命中次数，这是n =20 重 Bernoulli 试验，每次命中率 p=0.2 ，命中次数服从B(20,0.2)分布 .(1) 至少命中一次的概率P -1 =1 P ： 1 =1 P： =0 =1 C20 p0(1 p)20(2) 至多命中两次的概率P乞 2=P=0P=1P二 2002011192218= C20p (1- p) ' C 20p (1 - P) '

9、 C20p (1 - p)二 C200.20 (1一 0.2) 20 C200.2 1(0.2 ：0.206 .在二项分布中，k=( n T)p 时， P = k 最大，故 k 二(20 1) 0.2=4 时最大，即最可能命中的次数为4 次 .2.同时掷两枚骰子，直到某个骰子岀现6 点为止，求恰好掷n次的概率 .1解：掷一枚骰子岀现 6 点的概率是一，同时岀现6 点的情况1 161有两种：都是6 点概率为丄 X 丄，其中一个是6 点的概率为2X 丄56 6116X - . 因此掷两枚骰子岀现 6 点的概率是 -.636以?表示某骰子首次岀现6 点时的投掷次数，题目要求恰好掷n 次则前 n- 1

10、 次都没有出现 6 点，于是所求概率为P =n 珂心- 号 )nJ36363 . 某公司经理拟将一提案交董事代表会批准，规定如提案获多数代表赞成则通过 . 经理估计各代表对此提案投赞成票的概率为0.6 , 且各代表投票情况相互独立. 为以较大概率通过提案，试问经理请 3 名董事代表好还是请5 名好？解：即求请 3 名董事获多数赞成通过的概率大还是请5 名董事通过的概率大 . 令表示 3 名董事代表对提案的赞成数，则 B(3,0.6) 分布 .多数赞成，即=1 -C0.2 (1 -0.2)20: 0.988P-2二 P=2P=3；.0°精品文档精品文档二 C：0.6 2(10.6) 1

11、C ；0.63(1 0.6p = 7 = C ；0.6 4(1 一0.6) 3 ： 0.1658880.648因此， P二 i二。書 0.6 4(1 - 0.6) 口， i =4,5,6,7令 表示 5 名董事代表对提案的赞成数，则 B(5,0.6) 分布 .对甲先胜四场成为冠军的概率是多数赞成，即P _4 =P： -4 P ： =5 P ? -6 P ： -70.7P _3 = P =3 P =4 P = 5对赛满 3 场的“三场两胜”制：甲前两场中胜一场，第三场必胜则P =3 =C ；0.62(1 -0.6) 1 ： 0.288 .二 C；0.6 3 (1 -0.6) 2 C；0.6 4(

12、1 -0.6) 1C ；0.65(1-0.6) °因此，进行甲先胜 4 场成为冠军的概率较大 .5 . 对 n 重 Bernoulli 试验中成功偶数次的概率 Pn .:0.68256解：记 p 为一次 Bernoulli 试验中事件成功的概率，q 为失因此，请 5 名董事代表好 .败的概率 .4?甲、乙二队比赛篮球 ?假定每一场甲、乙队获胜的概率分别为 0.6与 0.4 , 且各场胜负独立 . 如果规定先胜4 场者为冠军，求甲队经 i 场 ( i =4,5,6,7) 比赛而成为冠军的概率pj . 再问与赛满 3 场的“三场两胜”制相比较，采用哪种赛制甲队最终夺得冠军的概率较小？解：

13、令 ' 表示甲成为冠军所经过比赛的场数.对甲先胜四场为冠军： = i 表示前 j -1 场中胜三场，第 i 场 必胜 .则社440P =4=C40.6 (1 -0.6)0.129600 n22 n _2P n =Cn P q C n P q由1=(p q) n =C 0p0qn CPW C：pnq0(q-p) n =C ：p0qn -C ： pqn ?C：p) n q01 一 ( q - p) n(-)/2得： Pn :P =5 =C： 0.6 4(1 -0.6) 1 ： 0.2073627 . 在可列重Bernoulli 试验中，以 i 表第 i 次成功的等待时间，求P =6 二 C

14、；0.64(1 -0.6)2 :0.20736证一2 - 1与1有相同的概率分布 .解：这是一个几何分布.； - 1 表示第一次成功到第二次成功的等待时间 .如果第一次成功到第二次成功进行了m 次试验，而第一次成精品文档精品文档功进行了 n 次 试验 ?根据几何分布的无记忆性可得:P 2 - I =m =(1 _ p) mJL p, P I = n) =(1 p) n'p因此， 2 - 1 与1 有相同的概率分布.8. ( 广义 Bernoulli 试验 ) 假定一试 验有 r 个可能结果Al, Ar , 并且P(A i ) = p i 0 , 卩勺 * P 2 亠 ?亠 Pr =1?

15、现将此试验独立地重复 n 次，求 A 恰出现 k次， , A 恰出现 k次 ( k0 ,1rik1 k2 2- kr = n ) 的概率 .解：设一次试验的可能结果为 A1 , A r , 它们构成一完备事 件组， P(A) 二 Pi，送 p=1 ，则在 n 次重复独立试验中iA1,，Ar 分别出现匕飞 2, 丨 1(, 匕次的概率为n!k1k2krp ppkr!(A 恰出现匕次 ,Ar 恰出现 kr 次，则 A 组成 n 元序列 ,上述 n 次试验结果由分成r 组，共有 1 。： 2 半 C：r 种结果 ,种结果出现的概率是pk1pkr ，则 n 次 Bernoulli试验中恰出现 k1 次

16、，?Ar 恰出现 kr 次 ( ki ? 0Ck1k2krpk1pkrn Cn hCkrn!kk2 .k r1pp )p2.3 Poisson分布1. 假定螺丝钉的废品率p = 0.015 ，试求一盒应装多少只才能保证每盒中正品在100 只以上的概率不小于80% .解：设每盒应装100+k 只，为使每盒有100 只以上的好钉，则每盒次品的个数 ' 应空 k -1， 故kJP1 = P 乞 k 一 1C； ok 。一 p)1 0k_D _ 0.8由于 k 值不大，有 (100 k) 0.015 ： 1.5,k d i-1 .5 J.5e _0.80,i z0 i!查表，当 k-1 = 1

17、 时 ,p1 =0.557825 ; 当 k_1 = 2 时 ,p1 =0.8,则 k=3 时，满足题设条件，故每盒中应装103 只.2 ?据以往的记录，某商店每月岀售的电视机台数服从参数= 7 的 Poisson 分布 . 问月初应库存多少台电视机，才能以 0.999的概率保证满足顾客对电视机的需求.解：设月初应当库存电视机台数为，则每月岀售的电视机台n数，要满足顾客的要求，则a c npT1 - p ) n_i = 0.999 ,i =0n1即 '-0.999i =0 i!ni e；查表得：当 n =15 时，=0.997553；i=0 i!n 聲 _当 n =16 时，e 一 =

18、0.999001 ；t i!因此，月初应当库存16 台电视机才能以0.999 的概率保证满足顾客对电视机的需求 .3 . 保险公司的资料表明，持有某种人寿保险单的人在保险期内死亡的概率为0.005. 现出售这种保险单1200 份，求保险公司至多赔付 10 份的概率 .解：保险公司赔付的份数' 服从 n =1200,p =0.005 的二项分布 .根据 Poisson 定理，服从参数为 ， =1200 0.005= 6的Poisson分布 .精品文档精品文档610P <10 八ek -0 k!查表，得 P <10 =0.95738.4. 假定每小时进入某商店的顾客服从- =2

19、00 的 Poisson 分布，而进来的顾客将购买商品的概率均为0.05 , 且各顾客是否购物相互独立，求在一小时中至少有6 位顾客在此商店中购物的概率.解：记每小时进入某商店的顾客数为，则服从 ? = 200的 Poisson 分布 .记每小时在商店中购物的顾客数为，顾客购物概率为p.以事件-n? , n =1,2,3 ， 为分割，由全概率公式得，对于非负整数 k, 有-beP 呂二 P# 二 nP E=k|：二 n?n r； k k k n _k= e C n p qn 生 n!n -k1k_.p讣)/-bc ) k _P”._6 e_ p 满足九 t = hp = 10 的 Poisso

20、n 分心 k!布 ,查表 ,得 _6 J0.93214.假定非负整值离散型分布的密度tp k f满足条件pk= , k -1, 其中常数 >0，试证明分布是以 为参数的Pk j kPoisson分布 .Pk解 :Po P1Pk 4kAk!7 k-be n k由此得 :kPPpe_'p0，并且 .0=1,可得，故!°=7 k!e. 因此，此分布是以为参数的 Poisson 分布 .k!2.4 重要的连续性分布1 . 设?服从区间 ( 0,5 上的均匀分布，求二次方程4x 2 ? 4 x ? 2= 0 有实根的概率 .解：由题意知， ' 的概率密度函数为1P( X)

21、 ?5 0<x<5少 其它若方程有实根，则厶 =(4 J 2 _ 4 4 ? 2) _ 0，即，2-2_0,解得， 一 -1或.-2.则 P方程有实根 =P乞 - 1 ? P一2-P_ 一11 一 P：:： 22 13=01 dx 二0553.假定随机变量 只取区间(0,1) 中的值，且对任何0 . x . y : 1 ，落在子区间 ( x,y) 内的概率仅与y-x 有关?求证 ?服从区间 ( 0,1) 上的均匀分布 .0,x (-： ,0证法一：定义F(x) =<P0兰 ? ex,(0,1 贝 UJ,xnF(x) 是. 的分布函数 ?由题设得对任意2 (0,1) 有P0 -

22、：x=Px _< 2x ，即有精品文档精品文档6P0 -： 2x = 2P0 -： x. 由此得精品文档精品文档F (2x) =2F (x) ?逐一类推可得，若nx - (0,1) ，则1xmF (nx) = nF (x) ，或者一nnn若 mx 与 x 都属于 ( 0,1) ，则有 F mx m F(x) ?再由 n n nF (x) 的左连续性可得，对任意无理数a，若 ax 与 x 都属于(0,1) ，则 F(ax) =aF(x) ?因为区间 ( 0,1) 与 0,1 的长度相等，由题设得F(1) = P0 乞 ： 1二 P0 _ _1 =1.由此及上段证明得，对任意X，(0,1)

23、有F (x) 二 xF(1) = x ，即 F (x) 为0, x 空 0证法二：如同证法一中定义的分布函数 F(x) ，由 F(x)F (x) = ? x, 0 c x < 11, x 31此得证 ?服从 ( 0,1) 均匀分布 .4 ?设服从 N(3, 分布 . 求 a 使P a? = 2Pl ： a ;(2) 求 b 使 Pf 3 ： b 二0.95 ?解：由题意知 ，"- 3 ，弋=2:aP a.；=1 Pl 、 a.；=1 P ：a.；=2P1得, 3P ： a.；=1 心：二 13-.313 -1即 ->(3) ，1-(- )= 丄23233、 2( )=23

24、查表，得： : ( 0.43) =0.6664，解得 a = 2.14 。)P 3 W 亠 b 3 b ( 宁 i( 艺KkKK= (_)_ (_)=2 ： ( 一) _1 =0.95 ， :?: (_) =0.9752222查表，得： : ( 1.96) = 0.975，解得b 二 3.92 。? ?服从 (0,1) 上均匀分布 .单调知它对 ( 0,1) 上的 L- 测试几乎处处可微 . 设 x1 ,x (0,1)，25?在正常的考试中，学生的成绩应服从N(a, ；)分布 ?若 规定分当 XjEX (0,1)(i =1,2) 时，由题设得数在 a ?:-以上为“优秀”，a 至 a ?二之间

25、为“良好”，a - -；F ( 为 ：-X) -F ( 捲 )= P 捲 _: 为 ：=x至 a 之间为 “一般”， a - 2 匚至 a - -之间为“较差”，a-2 二以下为“最差” ? 试求这五个等级的学生各占多大比例.P X 2 兰 - X2 + X = F( X2 + 4 解：记优秀 ) ，良好，一般，较差，最差分别为事件A,B,C, D,E1一但 E 取定值 i，那么 H 只能从 1 , 2， i 中取值取每一个值的&假设一机器的检修时间( 单位：小时 ) 是以为参数精品文档精品文档等式两端都除以厶 x，再令 x ； 0 可得，由 F'(xJ 存在可推得记学生的成绩

26、为，则P( A) P 厂 a ； J _ 1 _ P a ； / - 1 门 ( a _，_a)二_门仆aF'( X2 ) 也存在，而且 F'( X2) = F'(xJ ?从而对任意 ( 0,1) 有 F '(x) 三 c ? P a ： : a ：一 G ( a 、一 % 一 ()= 门( 1)一( 0)=当 x ：= (0,1) 时，显然有F'(x) =0 ?点的长 (B) 度为 0, 由题设得CTCTPF： =0 =PF： =d =0 ?由上所述可知 P(C) 是连续型随机变量，Pa- ；： y-G?a) -G ( 空a) =： ( 0)-G(T)

27、 =(JG(CTc =1 ?至 (D)不 a a 不 a "2 a 不F'(x) 是其密度函数，从而定出不) = ( T)iJ(P(a-2 二： a-；)= J()亠 (aCJ精品文档精品文档a - 2 ；- a解：记 ' 为到火车站所需时间2 小时的概率； ( 2) 若已经1扌 09分 72= 试求 2281) 检修时间超过PE) 二 Pt : a -2=-?()( -2 )二 1-：门( 2)； ：a修理4 个小时，求总共要少5个小时才会修理好的概率 .鼻 1x6 ?某人要开汽车从城南到城北火车站?如果穿行，则所需时解:由已知得，P(x)二 2ex 0间 ( 单位

28、：分钟 ) 服从N(50,100) 分布 ?如果绕行，则所需时间0其它服从 N(60,16) 分布 . 假设现在他有： ( 1)65 分钟可用； ( 2) 70F(x)= =1 -e 1 2x 00其它分钟可用，试分别计算是穿行还是绕行好些？(1 ) 记检修时间为 ' ，(1). P 北 65= ( 匣型 )= (1.5) = 0.9332e10；P2 ： ： 65门 (65-60)儿( 1.25) =0.8944( 2) 由指数分布的无记忆性得，4因为 0.9332 0.8944 , 所以穿行好些。1P( ?2)=1_P( 乞 2)=1_P(： 2)=1_F(2)=P.5 丨 4=P

29、1=1-P乞 1=(2). F3： 70? - ；. ： ( 70 一 50 )=心( 2) =0.97729 . 设 . 服从参数 ' 为的指数分布，求-I - 1的分布.10F4 1 ： 70 ；： (7° 一 6° )： ( 2.5) =0.97984解：由已知得 ,因为 0.9772 ： 0.9798，所以绕行好。x 0其它7 ?已知随机变量' 服从标准正态分布，而二?或一?视|_1 或|1 而定. 试求 的分布 .解：由题意知 /<1，所以,1、“ n、 JP(? y)=FBy)Fn( y) = P("v y) = 2 ana.P(

30、 ? c y) =P(? A y) =1 P(?F(x)= 虫x 0其它P(二 k)二 P(l 丨1 二 k)二 P(l 丨 - k1) = P(k 1z ：k)：P( = k)P( 二 k-1)P( =2)二 e：P( r =k _1)P( ： =k-2)PC. =1) P(F# 1,A1cy) =1 FE( y) H二 P( n =k) =心 7)2卩 ( 口 =1) = (e*) k'(1 则服从 p =1 - e 几何分布 .1 -=2.5口 <1多维概率分布FE(y) = P(y)=e 2甲从 1， 2， 3，4 中任取一数，乙再从1，中任取一整P (y) =F (y)

31、 二江 1.,1)1“T-岂(1-F y) =Fm ) 尹攵2.试求.尹 2,) 的联合分布与边缘分布 .解： ?可以取的值为1 ,2,3,4.那么 ?取每一个值的概率为- ， 综上可知，服从标准正态分布42精品文档精品文档1概率为 ?于是有：i当0 ：P 代 = j = P h = j E=ipE= i=丄 4i所以 (',)的联合分布与边缘分布如下：xF(x,y) 二_ 1:j1sin(s t)dtds1234n 匕P.12 022cos(s ) - cossds二11111254812162820111131216488300117121648400011161611111*44

32、44Pl3. 设 ( )的联合密度函数为1兀p(x, y) sin(x y),0 x,y :22试求： (1 )(,) 的联合分布函数 ； ( 2)H 的边缘密度函数 .诅屮JE解：由 ( ?口 ) 的联合密度函数的定义域为Ocx y < 于是分下，2列区域进行讨论：当 0 ： x, y时，2x y 1F( x，y) = 0 0 sin(s t)dtds1xy2ocos(s t)pxo cos(s y) _cos(s)dsxx2【 sin(s y) | 0 -sins | = sin x sin y -sin( x y) 2ji当 x, y 时 ,F(x,y) =12=sin x 1 -

33、sin(x )221=(sin x - cosx 1)2ji当 0 ： y ,x时 ,22y 1F(x,y) 二sin(s - t)dtds>22cos(s y) _cos(s)ds1=二 1 sin y - sin(y )2 21=(sin y -cosy 1)2其他区域 F(x, y) = 01JIsin x sin y - sin(x y) ，0： x, y :(sin x - cosx 1)，2TtTt20： x ：F (x v) = 2 1一 , y 丄一1-(sin y_cosy +1)，2221JIJI0： y , x -,22.0,JIx,y -其它(2) 的边缘密度函数

34、为：-boP (y) 二 _.p(x, y)dx-1=p2 sin(x y)dx=，JI丄 (cos y sin x)0：2y： 5. 设分布函数F1(x) 与 F2( X)对应的密度函数为2P1(x) 与精品文档精品文档P2( X) ?证明对于任何 卅三 (-1,1) 有下面讨论二维密度函数p_.(x, y)中 . 的边缘分布 :(1 )?的边缘密度函数为:p： （x,y ） = p i（x）p2（y）1 :2F i（x） -12F 2 （y） -1是二维密度函数，且以 p1 (x)与 p2(y) 为其边缘密度函数 .证明：从定义出发进行证明 : 1：2 茁） - 12 巳 2）-p1 （ x）与 p2（ y） 亠 0,且 F1 （x） , F 2 （ x） 是分； P1（x） p2（y）22布函数-F1 （x） ,F 2（x）0,1二 P1 （x） 二 1 ： 2F 1（x） -12F 2（y）-1 dF 2（y）2F' X） -1,2F 2（y） -1 -1,1?P1（x） F2（y）|二： 2F 1（x） -1F 2（y） 2-Fdy又工三 (一 1,1)p,x ） 1 ： 2 片（刈-1 （1-1 ）.: 2F 1 （x） -12F 2 （y） -1 : 1P1( X).1 2F