2019年数学选修1-1重点题2005

1、2019年数学选修1-1重点题 单选题（共 5 道） 1、双曲线 x2-y2=1 的离心率为（ ） A B2 C4 D1 2、若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆 賦短轴端 点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为 1，则该双曲线的方程为（ ） Ax2-y2=1 By2-x2=1 il-v2 = 1 4 r D- 3、曲线 y=x3- 3x2+1 在点（2,- 3）处的切线方程为 Ay=- 3x+3 By=- 3x+1 Cy=- 3 Dx=2 条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，贝够如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两 4、 函数的解析式为（

2、 Ay=-x3-x2-x By= x3+ x2-3x 3 T T I AW Cy=-x3-x Dy=x3+ x2-2x 5、给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那 么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于 这个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直； 其中真命题的个数是 A4 B3 C2 D1 简答题（共 5 道） 6 （本小题满分 12 分） 求与双曲线斗-丿 J 有公共渐近线，且过点 卓 a 的双曲线的标准方

3、程。 7、已知 f (x) =alnx+x2 (1) 讨论 f (x)的单调性， (2) 当 a0 时，若对于任意 x1 , x2( 0, +),都有 |f (x1) -f (x2) | 3|x1 -x2|，求 a 的取值范围. 8、已知函数 f (x) =lnx-ax2 , (I)求 f (x)的单调区间； (U)已知存在正数a、B满足a M B , f ( a ) =f ( ). 若a、B都属于区间1 , 3，且B - a =1,求实数 a 的取值范围. 求证：a + B 二. 2 9、(本小题满分 12 分) 求与双曲线一 有公共渐近线，且过点 的双曲线的标准方程。 10、(本小题满分

4、12 分) 求与双曲线有公共渐近线，且过点 d的双曲线的标准方程。 填空题(共 5 道) 11、 设一：为双曲线 -的左右焦点，点 P 在双曲线的左支上，且- 的最小值为二，贝 U 双曲线的离心率的取值范围是. 12、 _ f (x) =x (x-c ) 2 在 x=1 处有极小值，则实数 c= _ . 13、 点 P 是函数 y=x2-lnx 的图象上任一点，贝 U P 到直线 y=x-2 的距离的最 小值为 _ . 14、 设-一为双曲线 -的左右焦点，点 P 在双曲线的左支上，且寻 的最小值为二，贝 U 双曲线的离心率的取值范围是. 15设为双曲线 -的左右焦点，点 P 在双曲线的左支上

5、，且 的最小值为二，贝 U 双曲线的离心率的取值范围是. 1- 答案：tc 解：因为双曲线 x2-y2=1，所以 a=b=1, c=h，所以双曲线的离心率为：e= 1 1 a =.故选：A. 2- 答案：tc 解：.椭圆二即 2=1 的短轴端点坐标为（0, 土 1）,二双曲线的顶点为（0， 2 1），可设方程为丫 2 亠二0 厂双曲线的离心率等于椭圆的离心率的倒数二 由椭圆駅律 i的离心率为亭，得双曲线的离心率 e 占仝护解之得 b=1，从而 双曲线的方程为 y2-x2=1 故选：B 3- 答案：A 4- 答案：tc 解：由函数图象知，此三次函数在（0，0） 上处与直线 y=-x 相切，在（2

6、, p 3 0）点处与 y=3x-6 相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线.A、， 将 0, 2 代入，解得此时切线的斜率分别是-1，3,符合题意，故 A 正确；B、 3 空 3 T y yz,将 0 代入，此时导数为-3，不为-1，故B错误；C y y，将2 代入，此时导数为-1，与点(2,0)处切线斜率为 3 矛盾，故 C 错误；D - - , 3 r 将 0 代入，此时导数为-2，与点(0, 0)处切线斜率为-1 矛盾，故 D 错误故 选: A. 5-答案：B 所求双曲线的标准方程为 略 上 4 的递减区间为 (2)由(1)知 a0 时 f (x)在(0, +x)上单调递增，不妨设

7、x1vx2. 则 |f (x1) -f (x2) | 3|x1 -x2| 可化为 f (x2) -f (x1) 3x2-3x1，即 f (x2) -3x2f (x1) -3x1，令 g (x) =f (x) -3x，则 g (x)在(0, +*)上单调递增， ! a 齐* j 打 F ST - 勺 W g (x)=f (x) -3= = - _ 豈 0 对 x(0,+x)恒成立，-2x2+3x=-2 1-答案：设所求双曲线的方程为 2- 答案：解：(1) ，当 a0时，f(x)0恒成立, 此时 f (x)在(0，+x )上单调递增；当 av 0 时，令 f( x) 0 得: vn， f( x)

8、v 0 得: ，此时 f (x)的递增区间为( +ocJ ) , f (x) 2 代入，此时导数为-1，与点(2,0)处切线斜率为 3 矛盾，故 C 错误；D - - , / rjii . J 解：(1) ，当 a0时，f( x) 0恒成立，此时 f (x) 在(0, +x)上单调递增；当 av 0 时，令 f( x ) 0得：一 ,f( x) V 0 得：0 时 f (x)在(0，+x)上单调递增，不妨设 xlvx2, 则 |f (x1) -f (x2) | 3|x1 -x2| 可化为 f (x2) -f (x1) 3x2-3x1，即 f (x2) -3x2f (x1) -3x1，令 g (

9、x) =f (x) -3x，则 g (x)在(0, +*)上单调递增， g (x)=f (x) -3=-3 二卄-工 力凶对 x (0,+x)恒成立，.-2x2+3x=-2 X X 3- 答案：解：(I)函数 f (x) =lnx-ax2 的定义域是(0, +) , f( x) 丄 2ax=-，当 a0, f (x)在(0, +x)上单调递增； V X 当 a0 时，由 f(x)0 解得，xv ；故 f (x)在(0,)单调递增， 在 ( ,+X)上单调递减； (n)当 1vw2,即fwav时，f (2) f (1),即 aw牛，故fwa 0, f (x )在(0, +x)上单调递增；当 a

10、0 时, 于减小的速度，故a + 上单调递减;由 f (x) 0 解得，x v 辱；故 f (x)在(0, g +x (n)当 1v w2,即fwav时，f (2) f (1),即 ,故 wa 2 ，即 +3 . 4- 答案：设所求双曲线的方程为- -，将点-T 代入得二0， b0)的左右焦点分 别为 F1, F2, P 为双曲线左支上的任意一点，二 |PF2| -|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|， - 一 -2c,所以 e (1, 3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活 应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用 2- 答案：展开可得 f （x）

11、 =x（ x-c）2=x3-2cx2+c2x，求导数可得 f（ x） =3x2-4cx+c2= （x-c ） （3x-c ）令 f（x） = （x-c ） （3x-c ） =0 可得 x=c,或 x=当 c=0 时，函数无极值，不合题意，当 c0 时，可得函数在（-,）单调递增， 在（-，C）单调递减，在（c，+x）单调递增，故函数在 x=c 处取到极小值，故 c=1,符合题意当 cV0 时，可得函数在（-X，c）单调递增，在（c，）单调递 减，在（殳，+x）单调递增，故函数在 x=f 处取到极小值，故 c=3，矛盾故答案 为：1 3- 答案：由 y =2x-=1 可得 x=1，所以切点为（1

12、，1），它到直线 y=x-2 的 距离为亡故答案为：叼 4- 答案：. 试题分析：.双曲线，密二 0，b0）的左右焦点分 别为 F1, F2, P 为双曲线左支上的任意一点，二 |PF2| -|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|， - 一 -（当且仅当 时取等号），所以 |PF2|=2a+|PF1|=4a，v |PF2|-|PF1|=2a V2c, |PF1|+|PF2|=6a 2c,所以 e （1, 3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活 应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。 5- 答案：0 上| 试题分析：双曲线一(a 0, b0)的左右焦点分 旷 y 别为 F1, F2, P 为双曲线左支上的任意