比例式或等积式证明技巧教师版

1、比洌Kel等釈玄证明技巧三点定形法1.如图，在RtABC中，CQ是斜边肿 上的高，点M在CD上，M丄B忆且与JC的延长线交于点E.求 证：(1) MEDSHCBw (2) CM=ACD.【解析】证明：(1) J ABC 是直角三角形， Z/+ZZlEC= 90° , VeDlJ5, ：. ZCDB=9Qt ,即 ZMCB+ZABC=9Qo , ZA = ZMCB, 9 CD LAB. ' Z2+ZDW3 = 90° , 9JDH 丄Z1+ZDWS = 9O° , Z1 = Z2,又VZ.W£=90° +Zb ZCMS=90°

2、+Z2, :乙ADE=ZCMB、 :.haedshcbw(2) HEDsHCBM, : ID=CBZ CM. .AECM=ADCB, Y HABC 是直角三角形，CD 是,松上的高，： MCDs'CBD、：.ACZ AD=CB: CD, XCCD=ADCB, ：.lEM=ACCD2.如图，在RtZUCE中，ZACB=9Qo , AC=BC.点D是曲 上的一个动点（不与点儿B重合），连接CD,将CZ）绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE, Z）E与JC相交于点只 连接恋，AB = 32,AD=IBD.则 CF 等于（）EA一5D【解析】解：V ZJCB=90° ,

3、由旋转知，CD=CE, ZDCE=90° =ZACB, ：. ZBCD=ZACE.：.ABCDAACE, ：. ZCAE=ZCBD45o =ZCEF9 打 ZECF= ZACE, : HCEFsHCAE, =:. CEI=CF C.如图，过点 Z）作刀 G 丄 EC 于 G,：AB=3屆：.AC=BC=3. TAD=2BD,：.BD= AB= 2, ：.DG=BG=1, ：.CG=BC-BG=3 - 1 = 2,在 RtACDG 中，勾股泄理得，CD= CG2+DG2 =5, MBCD3ACE, ：.CE=CD= 5, ：CEl = CFAC, ：.CF=- = B.週型等线段代换法

4、3如图，在四边形ABCD中，45=血 JC与他相交于点E ZADB= 厶CB.求证:AD2=AE9AC.【解析】i正明：9AB=AD. ：. ZADB=ZABD. Y ZADB=ZACB, ：. ZABD=ZACB.如E=ZCM,阮S如，晋=篇,即屈=ACAE, "B=AD, 3fC沁4如图，点P是菱形肿CD对角线ACt的一点，连接DP并延长交脑于点E,连接肿并延长交-3于点F,交CQ延长线于点G.(1) 求证：PB=PD. (2)若DF： El=I: 2 请写出线段PF与线段PZ)之间满足的数量关系，并说明理由: 当ADGP是等腰三角形时，求tanZD毎的值.【解析】(1)证明：四

5、边形ASCD是菱形，A= W. AC平分ZDAB, ' ZDAP= ZBAP, AB = AD在APB 和ZUPD 中,乙BAP =乙DAP, /.厶APB竺XPD, ：.PB=PDxAP = AP4F FP DF 1(2) 解：四边形拐CD 是菱形、：ADBC、AD=BC、：/AFPSbCBP、：=一，T一 = 一,2BC BP FA 2鈴=；器=： 由(1)知 PE=R 黑=:PF=切D由(1)证得UPB竺UPD BC 3 Dr 3PD 3S ZABP=ZADP ： GCAB. AZG=ZABP、: ZADP=ZG, :乙GDP> 乙G、:.PDfPG(I ),若 DG=PG

6、, ：DGAB、：./XDGPEBP. ：.PB=EB,由(2)=-> 设 PF=2aPD 3Q则 PB=BE=PD=3a、PE=PF=2e BF=Sa.由 ADGPS&BP.得 DG=：.AB=AD=2DG=9a9.4F=6g 如图 1,作 FH丄,15 于 H 设 AH=x,则(6)' - x2 = (5)? - (9a - x),解得 X=譬a, ：.FH= J(6a)2 X2 =笃? ct, .,.tanZZlS=纠$：(II )若 DG=DP、如图 2,图2设 DG=DP=3m,则 PB=3m, PE=BE=PF=2m, AB=AD=2DG=6m, AF=4m,

7、 BF=Sn设 AH=x, ： (4加)2 - X2= (5n) 2 - ( 6T)I - x) 2» 解得 X= (nI, :FH= J(4m)2 以=冷Lrn,.t. XanZDAB=FH _ 57 丽=丁等比代换法5.如图所示.已知在NlBC中，ZBJC=90° ,AD丄Ea E是MC的中点，肋交购延长线于F,求证:AB DF【解析】证明:VZBJC=90° , MD丄bchcbashabd、 AB AC而=D,*-45： AC=BDZ -IZXT),AZC= ZEiD,又TE 为M 的中点 -W丄BC, :ED=菇C=Ea :乙C=乙EDC、又 YZEDC

8、=ZFDBrZFAD=ZFDB, ZF 为公共角,MDBFsgDFrBD: AD=DF: AF.【解析】i正明：T,9丄EC, DESB M丄AC9 ' Z4DC= ZJIM= Z.1EQ= ZzlFD=90° ,由得堤=%6.如图，在NlBC 中，点 Z E, F, G 分别在-15. AC. EC 上，-15=3,3, CE=2AE, BF=FG=CG,DG与EF交于点H.(1) 求证：FHAC=HGAB;(2) 联结DF, EG、求证：ZA = ZFDG+ZGEF.CC【解析】(1)证明：V-15=1W, BF=FG=CG, /.=BA D CBD BG 2 ZB=E

9、MBDGSgrj' ": FH AC=HGUB ；-=ZDGB,同理可得：ZB=ZEFC,：、FGH沁BgF-益(2)如图所示：连接DF、EG、DE9 V = = L9 ZJ=ZJ,：/ADEs/ABC.：.=-,AB AC 3BC 3：.DE=FG. DEBC. 四边形 DEGF 是平行四边形，:DF"EG、：. ZDFE=ZGEF.：.ZFHG= ZHDF+ZDFH= ZHDF+ZGEF T HFGHSHBCA, ：. ZBAC= ZFHG.等积代换法已知:如图,HABC中，丄BC于D, DE丄,毎于E, DF丄/C于F.求证：AFACAB：.ZBAC= ZFD

10、G+ZGEF.AE AD AF ADWBAED iDCFD,乔=花，3E扱C,AE AC.1ElB=.IF9 AC. 9AF AB8如图，RtZUEC中，ZACB=90 , AC=6cm. BC=Scm,动点P从点E出发，在BJ边上以每秒5c加 的速度向点/匀速运动，同时动点0从点C岀发，在CB边上以每秒4C"的速度向点E匀速运动，运动 时间为r秒（OVrV2）,连接P0（1）若肿。与BC相似，求r的值：（2）试探究r为何值时，4P0的而积是？7界：（3）直接写出，为何值时，ABPQ是等腰三角形；（4）连接/0 CP.若ZIO丄CP,直接写出/的值.【解析】解：（1）VZJCB=90

11、° , AC=6cn, BC=Scm. ：.AB= yjAC 2+ BC 2 = 36 + 64 =IOcw,：、BPQ与AlSC相似，且ZB=ZB,°薯=籌或，当器=籌时，77 = TtAU DCAD DCIO8当竺=S匕竺BC AB 8103241:（2）如图1,过点P作PE丄BC于E,图1PB PE5t191 、3:PEAC、= °PE=币X 6 =3r, .S；BPQ= × (8-4/) ×3t='fi=刁或/2=亍(3) 当 PB=PO 时，如图 1,过P 作 PE丄陀 则 BE= $BQ=4-2t, PB=5t.由(2)可知

12、 PE=3t. ：.BE= yjBP 2-PE 2 = 25t 2 - 9t 2 =4n 4r=4 - 2h r=当PB=Bo时，即5r=84血 解得：当BQ=PO时,如图2,过0作0G丄于G,则BG=,BO=S-4h Y HBGOSMCB.：.= ,"BC AB.去=8欝解得:综上所述：当Y硝或答时胺是等腰三角形:则 PB=St,（3）过P作PM丄EC于点M. AO. CP交于点N,如图3所示:VACjbc：hpmbs/acb,= = -.BM=4t, PM=3t,且BO=S-bc=8,AB BC ACAMC= 8 -46 CO=4t, V ZNAC+ZNCA=90c , ZPCM

13、+ZNCA=9Qcf , ZNAC= ZPCM9V ZACO=ZPMC, JCOsMW, .竺=5JJPM CM 3t 8-4t1.如图，任等腰直角NlBC 内一点 P 满足ZPAC=ZPBA = ZPCB, ZJBC= 90o , BP=I,则 AP+PC=()A 3B. 4C3+血D. 2+2【解析】解： VLBC是等腰直角三角形， ZBAC=ZBCA=45c, , V APAC=APCB.PA AC PC L ZPAB = ZPCA, Y APAC= ZPBA, /.ZUCPSBAP, A = - = = 2,PBABPA：PB=, ：.PA= 2, PC=2, A-IP+PC=2+2,

14、故选：D.2.如图，在四边形ABCD中，/C平分ZDAB, 3=朋3, ZzlDC=90° ,点E为的中点4C(I) 求圧ZCsMCB.(2)若Q=2,込3,求护值.【解析】证明:-AC平分ZDAB,：.ZDAC=ZCAB. 9：ACI=AB1D, ：. =, AB AChadcshacb；CF CE 3 AC 7 = = _ =9FA AD 4 AF 4(2) HDCs MCB ZACB=Z.U)C=90c , T 点 E 为肿 的中点，：.CE=AE=lB=：.ZEAC=ZECA. ：. ZDAC= ZEAC9 ：. ZDAC= ZECA9 ：CEHAD；3如图，HABC 中-Q

15、 是中线，且 CDI=BEBA.求证：EDAB=ADBD.【解析】证明：,3是中线,：BD=CD、°°BD ABDE BDCD1=BEBA ：BDI=BEBA A = . V Z5=ZB, BDE1BD.= > ：.EDBE BDAD ABAB=XDBD.4. 如图，在ZU5C中.1B=AC, .ID丄Be于D,作场丄/C于E, F是中点，连EF交.Q于点G.(I) 求证若4皿2,求嚣的值.TJD丄EC 于 D 作 DE丄ZIC 于民 Z.WC=Z.4£D=90° , ： ZDAE=ZDAC.AAD AE.: HDAEs'CAD、：. =,

16、 ：.ID1=AC-AE, VAC=AB, ：.lDI=AB1E. CA AD(2) 解：如图，连接莎V-15=3> ZADB=90° , BF=AF, ：.DF= lB= , VAB=AC, AD丄BG ：.BD=DC. :DFAC、3DF DG 23 9 AD 7AE AG 2 4 AG 45. ABC 中，ME=月C,点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，ZEDF=ZB.（1）如图1,求证：DECD=DFBE （2） D为EC中点如图2,连接EF.p求证：ED平分ZBEF；若四边形,花DF为菱形，求ZBAC的度数及石的值.【解析】（I）证明： ABC 中,.13=

17、zlC, :乙B=乙C V ZB÷ZBDE+ ZDEB = 1800 , ZBDE+ZEDF+ZFDC= 180°DE BE,ZEDF=ZB, ：. ZFDC= ZDEB, ：'BDES'CFb ：=,DF CD即 DQCD=DF 昭BE DEBE DEI ZB=ZEDF,解：由证得述SMFD访=斎为肮中-BD=CD,:仏BDEDFE, :ZBED=ZDEF, =ED 平分ZBEFX四边形 4EQF 为菱形，:ZAEF=ZDEF、V ZBED= ZDEF. ：. Z.1EF=6Q , 9JAE=AF.：.ZBAC=6Qi , VZBAC= 60°

18、, ：./ABC 是等边三角形， Z5=60o ,:仏BED 是等边三角形：.BE=DEf YAE=DE, ：.lE=AE 1=-AB 26. lBC , AC=BC. ZACB=a,点Z）是平而内不与点/和点B重合的一点，连接DD将线段DE绕点D顺时针旋转Ct得到线段DE,连接拡 BE. CD（1）如图，点D与点/在直线EC的两侧，=60o时，汀的值是1 :直线Jr与直线CD相交所成的锐角的度数是一 60度:（2）如图，点刀与点/在直线EC两侧，=90o时，求莎的值及直线JE与直线CD相交所成的锐 角ZAMC的度数；（3）当=90c ,点D在直线-拐的上方，Szd=詛如C,请直接写出当点C、

19、D、E在同一直线上时，AB备用图【解析】解:（1）如图1，延长匹，CD交于点H,/A图E将线段绕点D顺时针旋转Ct得到线段DE, ：.DE=BD、ZBDE=60。,：HBDE是等边三角形,：.BD=BE. ZDBE=6Q , Y NlBC 是等边三角形，,.AB=BC, ZABC=ZDBE=60° , Z-ISE=AEZCBD, KBE=BD. AB=BC. ：./IBEACBD (SAS) ：.1E=CD. ZDCB=ZBAE. -=E G LJV ZBAC+ZACB= 12Qi , ：. Z1E+ZC4E+ZJCB= 120° , ZClE+ZACB+ZBCD= 120

20、°ZiE七CH=I20° , ZAHB=60i ,故答案为：1, 60.(2) VAC=BC9 ZACB=90c , ：.AB= 2BC, ZMC=45° , T将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 90。 得到线段 DE, ：.DE=BD. ZBDE=90° , ：.BE= 25P, ZDBE=45° , ZDBE= ZABC9AB L BEAE AB r：.ZABE=ZCBD.且=2 = > ： HABESHCBD, ：. = = 2> ZBAE=ZBCD、V ZBAC+ZACB= 135i =ZACB+ ZCAM+ ZBdE,

21、：. ZACBZam÷ZBCD= ZC4M+ZACM= 135q ,A ZAMC=45a :（3）若点刀，点d在直线Ee两侧，如图3,分别取/C, EC中点G, H,连接GH图3SD= y. ABC, 点 D 在直线 GH 匕 V ZACB=ZBDE=90c , AC=BC. DE=BD. ：. ZCAB=ZCB4=45° ZDEB=ZDBE=45° . BE=近BD、：点 G,点 H分别是 AC, BC 的中点,.9.GHAB,：.ZDHB=ZABC=45Q , T 点 C、E、刀三点共线，：.ZCDB=9Qct ,且点 H 是 EC 中点， ：.DH=CH=BH. .ZHCD=ZHDC. RZHCD+ZHDC= ZBHD=45