专题1.5,三角函数及恒等变换（解析版）

1、专题1.5,三角函数及恒等变换（解析版） 1 专题 1.5 三角函数及恒等变换 一、选择题：（本大题共 16 题，每小题 4 分，共计 64 分） 1、 sin570 ° 的值为（ ） a12- b22- c12 d32- 【答案】a 【解析】1sin(360 210 ) sin210 sin(180 30 sin5 ) sin3 70 02°= + = = + = - = - . 故选：a 2、若5sin13a = - 且 a 为第三象限角，则 tan a 的值等于（ ） a 125 b125- c512 d512- 【答案】c 【解析】因为5sin13a = - 且 a

2、 为第三象限角，所以12cos13a = - ， 则5tan12a = .故选：c 3、已知角 a 的终边与单位圆的交点为5 2 5,5 5pæ ö- -ç ÷è ø，则 sin cos a a - = （ ） a55- b55 c3 55 d3 55- 【答案】a 【解析】由三角函数的定义得5cos5a = - ，2 5sin5a = - ，因此，5sin cos5a a - = -.故选：a. 4、已知 (0, ) q p Î ，1sin cos3q q + = ，则 cos2 q = （ ） a179- b179

3、77; c53- d53± 【答案】a 【解析】因为1sin cos3q q + = ，所以 ( )2 1sin cos9q q + = ，则11 2sin cos9q q + = ， 2 所以82sin cos 09q q = - < ， 又 (0, ) q p Î ，所以 cos 0 q < ， sin 0 q > ， 因此 ( )2 17 17cos sin cos sin 1 2sin cos9 3q q q q q q - = - - = - - = - = - ， 因此( )( )17cos sin cos s o i c9s2 n q q q

4、 q q = + - = - . 故选：a. 5、已知 ( ) ( ) sin 2cos0 p a p a - + + = ，则1sin cos a a= （ ） a52 b2 c12 d-2 【答案】a 【解析】 ( ) ( ) sin 2cos 0 p a p a - + + = ， sin 2cos 0 a a - = ， tan 2 a = ， 因此，2 2 2 21 sin cos tan 1 2 1 5sin cos sin cos tan 2 2a a aa a a a a+ + += = = = . 故答案为：a 6、函数 2 cos y x x = - 的部分图象是（ ） a

5、 b c d 【答案】d 【解析】函数的定义域为 r ， 因为 ( ) 2( )cos( ) 2 cos ( ) f x x x x x f x - = - - - = = - ， 3 所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除 a，c， 因为当 (0, )2xpÎ 时， 2 cos 0 y x x = - < ，故排除 b， 故选：d 7、函数 sin 23y xp æ ö= +ç ÷è ø的图像（ ） a关于点,06p æ öç ÷è ø对称 b关于点

6、,03p æ öç ÷è ø对称 c关于直线6xp= 对称 d关于直线3xp= 对称 【答案】b 【解析】令 2 ( )3x k k zpp + = Î ,得12 6x kpp = - ,所以对称点为1,02 6kppæ ö-ç ÷è ø. 当 1 k = ,为 ,03p æ öç ÷è ø,故 b 正确； 令 2 ( )3 2x k k zp pp + = + Î ,则对称轴为2 12kxp p

7、= + , 因此直线6xp= 和3xp= 均不是函数的对称轴.故选：b 8、已知 ，且 ，则 （） a b c d 【答案】a 【解析】 ，得 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 . 故选：a. 9、设函数 ( ) ( ) ( ) sin cos f x a x bx p a p b = + + + ，其中 a ， b ， a ， b 都是非零常数，且满足( )120213f = - ，则 ( ) 2021 f = （ ） 4 a2 23- b13- c13 d2 23 【答案】c 【解析】由题 ( ) 2021 f ( ) sin 2021 a p a = + ( ) cos 2021 b

8、p b + +1sin cos3a b a b = - - = ， 1sin cos3a b a b + = - ， ( ) 2021 f = ( ) sin 2021 a p a + ( ) cos 2021 b p b + +1sin cos3a b a b = + = - 10、要得到函数 sin 23y xp æ ö= +ç ÷è ø的图象，只需将函数 cos 23y xp æ ö= -ç ÷è ø的图象（ ） a向左平移12p个单位 b向右平移12p个单位 c向左平

9、移6p个单位 d向右平移6p个单位 【答案】a 【解析】 cos 2 cos 2 sin 2 sin23 6 2 6 12y x x x xp p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö= - = + - = + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø， 而 sin 2 sin23 6y x xp p æ ö

10、; æ ö= + = +ç ÷ ç ÷è ø è ø，所以只需将函数 cos 23y xp æ ö= -ç ÷è ø的图象向左平移12p个单位，即可得到函数 sin 23y xp æ ö= +ç ÷è ø的图象. 故选：a 11、已知函数 ( ) sin3f x xp æ ö= +ç ÷è ø给出下列结论： ( ) f

11、 x 的最小正周期为 2 p ； 2fp æ öç ÷è ø是( ) f x 的最大值； 把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，可得到函数 ( ) y f x = 的图象 其中所有正确结论的序号是 a b c d 【答案】b 【解析】 5 因为 ( ) sin( )3f x xp= + ，所以周期22 tppw= = ，故正确； 5 1( ) sin( ) sin 12 2 3 6 2fp p p p= + = = ¹ ，故不正确； 将函数 sin y x = 的图象上所有点向左平移3p个单位长度，得

12、到 sin( )3y xp= + 的图象， 故正确. 故选：b. 12、将函数 3cos sin ( ) y x x x r = + Î 的图象向左平移 ( )0 m m> 个长度单位后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ） a12p b6p c3p d56p 【答案】b 【解析】由题意得， 3cos sin 2sin( )3y x x xp= + = + ，令 ,3 2x k k zp pp + = + Î ，可得函数的图象对称轴方程为 ,6x k k zpp = + Î ，取 0 k = 是 y 轴右侧且距离 y 轴最近的对称轴，因为将

13、函数的图象向左平移( ) 0 m m> 个长度单位后得到的图象关于 y 轴对称， m 的最小值为6p，故选 b 13、若2cos( )12 10xp+ = - ，5 11,12 12xp p æ öÎ ç÷è ø，则 cos( )6xp- 值为（ ） a35 b45 c35- d45- 【答案】a 【解析】2cos( )12 10xp+ = - ，5 11,12 12xp p æ öÎ ç÷è ø，则 ,12 2xp ppæ ö+

14、 Î ç÷è ø， 27 2sin 1 cos12 12 10x xp p æ ö æ ö + = - + =ç ÷ ç ÷è ø è ø， cos( ) cos cos cos sin sin6 4 12 4 12 4 12x x x xp p p p p p p é ù æ ö æ ö æ ö- = - + = + + +ç 

15、7; ç ÷ ç ÷ ê úè ø è ø è ø ë û 2 2 2 7 2 3=2 10 2 10 5æ ö´ - + ´ =ç ÷ç ÷è ø.故选： a . 14、函数 ( ) cos( )( 0)3f x xpw w = - > 的图像关于直线2xp= 对称，则 w 的最小值为 6 a2 b .32 c3 d4 【答案】b 【解析】法 解法

16、1：根据余弦函数的图像及性质，令 ppw k x = -3， z kÎ 得wppkx+=3，令23pwpp=+k得k 232+ = w ， z kÎ ，又因为 0 > w ，所以当 0 = k 时 w 取得最小值为 .32 法 解法 2： ：由条件可得 1 )2( ± =pf ，即 1 )3 2cos ( ± = -p wp，则 pp wpk = -3 2， z kÎ ，解得 k 232+ = w ， z kÎ ，又因为 0 > w ，所以当 0 = k 时 w 取得最小值为 .32 15、 若函数 f(x)2sin(x)

17、(0，0 )的图像经过点 èæøö6 ，2 ，且相邻两条对称轴间的距离为2 ，则f èæøö4的值为_ a35 b .32 c3 d 3 【答案】d 【解析】由相邻两条对称轴间的距离为2 ，知其最小正周期 t22 ，从而得 2 t 2 2，又 f(x)2sin(2x)的图像经过点 èæøö6 ，2 ，所以 2sin èæøö3 2，解得 2k 6 (kz)，又因为 0，所以 6 ，故 f(x)2sin èæø

18、;ö2x6，即有 f èæøö42sin23 3. 16、 已知 是第四象限角，且 cos45 ，那么sin èæøö4cos () 26 的值为_ a5 214 b-5 214 c2 23 d 3 【答案】a 【解析】 因为 是第四象限角，所以 sin0， 则 sin 1cos 2 35 ， 所 以sin èæøö4cos（26 ）sincos4 cossin4cos222 （sincos）cos 2 sin 2 22 （sincos）（cossin）（cossi

19、n） 2245 èæøö355 214 . 二、解答题（本大题共 4 小题，共计 36 分） 7 17、（本小题 8 分）在abc 中，sina23 ，a èæøö2 ， . (1) 求 sin2a 的值； (2) 若 sinb13 ，求 cosc 的值 【解析】(1)由 sina23 ，a èæøö2 ， ，则 cosa1sin 2 a 1 èæøö23253 ， 所以 sin2a2sinacosa4 59. (2)由 a è

20、;æøö2 ， ，知 b 为锐角 又 sinb13 ，所以 cosb1 èæøö1322 23 ， 所以 cosccos(ab)(cosacosbsinasinb) èæøö53 2 23 23 13 2 1029. 18、（本小题 8 分）已知函数 f(x)cos 2 x2 3sinxcosxsin 2 x，xr. (1) 求函数 f(x)的单调增区间； (2) 求方程 f(x)0 在(0，内的所有解 【解析】 f(x)cos 2 x2 3sinxcosxsin 2 x 3sin2x

21、cos2x2sin èæøö2x6. (1)由2 2k 2x6 2 2k ，kz，解得3 kx6 k，kz， 所以函数 f(x)的单调增区间为 ，kz . (2)由 f(x)0 得 2sin èæøö2x60，解得 2x6 k，即 x12 k2 ，kz. 因为 x(0，所以 x512 或 x1112 . 19、（本小题 10 分）、已知 cos4 37 ， èæøö0，2. (1) 求 sin èæøö4 的值； (2) 若 cos()

22、1114 ， èæøö0，2，求 的值 【解析】 (1) 由 cos4 37 ， èæøö0，2， 得 sin 1cos 2 1 èæøö4 37217 . 所以 sin èæøö4 sin4 coscos4 sin 22 4 37 22 17 4 6 214. (2) 因为 ， èæøö0，2，所以 (0， ) 8 又 cos()1114 ，则 sin()1cos 2 （） 1 èæøö111425 314 . 所以 sinsin()sin()coscos()sin 5 314 4 37 1114 17 12 . 因为 èæøö0，2，所以 6 . 20（本小题 10 分）、设 èæøö0，3，已知向量 a( 6sin ， 2)，b èæøö1，cos