x函数的连续性实用教案

1、2.单侧连续(linx);)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定定理理(dngl).)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 第1页/共21页第一页，共22页。二.连续(linx)函数与连续(linx)区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数(hnsh),叫做在该叫做在该区间上的连续函数区间上的连续函数(hnsh),或者说函数或者说函数(hnsh)在该区间上连续在该区间上连续.第2页/共21页第二页，共22页

2、。定理定理(dngl)3-(dngl)3-1 1例如(lr),三.连续函数的运算(yn sun)（1）连续函数的和差积商的连续性第3页/共21页第三页，共22页。(2)复合(fh)函数: 设y=f(u),uU，u=u(x), x X, 其值域为u(X)=uu= u(x), xX U，则称函数y=fu(x)为x的复合(fh)函数。u为内函数(hnsh)，f为外函数(hnsh)定理1-6 若内函数(hnsh)u(x)在x0连续,外函数(hnsh)f(u)在u0=u(x0)连续，则复合函数(hnsh)y=fu(x)在x0连续第4页/共21页第四页，共22页。定理定理 严格单调严格单调(dndio)(

3、dndio)的连续函数必有严格单的连续函数必有严格单调调(dndio)(dndio)的连续反函数的连续反函数. .例如(lr),（3）.反函数的连续性第5页/共21页第五页，共22页。定理定理 基本基本(jbn)(jbn)初等函数在定义域内是连续初等函数在定义域内是连续的的. .定理定理(dngl) (dngl) 一切初等函数在其定义区间内都是一切初等函数在其定义区间内都是连续的连续的. .定义定义(dngy)(dngy)区间是指包含在定义区间是指包含在定义(dngy)(dngy)域内的区间域内的区间. .例如,四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性第6页/共21页第六页，共22页。 六六.

4、闭区间闭区间(q jin)上连续函数的性上连续函数的性质质例如(lr),第7页/共21页第七页，共22页。定理定理(dngl)1-7 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(dngl)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.ab2 1 xyo)(xfy 注意注意:1.:1.若区间若区间(q jin)(q jin)是开区间是开区间(q jin), (q jin), 定定理不一定成立理不一定成立; ; 2. 2.若区间若区间(q jin)(q jin)内有间断点内有间断点, , 定理定理不一定成立不一定成立. .第8页/共21页第八页，共22页。xyo)(x

5、fy 211xyo2 )(xfy 定理定理(dngl)(dngl)(有界性定理有界性定理(dngl) (dngl) 在闭区间上连在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界续的函数一定在该区间上有界. .证证第9页/共21页第九页，共22页。定义定义(dngy(dngy):):证明(zhngmng)在第二篇第10页/共21页第十页，共22页。ab3 2 1 几何(j h)解释:xyo)(xfy 第11页/共21页第十一页，共22页。几何(j h)解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证由零点(ln din)定理,推论推论(tuln) (tuln) 在闭区间上连续的函数必取得在闭

6、区间上连续的函数必取得介于最大值介于最大值 M M与最小值与最小值m m之间的任何值之间的任何值. .第12页/共21页第十二页，共22页。例例1. 证明证明(zhngmng)方程方程一个(y )根 .证证: 显然显然(xinrn)又故据零点定理, 至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间内至少有则则第13页/共21页第十三页，共22页。上连续(linx) , 且恒为正 ,例例2. 设设在对任意(rny)的必存在(cnzi)一点证证:使令, 则使故由零点定理知 , 存在即. )()()(21xfxff当时,取或,

7、则有证明:第14页/共21页第十四页，共22页。由零点定理，至少(zhsho)存在一点第15页/共21页第十五页，共22页。例4 4（均值(jn zh)(jn zh)定理）证：因此(ync)(ync)有再由介值定理(dngl)(dngl)的推论可知，至少有一点第16页/共21页第十六页，共22页。例例5 5（不动点定理（不动点定理(dngl)(dngl)）证证由零点(ln din)定理,第17页/共21页第十七页，共22页。例例5 5例例6 6解解解解 初等(chdng)函数求极限的方法（代入法）.第18页/共21页第十八页，共22页。例例7原式原式=由此可见，极限(jxin)(jxin)符号和绝对值符号是可以交换的。证明常用等价无穷小例8第19页/共21页第十九页，共22页。第20页/共21页第二十页，共22页。感谢您的观看(gunkn)！第21页/共21页第二十一页，共22页。NoImage内容(nirng)总结2.单侧连续。（1）连续函数的和差积商的连续性。则称函数y=fu(x)为x的复合函数。u为内函数，f为外函数。定理 严格单调(dndio)的连续函数必有严格单调(dndio)的连续反函数.。定理 基本初等函